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\title{BANQUE COMMUNE D'EPREUVES \\
 CONCOURS D'ADMISSION DE 2012 }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
Conceptions : H.E.C.\\
Code épreuve : 289

\section*{OPTION ECONOMIQUE}
\section*{MATHEMATIQUES}
Mercredi 2 mai 2012, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

\section*{EXERCICE}
Soit \(m\) un réel donné strictement positif et \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice \(M\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) est donnée par : \(M=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 / m & 1 / m^{2} \\ m & 0 & 1 / m \\ m^{2} & m & 0\end{array}\right)\).

On note \(I\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) et Id l'endomorphisme identité de \(\mathbb{R}^{3}\).\\
Pour tout endomorphisme \(g\) de \(\mathbb{R}^{3}\), on pose \(g^{0}=\) Id et pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^{*}, g^{k}=g \circ g^{k-1}\).

\begin{enumerate}
  \item Déterminer le noyau \(\operatorname{Ker} f\) et l'image \(\operatorname{Im} f\) de l'endomorphisme \(f\). La matrice \(M\) est-elle inversible?\\
2.a) Montrer que la matrice \(M^{2}\) est une combinaison linéaire de \(I\) et de \(M\).\\
b) Déterminer un polynôme annulateur non nul de la matrice \(M\).\\
c) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(M\). La matrice \(M\) est-elle diagonalisable?
  \item À l'aide des résultats de la question 2.c), indiquer une méthode, sans faire les calculs, qui permettrait d'obtenir pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), l'expression de \(M^{n}\) en fonction de \(n\).
  \item On pose : \(p=\frac{1}{3}(f+\mathrm{Id})\) et \(q=-\frac{1}{3}(f-2 \mathrm{Id})\).\\
a) Calculer \(p \circ q\) et \(q \circ p\), puis pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}, p^{n}\) et \(q^{n}\).\\
b) En déduire pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), l'expression de \(f^{n}\) en fonction de \(p\) et \(q\).\\
c) Déterminer les deux suites réelles \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) et \(\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) telles que pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), on a : \(M^{n}=a_{n} I+b_{n} M\).\\
d) La formule précédente reste-t-elle valable si \(n\) appartient à \(\mathbb{Z}\) ?
\end{enumerate}

\section*{PROBLÈME}
Sous réserve d'existence, on note \(E(U)\) et \(V(U)\) respectivement, l'espérance mathématique et la variance d'une variable aléatoire \(U\) définie sur un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ).\\
Pour \(p\) entier supérieur ou égal à 2 , on dit que les variables aléatoires à densité \(U_{1}, \ldots, U_{p}\) sont indépendantes si pour tout \(p\)-uplet ( \(u_{1}, \ldots, u_{p}\) ) de réels, les événements \(\left[U_{1} \leqslant u_{1}\right], \ldots,\left[U_{p} \leqslant u_{p}\right]\) sont indépendants.\\
L'objet du problème est l'étude de quelques propriétés d'une loi de probabilité utilisée notamment en fiabilité. Les parties I et II sont largement indépendantes. La partie III est indépendante des parties I et II.

\section*{Partie I. Loi à 1 paramètre}
On note \(\lambda\) un paramètre réel strictement positif. On considère la fonction \(f_{\lambda}\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par :

\[
f_{\lambda}(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{\lambda}{2 \sqrt{x}} \mathrm{e}^{-\lambda \sqrt{x}} & \text { si } x>0 \\
0 & \text { si } x \leqslant 0
\end{array}\right.
\]

1.a) Montrer que la fonction \(f_{\lambda}\) est de classe \(C^{2}\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).\\
b) Dresser le tableau de variation de \(f_{\lambda}\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) et préciser les limites suivantes : \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f_{\lambda}(x)\) et \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f_{\lambda}(x)\).\\
c) Établir la convexité de la fonction \(f_{\lambda}\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).\\
d) Tracer l'allure de la courbe représentative de \(f_{1}\) dans le plan rapporté à un repère orthogonal.\\
2.a) Vérifier que la fonction \(x \longmapsto-\mathrm{e}^{-\lambda \sqrt{x}}\) est une primitive de \(f_{\lambda}\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).\\
b) Établir la convergence de l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} f_{\lambda}(x) \mathrm{d} x\) et calculer sa valeur.\\
c) En déduire que la fonction \(f_{\lambda}\) est une densité de probabilité sur \(\mathbb{R}\).\\
3. Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), à valeurs strictement positives, ayant \(f_{\lambda}\) pour densité. On note \(F_{\lambda}\) la fonction de répartition de \(X\) et on pose : \(Y=\lambda \sqrt{X}\).\\
a) Calculer pour tout \(x\) réel, \(F_{\lambda}(x)\).\\
b) Montrer que \(Y\) suit la loi exponentielle de paramètre 1.\\
c) Établir pour tout \(r\) de \(\mathbb{N}^{*}\), l'existence de \(E\left(Y^{r}\right)\).\\
d) Montrer que pour tout \(r\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on a : \(E\left(Y^{r+1}\right)=(r+1) E\left(Y^{r}\right)\).\\
e) En déduire pour tout \(r\) de \(\mathbb{N}^{*}, E\left(Y^{r}\right)\) et \(E\left(X^{r}\right)\). En particulier, calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).\\
4. Soit \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) une suite de variables aléatoires définies sur \((\Omega, \mathcal{A}, P)\), indépendantes et de même loi que \(X\). Soit \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) et \(\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) deux suites de réels strictement positifs vérifiant \(\lim _{n \rightarrow+\infty} n^{2} a_{n}=1\) et \(\lim _{n \rightarrow+\infty} n^{2} b_{n}=0\). On pose pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}: M_{n}=\min _{1 \leqslant k \leqslant n}\left(X_{k}\right)\) et \(J_{n}=\frac{M_{n}-b_{n}}{a_{n}}\). On admet que \(M_{n}\) et \(J_{n}\) sont des variables aléatoires à densité définies sur ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ).\\
Montrer que la suite \(\left(J_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge en loi vers une variable aléatoire dont on précisera la loi.

\section*{Partie II. Estimation ponctuelle de \(\lambda\)}
Pour \(n\) entier de \(\mathbb{N}^{*}\), on note \(\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)\) un \(n\)-échantillon de variables aléatoires à valeurs strictement positives, indépendantes et de même loi que la variable aléatoire \(X\) définie dans la question 3 .\\
On rappelle que \(Y=\lambda \sqrt{X}\), et on pose pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket: Y_{k}=\lambda \sqrt{X_{k}}, S_{k}=\sum_{j=1}^{k} Y_{j}\) et \(g_{k}\) une densité de \(S_{k}\).\\
On admet que pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2 , les variables aléatoires \(Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{n}\) sont indépendantes et que pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, n-1 \rrbracket\), les variables aléatoires \(S_{k}\) et \(Y_{k+1}\) sont indépendantes.\\
On admet que si \(T\) et \(Z\) sont deux variables aléatoires à densité indépendantes définies sur le même espace probabilisé, de densités respectives \(f_{T}\) et \(f_{Z}\) telles que \(f_{T}\) (ou \(f_{Z}\) ) soit bornée, alors la variable aléatoire \(T+Z\) admet une densité \(f_{T+Z}\) définie pour tout \(x\) réel par : \(f_{T+Z}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_{T}(y) f_{Z}(x-y) \mathrm{d} y\).\\
5.a) En utilisant les propriétés admises, montrer que : \(g_{2}(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \mathrm{e}^{-x} & \text { si } x>0 \\ 0 & \text { si } x \leqslant 0\end{array}\right.\).\\
b) À l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on a :

\[
g_{n}(x)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{1}{(n-1)!} x^{n-1} e^{-x} & \text { si } x>0 \\
0 & \text { si } x \leqslant 0
\end{array}\right.
\]

c) On admet que pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}, \frac{1}{S_{n}}\) est une variable aléatoire à densité. Pour quelles valeurs de \(n\), l'espérance \(E\left(1 / S_{n}\right)\) et la variance \(V\left(1 / S_{n}\right)\) existent-elles ? Calculer alors leurs valeurs respectives.\\
6. On note \(\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\) un \(n\)-uplet de \(\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{n}\) constituant une réalisation du \(n\)-échantillon \(\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)\). On suppose que le paramètre \(\lambda\) est inconnu. Soit \(H\) la fonction de \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par :

\[
H(\lambda)=\ln \left(\prod_{k=1}^{n} f_{\lambda}\left(x_{k}\right)\right)
\]

Montrer que la fonction \(H\) admet un maximum atteint en un unique point \(\lambda_{0}\) dont on donnera la valeur.\\
7. On pose pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 3 : \(\lambda_{n}^{*}=\frac{n}{\sum_{k=1}^{n} \sqrt{X_{k}}}\).\\
a) Que représente \(\lambda_{0}\) pour \(\lambda_{n}^{*}\) ?\\
b) Construire à partir de \(\lambda_{n}^{*}\) un estimateur sans biais \(\widehat{\lambda}_{n}\) de \(\lambda\) et calculer le risque quadratique \(\rho\left(\widehat{\lambda}_{n}\right)\) de \(\widehat{\lambda}_{n}\).\\
c) Calculer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \rho\left(\widehat{\lambda}_{n}\right)\). Commenter.

\section*{Partie III. Loi à 2 paramètres}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{7}
  \item Soit \(\lambda\) et \(\alpha\) deux paramètres réels strictement positifs et \(f_{(\lambda, \alpha)}\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\end{enumerate}

\[
f_{(\lambda, \alpha)}(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\lambda \alpha x^{\alpha-1} \exp \left(-\lambda x^{\alpha}\right) & \text { si } x>0 \\
0 & \text { si } x \leqslant 0
\end{array}\right.
\]

où exp désigne la fonction exponentielle.\\
a) Montrer que \(f_{(\lambda, \alpha)}\) est une densité de probabilité sur \(\mathbb{R}\).

Soit \(W\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), à valeurs strictement positives, de densité \(f_{(\lambda, \alpha)}\). On dit que \(W\) suit la loi \(\mathcal{W B}(\lambda, \alpha)\).\\
b) On note \(F_{(\lambda, \alpha)}\) la fonction de répartition de \(W\). Calculer pour tout \(x\) réel, \(F_{(\lambda, \alpha)}(x)\).\\
c) Montrer que la variable aléatoire \(F_{(\lambda, \alpha)}(W)\) suit la loi uniforme sur \([0,1]\).\\
d) Écrire une fonction Pascal d'en-tête function W (lambda, alpha : real) : real ; permettant de simuler \(W\).\\
9. Soit \(K\) une variable aléatoire à densité définie sur un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), à valeurs strictement positives, de densité \(f_{K}\) nulle sur \(\mathbb{R}_{-}\), continue sur \(\mathbb{R}\), de classe \(C^{1}\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) et strictement positive sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\). On note \(F_{K}\) la fonction de répartition de \(K\).\\
On pose pour tout \(x\) réel : \(R(x)=-\ln \left(1-F_{K}(x)\right)\) et \(r(x)=R^{\prime}(x)\) (où \(R^{\prime}\) est la fonction dérivée de \(R\) ).\\
a) On suppose dans cette question que \(K\) suit la loi \(\mathcal{W} \mathcal{B}(\lambda, 2)\) avec \(\lambda>0\).

Établir les propriétés (i) et (ii) suivantes:\\
(i) la fonction \(r\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}_{+}\), et \(r(0)=0\).\\
(ii) la variable aléatoire \(r(K)\) suit la loi \(\mathcal{W} \mathcal{B}\left(\frac{1}{4 \lambda}, 2\right)\).\\
b) Réciproquement, on suppose dans cette question que les propriétés (i) et (ii) sont vérifiées.

Montrer que \(K\) suit la loi \(\mathcal{W} \mathcal{B}(\lambda, 2)\). Conclusion.\\
Dans les questions 10 et 11 , l'entier \(n\) est supérieur ou égal à 2 . On note \(w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{n}\) des réels strictement positifs et non tous égaux.\\
10. Soit \(\varphi\) la fonction de \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par: \(\varphi(x)=\frac{\sum_{k=1}^{n}\left(w_{k}\right)^{x}\left(\ln w_{k}\right)}{\sum_{k=1}^{n}\left(w_{k}\right)^{x}}-\frac{1}{x}\).\\
a) Soit \(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\) des réels non tous nuls et \(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}\) des réels quelconques.

En étudiant la fonction polynomiale du second degré \(Q\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(Q(t)=\sum_{k=1}^{n}\left(z_{k}-t y_{k}\right)^{2}\), établir l'inégalité : \(\left(\sum_{k=1}^{n} y_{k} z_{k}\right)^{2} \leqslant\left(\sum_{k=1}^{n} y_{k}^{2}\right) \times\left(\sum_{k=1}^{n} z_{k}^{2}\right)\).\\
b) Montrer que la fonction \(\varphi\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).\\
c) On note \(n_{0}\) le nombre d'entiers \(k_{0}\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\) vérifiant \(w_{k_{0}}=\max _{1 \leqslant k \leqslant n}\left(w_{k}\right)\). Montrer que : \(1 \leqslant n_{0} \leqslant n-1\).\\
d) Donner un équivalent de \(\sum_{k=1}^{n}\left(w_{k}\right)^{x}\) en fonction de \(n_{0}\) et \(w_{k_{0}}\), lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).\\
e) Calculer en fonction de \(w_{k_{0}}\), la limite de \(\varphi(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\). (on distinguera les deux cas : \(w_{k_{0}}=1\) et \(w_{k_{0}} \neq 1\) )\\
f) En déduire que sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\), l'équation \(\varphi(x)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\left(\ln w_{k}\right)\) admet une unique solution.\\
11. On note \(\left(W_{1}, W_{2}, \ldots, W_{n}\right)\) un \(n\)-échantillon de variables aléatoires à valeurs strictement positives, indépendantes et de même loi \(\mathcal{W} \mathcal{B}(\lambda, \alpha)\) définie dans la question 8 , dont une réalisation est le \(n\)-uplet \(\left(w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{n}\right)\). On suppose que les paramètres \(\lambda\) et \(\alpha\) sont inconnus.\\
Soit \(G\) la fonction de \(\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \(G(\lambda, \alpha)=\ln \left(\prod_{k=1}^{n} f_{(\lambda, \alpha)}\left(w_{k}\right)\right)\).\\
a) Montrer que la fonction \(G\) admet un unique point critique \((\widehat{\lambda}, \widehat{\alpha}) \operatorname{sur}\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{2}\).\\
b) Montrer que la fonction \(G\) admet un maximum local au point \((\widehat{\lambda}, \widehat{\alpha})\).


\end{document}