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\title{ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES}
\section*{OPTION ECONOMIQUE}
\section*{MATHEMATIQUES III}
Jeudi 16 Mai 2002, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{EXERCICE I}
Le but de cet exercice est la résolution de l'équation matricielle \(A M=M B\), d'inconnue \(M\), dans l'espace vectoriel \(E\) des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels.\\
On rappelle que si \(U_{1}, U_{2}, U_{3}, U_{4}\) sont les matrices définies par:

\[
U_{1}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right) \quad U_{2}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right) \quad U_{3}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right) \quad U_{4}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)
\]

la famille ( \(U_{1}, U_{2}, U_{3}, U_{4}\) ) est une base de \(E\), qui est donc de dimension 4.\\
Si \(A\) et \(B\) sont deux matrices de \(E\), l'ensemble des matrices \(M\) de \(E\) vérifiant \(A M=M B\) est noté \(V_{A, B}\).

\begin{enumerate}
  \item Soit \(A\) et \(B\) deux matrices de \(E\) et \(\varphi_{A . B}\) l'application qui, à toute matrice \(M\) de \(E\), associe la matrice \(A M-M B\).\\
a) Montrer que \(\varphi_{A, B}\) est un endomorphisme de \(E\) et en déduire que \(V_{A, B}\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).\\
b) Dans le cas particulier où \(A=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right)\), construire la matrice carrée d'ordre 4 qui représente \(\varphi_{A, B}\) dans la base ( \(U_{1}, U_{2}, U_{3}, U_{4}\) ).\\
Montrer que cette matrice est inversible et en déduire l'ensemble \(V_{A, B}\).
  \item Dans cette question, \(r\) et \(s\) désignent deux réels distincts et différents de 1 , et on pose:
\end{enumerate}

\[
D=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & r
\end{array}\right) \quad \text { et } \quad \Delta=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & s
\end{array}\right)
\]

a) Soit \(M=\left(\begin{array}{cc}x & y \\ z & t\end{array}\right)\) une matrice quelconque de \(E\). Donner des conditions nécessaires et suffisantes sur \(x, y, z, t\) pour que \(M\) appartienne à \(V_{D .} \Delta\).\\
b) En déduire une base de \(V_{D . \Delta}\).\\
3. Soit \(a, b, c, d\) des réels non nuls vérifiant \(a-b \neq c-d, a-b \neq 1, c-d \neq 1, A\) et \(B\) les matrices définies par :

\[
A=\left(\begin{array}{cc}
a & 1-a \\
b & 1-b
\end{array}\right) \quad, \quad B=\left(\begin{array}{cc}
c & 1-c \\
d & 1-d
\end{array}\right)
\]

a) Montrer que les valeurs propres de \(A\) sont 1 et \(a-b\). En déduire qu'il existe une matrice inversible \(P\) de \(E\), et une matrice \(D\) égale à celle de la question 2. pour une valeur convenable de \(r\), telles que l'on ait : \(D=P^{-1} A P\).\\
b) Justifier de même l'existence d'une matrice inversible \(Q\) de \(E\), et d'une matrice \(\Delta\) égale à celle de la question 2. pour une valeur convenable de \(s\), telles que l'on ait: \(\Delta=Q^{-1} B Q\).\\
c) Pour toute matrice \(M\) de \(E\), montrer qu'elle appartient à \(V_{A, B}\) si et seulement si la matrice \(P^{-1} M Q\) appartient à \(V_{D . \Delta}\). En déduire une base de \(V_{A, B}\).\\
4. Dans cette question \(r, s\) et \(u, v\) désignent quatre réels vérifiant \(r \neq s, r \neq v, u \neq s, u \neq v\), et on pose :

\[
D=\left(\begin{array}{ll}
u & 0 \\
0 & r
\end{array}\right) \quad \text { et } \quad \Delta=\left(\begin{array}{ll}
v & 0 \\
0 & s
\end{array}\right)
\]

a) Par une méthode analogue à celle de la question 2., déterminer \(V_{D, \Delta}\).\\
b) En déduire, par une méthode analogue à celle de la question 3., le sous-espace vectoriel \(V_{A, B}\) dans le cas où \(A\) et \(B\) sont deux matrices diagonalisables n'ayant aucune valeur propre commune.

\section*{EXERCICE II}
Cet exercice met en évidence le fait que l'existence d'une espérance finie, pour une variable aléatoire, n'est pas toujours intuitive.\\
Dans tout l'exercice, I désigne l'intervalle réel \([1,+\infty[\) et on suppose que toutes les variables aléatoires envisagées sont définies sur le même espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P}\) ).

\section*{A. Première approche}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que l'application \(g\) définie par: \(\left\{\begin{array}{ll}g(t)=\frac{1}{t^{2}} & \text { si } t \in I \\ g(t)=0 & \text { sinon }\end{array}\right.\) est une densité de probabilité.
  \item Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(I\) admettant \(g\) pour densité. Déterminer, pour tout réel \(t\), la probabilité \(\mathbf{P}([X \leqslant t])\) et montrer que \(X\) n'admet pas d'espérance.
  \item Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \(I\) admettant \(g\) pour densité et telles que, pour tout réel \(t\), les événements \([X \leqslant t]\) et \([Y \leqslant t]\) sont indépendants. On définit alors deux variables aléatoires \(U\) et \(V\) par : \(U=\min (X, Y)\) et \(V=\max (X, Y)\), c'est-à-dire que, pour tout \(\omega\) de \(\Omega, U(\omega)\) est le plus petit des nombres \(X(\omega)\) et \(Y(\omega)\), tandis que \(V(\omega)\) est le plus grand de ces nombres.\\
a) Pour tout réel \(t\), exprimer l'événement \([V \leqslant t]\) à l'aide des variables aléatoires \(X\) et \(Y\); en déduire la probabilité \(\mathbf{P}([V \leqslant t])\).\\
b) Montrer quc la variable aléatoire \(V\) admet pour densité l'application \(h\) définie par :
\end{enumerate}

\[
\left\{\begin{array}{lcl}
h(t)= & \frac{2(t-1)}{t^{3}} & \text { si } t \in I \\
h(t)= & 0 & \text { sinon }
\end{array}\right.
\]

c) De façon analogue, calculer pour tout réel \(t\) la probabilité \(\mathbf{P}([U>t])\) et en déduire que la variable aléatoire \(U\) admet pour densité l'application \(m\) définie par :

\[
\left\{\begin{array}{l}
m(t)=\frac{2}{t^{3}} \quad \text { si } t \in I \\
m(\dot{t})=0 \quad \text { sinon }
\end{array}\right.
\]

d) Montrer que \(V\) n'admet pas d'espérance et que \(U\) admet une espérance que l'on calculera.

\section*{B. Situation plus générale}
Dans cette partie, \(n\) désigne un entier supérieur ou égal à 2 et on suppose que \(n\) visiteurs, numérotés de 1 à \(n\), se rendent aléatoirement dans un musée et que, pour tout entier de l'intervalle \(\llbracket 1, n \rrbracket\), l'heure d'arrivée du visiteur numéro \(k\) est une variable aléatoire \(X_{k}\) admettant pour densité l'application \(g\) définie dans la partie A..\\
On suppose de plus que, pour tout réel \(t\), les événements \(\left[X_{1} \leqslant t\right],\left[X_{2} \leqslant t\right], \ldots,\left[X_{n} \leqslant t\right]\) sont mutuellement indépendants.\\
Si \(r\) est un entier de l'intervalle \(\llbracket 1, n \rrbracket\), on note \(T_{r}\) la variable aléatoire désignant l'heure d'arrivée du \(r\)-ième arrivant.\\
La partie A. traite donc du cas \(n=2\), les variables aléatoires \(U\) et \(V\) étant respectivement égales à \(T_{1}\) et \(T_{2}\).

\begin{enumerate}
  \item Soit \(\iota\) un élément de \(I\) fixé. Pour tout entier \(k\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), on note \(B_{k}\) la variable aléatoire prenant la valeur 1 lorsque l'événement \(\left[X_{k} \leqslant t\right]\) est réalisé et la valeur 0 sinon.\\
a) Préciser, en la justifiant soigneusement, la loi de la variable aléatoire \(Z\) définie par :
\end{enumerate}

\[
Z=B_{1}+\ldots+B_{n}
\]

b) Pour tout entier \(r\) de l'intervalle \(\llbracket 1, n \rrbracket\), exprimer l'événement \(\left[T_{r} \leqslant t\right]\) à l'aide de la variable aléatoire \(Z\) et en déduire l'égalité : \(\quad \mathrm{P}\left(\left[T_{r} \leqslant t\right]\right)=\sum_{k=r}^{n} C_{n}^{k}\left(1-\frac{1}{t}\right)^{k}\left(\frac{1}{t}\right)^{n-k}\).\\
2. a) Vérifier, pour tout entier \(k\) de l'intervalle \(\llbracket 1, n \rrbracket\), l'égalité : \(k C_{n}^{k}-(n+1-k) C_{n}^{k-1}=0\).\\
b) En déduire que, pour tout entier \(r\) de l'intervalle \([1, n]\), la variable aléatoire \(T_{r}\) admet pour densité l'application \(f_{r}\) définie par:

\[
\left\{\begin{array}{lc}
f_{r}(t)=r C_{n}^{r}\left(\frac{1}{t}\right)^{n+2-r}\left(1-\frac{1}{t}\right)^{r-1} & \text { si } t \in I \\
f_{r}(t)=0 & \text { sinon }
\end{array}\right.
\]

c) Donner un équivalent à \(t f_{r}(t)\) quand \(t\) tend vers \(+\infty\) et en déduire que les variables aléatoires \(T_{1}, T_{2}, \ldots, T_{n-1}\) admettent une espérance alors que \(T_{n}\) n'en adnet pas.\\
3. Pour tout couple ( \(p, q\) ) d'entiers naturels, on pose : \(J(p, q)=\int_{0}^{1} x^{p}(1-x)^{q} \mathrm{~d} x\).\\
a) À l'aide d'une intégration par parties, établir pour tout couple ( \(p, q\) ) d'entiers naturels, la relation :

\[
(p+1) J(p, q+1)=(q+1) J(p+1, q)
\]

b) Calculer, pour tout entier naturel \(q\), l'intégrale \(J(0, q)\).\\
c) Montrer par récurrence sur \(p\) que, pour tout couple d'entiers naturels \((p, q)\), on a :

\[
J(p, q)=\frac{p!q!}{(1+p+q)!}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Soit \(r\) un entier de l'intervalle \(\llbracket 1, n-1 \rrbracket\).\\
a) Si a est un réel strictement supérieur à 1, transformer en effectuant le changement de variable \(x=\frac{1}{t}\) l'intégrale \(\int_{1}^{a} t f_{r}(t) \mathrm{d} t\).\\
b) En déduire la valeur de l'espérance de la variable aléatoire \(T_{r}\) en fonction de \(n\) et de \(r\).
\end{enumerate}

\end{document}