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\title{Conception : HEC Paris }

\author{OPTION ÉCONOMIQUE}
\date{}


\DeclareUnicodeCharacter{2192}{\ifmmode\rightarrow\else{$\rightarrow$}\fi}

\begin{document}
\maketitle


\section*{MATHÉMATIQUES}
Mercredi 26 avril 2017, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{EXERCICE}
Pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), on note \(\mathcal{M}_{n}(\mathbf{R})\) l'ensemble des matrices carrées à \(n\) lignes et \(n\) colonnes à ccefficients réels et \(\mathcal{B}_{n}(\mathbf{R})\) l'ensemble des matrices de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbf{R})\) dont tous les cœfficients sont égaux à 0 ou à 1 .

\begin{enumerate}
  \item Exemple 1. Soit \(A\) la matrice de \(\mathcal{B}_{2}(\mathbf{R})\) définie par : \(A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)\).\\
a) Calculer la matrice \(A^{2}\),\\
b) Quelles sont les valeurs propres de \(A\) ?\\
c) La matrice \(A\) est-elle diagonalisable?
  \item Exemple 2. Soit \(B\) la matrice de \(\mathcal{B}_{3}(\mathbf{R})\) définie par : \(B=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\).
\end{enumerate}

On considère les instructions et la sortie ( \(-\rightarrow\) ) Scilab suivantes :

\[
\begin{aligned}
& B=[0,1,0 ; 1,0,0 ; 0,0,1] \\
& P=[1,1,0 ; 1,-1,0 ; 0,0,1] \\
& \operatorname{inv}(P) * B * P
\end{aligned}
\]

→\\
i. \(\quad 0 . \quad 0\).\\
\(0 . \quad-1 . \quad 0\).\\
0. \(\quad 0 . \quad 1\).\\
a) Déduire les valeurs propres de \(B\) de la séquence Scilab précédente.\\
b) Déterminer une base de chacun des sous-espaces propres de \(B\).\\
3.a) Combien existe-t-il de matrices appartenant à \(\mathcal{B}_{n}(\mathbf{R})\) ?\\
b) Combien existe-t-il de matrices de \(\mathcal{B}_{n}(\mathbf{R})\) dont chaque ligne et chaque colonne comporte exactement un cœfficient égal à 1 ?\\
4. Dans cette question, \(n\) est un entier supérieur ou égal à 2 .

Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et \(u\) un endomorphisme de \(E\). On note :

\begin{itemize}
  \item id l'endomorphisme identité de \(E\);
  \item \(F\) le noyau de l'endomorphisme ( \(u+i d)\) et \(G\) le noyau de l'endomorphisme ( \(u-i d\) );
  \item \(p\) la dimension de \(F\) et \(q\) la dimension de \(G\).
\end{itemize}

On suppose que \(u \circ u=i d\).\\
a) Justifier que l'image de ( \(u-i d\) ) est incluse dans \(F\).\\
b) En déduire l'inégalité : \(p+q \geqslant n\).

On suppose désormais que \(1 \leqslant p<q\). Soit \(\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{p}\right)\) une base de \(F\) et \(\left(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{q}\right)\) une base de \(G\).\\
c) Justifier que \(\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{p}, g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{q}\right)\) est une base de \(E\).\\
d) Calculer \(u\left(g_{1}-f_{1}\right)\) et \(u\left(g_{1}+f_{1}\right)\).\\
e) Trouver une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) appartient à \(\mathcal{B}_{n}(\mathbf{R})\).

\section*{PROBLÈME}
Les tables de mortalité sont utilisées en démographie et en actuariat pour prévoir l'espérance de vie des individus d'une population. On s'intéresse dans ce problème à un modèle qui permet d'ajuster la durée de vie à des statistiques portant sur les décès observés au sein d'une génération.\\
Dans tout le problème, on note:

\begin{itemize}
  \item \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs ;
  \item \((\Omega, \mathcal{A}, P)\) un espace probabilisé sur lequel sont définies toutes les variables aléatoires du problème;
  \item \(G_{a, b}\) la fonction définie sur \(\mathbf{R}_{+}\)par : \(G_{a, b}(x)=\exp \left(-a x-\frac{b}{2} x^{2}\right)\).
\end{itemize}

\section*{Partie 1. Loi exponentielle linéaire}
1,a) Montrer que la fonction \(G_{a, b}\) réalise une bijection de \(\mathbf{R}_{+}\)sur l'intervalle ] 0,1].\\
b) Pour tout réel \(y>0\), résoudre l'équation d'inconnue \(x \in \mathbf{R}: a x+\frac{b}{2} x^{2}=y\).\\
c) On note \(G_{a, b}^{-1}\) la bijection réciproque de \(G_{a, b}\). Quelle est, pour tout \(u \in[0,1]\), l'expression de \(G_{a, b}^{-1}(1-u)\) ?\\
2.a) Justifier la convergence de l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} G_{a, b}(x) \mathrm{d} x\).\\
b) Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbf{R}\) par: \(f(x)=\sqrt{\frac{b}{2 \pi}} \times \exp \left(-\frac{1}{2} b\left(x+\frac{a}{b}\right)^{2}\right)\).

Montrer que \(f\) est une densité d'une variable aléatoire suivant une loi normale dont on précisera les paramètres (espérance et variance).\\
c) Soit \(\Phi\) la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Déduire de la question 2.b), l'égalité :

\[
\int_{0}^{+\infty} G_{a, b}(x) \mathrm{d} x=\sqrt{\frac{2 \pi}{b}} \times \exp \left(\frac{a^{2}}{2 b}\right) \times \Phi\left(-\frac{a}{\sqrt{b}}\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Pour tout \(a>0\) et pour tout \(b>0\), on pose : \(f_{a, b}(x)=\left\{\begin{array}{cl}(a+b x) \exp \left(-a x-\frac{b}{2} x^{2}\right) & \text { si } x \geqslant 0 \\ 0 & \text { si } x<0\end{array}\right.\).\\
a) Justifier que la fonction \(f_{a, b}\) est une densité de probabilité.
\end{enumerate}

On dit qu'une variable aléatoire suit la loi exponentielle linéaire de paramètres a et b, notée \(\mathcal{E}_{\ell}(a, b)\), si elle admet \(f_{a, b}\) pour densité.\\
b) Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi \(\mathcal{E}_{\ell}(a, b)\). À l'aide d'une intégration par parties, justifier que \(X\) admet une espérance \(E(X)\) telle que : \(E(X)=\int_{0}^{+\infty} G_{\mathrm{a}, \mathrm{b}}(x) \mathrm{d} x\).\\
4. Soit \(Y\) une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre 1 . On pose : \(X=\frac{-a+\sqrt{a^{2}+2 b Y}}{b}\).\\
a) Justifier que pour tout réel \(x \in \mathbf{R}_{+}\), on a : \(P([X \geqslant x])=G_{a, b}(x)\).\\
b) En déduire que \(X\) suit la loi \(\mathcal{E}_{\ell}(a, b)\).\\
c) On note \(U\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [ 0,1 [. Déterminer la loi de la variable aléatoire \(G_{a, b}^{-1}(1-U)\).\\
5. La fonction Scilab suivante génère des simulations de la loi exponentielle linéaire.\\
(1) function \(\mathrm{x}^{\text {maxandlinexp }}(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{n})\)\\
(2) \(u=\operatorname{rand}(n, 1)\)\\
(3) \(y=\cdots \cdots \cdots\)\\
(4) \(\quad x=\left(-a+\operatorname{sqrt}\left(a^{\wedge} 2+2 * b * y\right)\right) / b\)\\
(5) endfunction\\
a) Quelle est la signification de la ligne de code (2) ?\\
b) Compléter la ligne de code (3) pour que la fonction grandlinexp génère les simulations désirées.\\
6. De quel nombre réel peut-on penser que les six valeurs générées par la boucle Scilab suivante fourniront des valeurs approchées de plus en plus précises et pourquoi?

\begin{verbatim}
for k=1:6
    mean(grandlinexp(0,1,10^k))
end
\end{verbatim}

Dans la suite du problème, on note \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbf{N}^{*}}\) une suite de variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi exponentielle linéaire \(\mathcal{E}_{\ell}(a, b)\) dont les paramètres \(a>0\) et \(b>0\) sont inconnus.\\
Soit \(h\) un entier supérieur ou égal à 2. On suit pendant une période de h années, une "cohorte" de n individus de même âge au début de l'étude et on modélise leurs durées de vie respectives à partir de cette date par les variables aléatoires \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\).

\section*{Partie II. Premier décès et intervalle de confiance de a}
Pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), on définit les variables aléatoires \(M_{n}, H_{n}\) et \(U_{n}\) par :

\[
M_{n}=\min \left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right), \quad H_{n}=\min \left(h, X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right) \quad \text { et } \quad U_{n}=n H_{n}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item Calculer pour tout \(x \in \mathbf{R}_{+}\), la probabilité \(P\left(\left[M_{n} \geqslant x\right]\right)\). Reconnaître la loi de la variable aléatoire \(M_{n}\).
  \item Pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), on note \(F_{U_{n}}\) la fonction de répartition de la variable aléatoire \(U_{n}\).\\
a) Montrer que pour tout \(x \in \mathbf{R}\), on a : \(F_{U_{n}}(x)=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text { si } x<0 \\ 1-\exp \left(-a x-\frac{b}{2 n} x^{2}\right) & \text { si } 0 \leqslant x<n h \\ 1 & \text { si } x \geqslant n h\end{array}\right.\).\\
b) Étudier la continuité de la fonction \(F_{U_{n}}\),\\
c) La variable aléatoire \(U_{n}\) admet-elle une densité?\\
d) Montrer que la suite de variables aléatoires \(\left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge en loi vers une variable aléatoire dont on précisera la loi.
  \item Soit \(\alpha \in] 0,1\) [.\\
a) Soit \(Y\) une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 1 .
\end{enumerate}

Trouver deux réels \(c\) et \(d\) strictement positifs tels que :

\[
P([c \leqslant Y \leqslant d])=1-\alpha \text { et } P([Y \leqslant c])=\frac{\alpha}{2} .
\]

b) Montrer que \(\left[\frac{c}{U_{n}}, \frac{d}{U_{n}}\right]\) est un intervalle de confiance asymptotíque de \(a\), de niveau de confiance \(1-\alpha\).

\section*{Partie III. Nombre de survivants et estimateur convergent de \(b\)}
Pour tout \(i \in \mathbf{N}^{*}\), soit \(S_{i}\) et \(D_{i}\) les variables aléatoires telles que : \(S_{i}=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { si } X_{i} \geqslant h \\ 0 & \text { sinon }\end{array}\right.\) et \(D_{i}=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { si } X_{i} \leqslant 1 \\ 0 & \text { sinon }\end{array}\right.\). Pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), on pose : \(\bar{S}_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} S_{i}\) et \(\bar{D}_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} D_{i}\).\\
10.a) Justifier que pour tout \(i \in \llbracket 1, n \rrbracket\), on a \(E\left(S_{i}\right)=G_{a, b}(h)\) et calculer \(E\left(S_{i} D_{i}\right)\).\\
b) Pour quels couples \((i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^{2}\), les variables aléatoires \(S_{i}\) et \(D_{j}\) sont-elles indépendantes?\\
c) Déduire des questions précédentes l'expression de la covariance \(\operatorname{Cov}\left(\bar{S}_{n}, \bar{D}_{n}\right)\) de \(\bar{S}_{n}\) et \(\bar{D}_{n}\) en fonction de \(n, G_{a, b}(h)\) et \(G_{a, b}(1)\). Le signe de cette covariance etait-il prévisible?\\
11.a) Montrer que \(\bar{S}_{n}\) est un estimateur sans biais et convergent du paramètre \(G_{a, b}(h)\).\\
b) De quel paramètre, \(\bar{D}_{n}\) est il un estimateur sans biais et convergent?\\
12. On pose: \(z(a, b)=\ln \left(G_{a, b}(1)\right)\) et \(r(a, b)=\ln \left(G_{a, b}(h)\right)\).

Pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), on pose : \(Z_{n}=\ln \left(1-\bar{D}_{n}+\frac{1}{n}\right)\) et \(R_{n}=\ln \left(\bar{S}_{n}+\frac{1}{n}\right)\).\\
On admet que \(Z_{n}\) et \(R_{n}\) sont des estimateurs convergents de \(z(a, b)\) et \(r(a, b)\) respectivement.\\
a) Soit \(\varepsilon, \lambda\) et \(\mu\) des réels strictement positifs.\\
(i) Justifier linclusion suivante :

\[
\left[\left|\left(\lambda Z_{n}-\mu R_{n}\right)-(\lambda z(a, b)-\mu r(a, b))\right| \geqslant \varepsilon\right] \subset\left[\lambda\left|Z_{n}-z(a, b)\right|+\mu\left|R_{n}-r(a, b)\right| \geqslant \varepsilon\right] .
\]

(ii) En déduire l'inégalité suivante:\\
\(P\left(\left|\left|\left(\lambda Z_{n}-\mu R_{n}\right)-(\lambda z(a, b)-\mu r(a, b))\right| \geqslant \varepsilon\right]\right) \leqslant P\left(\left[\left|Z_{n}-z(a, b)\right| \geqslant \frac{\varepsilon}{2 \lambda}\right]\right)+P\left(\left[\left|R_{n}-r(a, b)\right| \geqslant \frac{\varepsilon}{2 \mu}\right]\right)\).\\
b) Pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), on pose : \(B_{n}=\frac{2}{h-1} Z_{n}-\frac{2}{h(h-1)} R_{n}\).

Montrer que \(B_{n}\) est un estimateur convergent du paramètre \(b\).


\end{document}