\documentclass[10pt]{article}
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\usepackage{bbold}

\begin{document}
\section*{Conception : EDHEC BS \\
 MATHÉMATIQUES APPROFONDIES \\
 FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE \\
 VOIE GÉNÉRALE}
Lundi 27 avril 2026 de 14h à 18h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Il est demandé aux candidats d'indiquer clairement les numéros des questions traitées et de mettre leurs résultats en valeur.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

On suppose, et c'est valable pour toute l'épreuve, que les librairies numpy et numpy.random de Python sont importées avec les commandes respectives import numpy as np, et import numpy.random as rd.

Exercice 1\\
On considère deux variables aléatoires \(X_{1}\) et \(X_{2}\) indépendantes, telles que \(\left.\left.X_{1}(\Omega)=X_{2}(\Omega)=\right] 0,1\right]\) et suivant toutes les deux la loi uniforme sur [0,1]. On pose \(Y_{1}=\ln \left(X_{1}\right), Y_{2}=\ln \left(X_{2}\right), Z=X_{1} X_{2}\) et on admet que \(Y_{1}, Y_{2}\) et \(Z\) sont des variables aléatoires à densité définies sur le même espace probabilisé que \(X_{1}\) et \(X_{2}\).

\begin{itemize}
  \item[1)] Écrire en Python une fonction simulZ permettant de simuler \(Z\).
  \item[2)] Justifier l'existence de l'espérance et de la variance de \(Z\) puis les déterminer.
  \item[3)] On note \(F\) la fonction de répartition commune à \(Y_{1}\) et \(Y_{2}\).
  \begin{itemize}
    \item[a)] Déterminer \(F(x)\) pour tout réel \(x\).
    \item[b)] En déduire une densité \(f\) commune à \(Y_{1}\) et \(Y_{2}\).
  \end{itemize}
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item a) Vérifier que la fonction \(h\), définie par \(h(x)=\left\{\begin{array}{ll}-x \mathrm{e}^{x} & \text { si } x \leq 0 \\ 0 & \text { si } x>0\end{array}\right.\), est une densité de \(Y_{1}+Y_{2}\).\\
b) En déduire la fonction de répartition \(H\) de \(Y_{1}+Y_{2}\).\\
c) Déterminer la fonction de répartition \(F_{Z}\) de \(Z\) puis vérifier qu'une densité \(f_{Z}\) de \(Z\) est donnée par :
\end{enumerate}

\[
f_{Z}(x)= \begin{cases}-\ln (x) & \text { si } 0<x \leq 1 \\ 0 & \text { sinon }\end{cases}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item a) Pour tout entier naturel \(n\), montrer que l'intégrale \(\int_{0}^{1} x^{n} \ln (x) \mathrm{d} x\) converge et donner sa valeur.\\
b) Retrouver alors les valeurs de \(E(Z)\) et \(V(Z)\) déterminées à la question 2).
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
Dans cet exercice, on pourra utiliser sans démonstration les formules \(\cos (2 a)=2 \cos ^{2}(a)-1\) et \(\sin (2 a)=2 \sin (a) \cos (a)\).\\
On rappelle le développement limité à l'ordre 5 de la fonction sinus au voisinage de 0 donné par :

\[
\sin (x)=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+o\left(x^{5}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que l'on définit parfaitement deux suites \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) et \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) en posant \(u_{1}=0, v_{1}=2\) et, pour tout entier naturel \(n\) non nul :
\end{enumerate}

\[
u_{n+1}=\sqrt{\frac{1+u_{n}}{2}} \text { et } v_{n+1}=\frac{v_{n}}{u_{n+1}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Compléter la fonction Python suivante afin qu'elle renvoie \(v_{n}\).
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
def suite_v(n):
    u=0
    v=2
    for k in range(2,n+1):
        ⋮
        ⋮
    return v
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item a) Montrer qu'il existe une unique suite \(\left(\alpha_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) dont les éléments appartiennent à \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\) et telle que :
\end{enumerate}

\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, u_{n}=\cos \left(\alpha_{n}\right)
\]

b) Expliciter \(\alpha_{n}\) en fonction de \(n\), pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\).\\
c) En déduire que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on a \(v_{n}=2^{n} \sin \left(\frac{\pi}{2^{n}}\right)\) puis donner la valeur de \(\lim _{n \rightarrow+\infty} v_{n}\).\\
4) Déterminer les constantes réelles \(a, b\) et \(c\) telles que :

\[
v_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{=} a+\frac{b}{4^{n}}+\frac{c}{4^{2 n}}+o\left(\frac{1}{4^{2 n}}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item Accélération de convergence par la méthode de Richardson.\\
On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}, w_{n}=\frac{4 v_{n+1}-v_{n}}{3}\).
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item[a)] Écrire en Python une fonction suite\_w utilisant la fonction suite\_v et qui renvoie \(w_{n}\).
  \item[b)] Donner la limite de \(w_{n}\).
  \item[c)] Montrer que \(w_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{=} \pi-\frac{\pi^{5}}{480 \times 4^{2 n}}+o\left(\frac{1}{4^{2 n}}\right)\), puis déterminer un équivalent de \(\frac{w_{n}-\pi}{v_{n}-\pi}\) lorsque \(n\) est au voisinage de \(+\infty\).
  \item[d)] Dans le cadre de la recherche d'une valeur approchée de \(\pi\), quel intérêt y a-t-il à utiliser la suite \(\left(w_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) plutôt que la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) ?
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Généralisation de la méthode de Richardson.\\
Étant donnés deux réels \(q\) et \(r\) de ]0,1[ tels que \(q>r\), on considère une suite \(\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) vérifiant :
\end{enumerate}

\[
\exists(a, b, c) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*} \times \mathbb{R}^{*}, x_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{=} a+b q^{n}+c r^{n}+o\left(r^{n}\right)
\]

\begin{itemize}
  \item[a)] Définir une suite \(\left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) dont le terme général est combinaison linéaire de \(x_{n}\) et \(x_{n+1}\), qui vérifie \(y_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{=} a+d r^{n}+o\left(r^{n}\right)\), où \(d\) est une constante à déterminer en fonction de \(c, q\) et \(r\).
  \item[b)] Montrer que \(x_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{=} a+b q^{n}+o\left(q^{n}\right)\).
  \item[c)] En déduire que la suite \(\left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge vers \(a\) plus rapidement que la suite \(\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\).
\end{itemize}

\section*{Exercice 3}
On suppose que toutes les variables aléatoires de cet exercice sont définies sur un certain espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, P)\).

Partie 1\\
Un mobile se déplace aléatoirement sur un axe dont l'origine est le point \(O\) d'abscisse 0.\\
Au départ (instant 0 ), le mobile est situé sur le point \(O\).\\
Le mobile se déplace selon la règle suivante : à chaque instant \(k\left(k \in \mathbb{N}^{*}\right)\), il se place de façon équiprobable sur l'un des points d'abscisses \(0,1, \ldots, k\).\\
Pour tout entier naturel \(k\), on note \(X_{k}\) la variable aléatoire égale à l'abscisse de ce point à l'instant \(k\) (on a donc \(X_{0}=0\) ).\\
On admet que \(\left(X_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes.

\begin{enumerate}
  \item a) Déterminer, pour tout entier naturel \(k\) non nul, la loi de \(X_{k}\).\\
b) Montrer que, pour tout entier naturel \(k\) non nul, \(X_{k}\) possède une espérance et une variance, puis calculer \(E\left(X_{k}\right)\) et \(V\left(X_{k}\right)\).
  \item On note \(Y\) la variable aléatoire égale au rang du premier retour à l'origine du mobile (sans prendre en compte son positionnement au départ) et on pose \(Y=0\) s'il n'y a aucun retour à l'origine.\\
a) Pour tout entier naturel \(n\) non nul, exprimer l'événement \((Y=n)\) à l'aide des variables aléatoires \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\).\\
b) En déduire que l'on a :
\end{enumerate}

\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, P(Y=n)=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}
\]

\begin{itemize}
  \item[c)] Déterminer par le calcul la valeur de \(\sum_{n=1}^{+\infty} P(Y=n)\). En déduire \(P(Y=0)\).
  \item[d)] La variable \(Y\) admet-elle une espérance ?
\end{itemize}

Partie 2\\
On désigne par \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 1 et on considère une variable aléatoire \(U_{n}\) telle que \(U_{n}(\Omega)=\llbracket 0, n-1 \rrbracket\) et qui suit la loi uniforme sur \(\llbracket 0, n-1 \rrbracket\).\\
Pour tout \(k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket\), on considère également une variable aléatoire \(Z_{n}\) dont la loi, conditionnellement à l'événement ( \(U_{n}=k\) ), est la loi géométrique de paramètre \(1-\frac{k}{n}\).\\
3) Simulation informatique de \(Z_{n}\).\\
Compléter la fonction suivante afin qu'elle simule \(U_{n}\) et \(Z_{n}\) et renvoie la valeur prise par \(Z_{n}\).

\begin{verbatim}
def var_Z(n):
    U=------
    Z=------
    return Z
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item a) Montrer que, pour tout \(i\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on a l'égalité :
\end{enumerate}

\[
P\left(Z_{n}=i\right)=\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{k}{n}\right)^{i-1}-\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{k}{n}\right)^{i}
\]

\begin{itemize}
  \item[b)] En déduire la valeur de \(\lim _{n \rightarrow+\infty} P\left(Z_{n}=i\right)\).
  \item[c)] Conclure quant à la convergence en loi de la suite \(\left(Z_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item Espérance de \(Z_{n}\).\\
Justifier que l'on peut utiliser la formule de l'espérance totale puis établir que l'espérance de \(Z_{n}\) est donnée par :
\end{enumerate}

\[
E\left(Z_{n}\right)=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Équivalent de \(E\left(Z_{n}\right)\) lorsque \(n\) est au voisinage de \(+\infty\).
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item[a)] Montrer que, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on a :
\[
\frac{1}{k+1} \leq \ln (k+1)-\ln (k) \leq \frac{1}{k}
\]
  \item[b)] Établir, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2 , l'encadrement :
\[
\ln (n)+\frac{1}{n} \leq E\left(Z_{n}\right) \leq \ln (n)+1
\]
  \item[c)] En déduire un équivalent de \(E\left(Z_{n}\right)\).
\end{itemize}

Problème\\
On désigne par \(n\) un entier naturel non nul et on note \(I_{n}\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).\\
On note \(S_{n}(\mathbb{R})\) le sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) constitué des matrices symétriques et on dit qu'une matrice \(M\) de \(S_{n}(\mathbb{R})\) est positive lorsque l'on a :

\[
\forall X \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R}),{ }^{t} X M X \geq 0
\]

On note \(S_{n}{ }^{+}(\mathbb{R})\) l'ensemble des matrices symétriques positives.

Partie 1 : caractérisation des matrices symétriques positives\\
On désigne par \(A\) une matrice de \(S_{n}(\mathbb{R})\) et on se propose de montrer que \(A\) est élément de \(S_{n}{ }^{+}(\mathbb{R})\) si, et seulement si, ses valeurs propres sont positives.

\begin{enumerate}
  \item On suppose que \(A\) est positive et on considère une valeur propre \(\lambda\) de \(A\).
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item[a)] Montrer qu'il existe un vecteur \(X\) non nul de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) tel que \(\lambda=\frac{{ }^{t} X A X}{{ }^{t} X X}\).
  \item[b)] En déduire que \(\lambda \geq 0\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item a) Justifier l'existence d'une matrice orthogonale \(P\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) et d'une matrice diagonale \(D\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) telles que \(A=P D^{t} P\).\\
On pose \(D=\left(\begin{array}{ccc}\lambda_{1} & & (0) \\ \lambda_{2} & \ddots & \\ (0) & & \lambda_{n}\end{array}\right)\) et on suppose que les réels \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\) sont tous positifs, non nécessairement distincts.
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item[b)] Pour tout vecteur \(X\) de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), on pose \(Y={ }^{t} P X\). Montrer que \({ }^{t} X A X={ }^{t} Y D Y\).
  \item[c)] En déduire que : \(\forall X \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R}),{ }^{t} X A X \geq 0\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Conclure quant à l'objectif annoncé.
\end{enumerate}

Partie 2 : « racine carrée » d'une matrice symétrique positive\\
Dans cette partie, \(A\) désigne une matrice de \(S_{n}{ }^{+}(\mathbb{R})\) telle que \(A=P D^{t} P\), les matrices \(P\) et \(D\) étant celles présentées dans la partie 1.\\
4) a) Justifier que la matrice \(\Delta=\left(\begin{array}{cccc}\sqrt{\lambda_{1}} & & & \\ & \sqrt{\lambda_{2}} & & \\ (0) & & \ddots & \\ & & & \sqrt{\lambda_{n}}\end{array}\right)\), élément de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), est correctement définie.\\
b) Vérifier que la matrice \(B=P \Delta^{t} P\) est élément de \(S_{n}{ }^{+}(\mathbb{R})\) et vérifie \(B^{2}=A\).\\
5) On note \(\mu_{1}, \ldots, \mu_{p}\) les valeurs propres distinctes de \(A\) (avec \(1 \leq p \leq n\) ) ce qui fait que \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\) sont éléments de \(\left\{\mu_{1}, \ldots, \mu_{p}\right\}\).\\
Pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, p \rrbracket\), on pose : \(\forall x \in \mathbb{R}, L_{i}(x)=\prod_{\substack{k=1 \\ k \neq i}}^{p} \frac{x-\mu_{k}}{\mu_{i}-\mu_{k}}\).\\
Pour tout \((i, j) \in \llbracket 1, p \rrbracket^{2}\), justifier que l'on a :

\[
L_{i}\left(\mu_{i}\right)=1 \text { et } L_{i}\left(\mu_{j}\right)=0 \text { si } i \neq j
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item On note \(S\) le polynôme défini par \(S=\sum_{i=1}^{p} \sqrt{\mu_{i}} L_{i}\).
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item[a)] Montrer que \(S\left(\mu_{k}\right)=\sqrt{\mu_{k}}\) pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, p \rrbracket\) et en déduire \(S\left(\lambda_{i}\right)\), pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\).
  \item[b)] Établir, pour tout entier naturel \(k\), la relation \(A^{k}=P D^{k t} P\).
  \item[c)] En déduire que \(S(A)=P S(D)^{t} P\) puis établir finalement que \(B=S(A)\).
\end{itemize}

Partie 3 : unicité de la « racine carrée » d'une matrice symétrique positive\\
Dans cette partie, \(A\) désigne toujours une matrice de \(S_{n}{ }^{+}(\mathbb{R})\).\\
On se propose de montrer que la matrice \(B\) trouvée dans la partie précédente est la seule matrice symétrique positive à vérifier \(B^{2}=A\). Pour ce faire, on raisonne par l'absurde en supposant qu'il existe une autre matrice \(C\) de \(S_{n}{ }^{+}(\mathbb{R})\) telle que \(C^{2}=A\).\\
7) a) Montrer que \(C\) et \(A\) commutent (c'est-à-dire que \(A C=C A\) ).\\
b) En déduire que, pour tout entier naturel \(k\), on a \(A^{k} C=C A^{k}\) puis utiliser la question 6c) pour en déduire que \(B\) et \(C\) commutent.

On munit \(\mathbb{R}^{n}\) de sa structure euclidienne canonique pour laquelle on note \(\langle u, v\rangle\) le produit scalaire des vecteurs \(u\) et \(v\) de \(\mathbb{R}^{n}\).\\
On note \(I d\) l'endomorphisme identité de \(\mathbb{R}^{n}, b\) l'endomorphisme symétrique de \(\mathbb{R}^{n}\) canoniquement associé à \(B\) et \(c\) l'endomorphisme symétrique de \(\mathbb{R}^{n}\) canoniquement associé à \(C\).\\
On note toujours \(\mu_{1}, \ldots, \mu_{p}(p \leq n)\) les valeurs propres distinctes de \(A\), et pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, p \rrbracket\), on pose \(E_{i}=\operatorname{Ker}\left(b-\sqrt{\mu_{i}} I d\right)\).\\
8) a) Justifier rapidement que \(b \circ c=c \circ b\).\\
b) Montrer que \(E_{i}\) est stable par \(c\) (c'est-à-dire que, si \(x \in E_{i}\), alors \(c(x) \in E_{i}\) ).\\
c) On note alors \(c_{i}\) l'endomorphisme induit par \(c\) sur \(E_{i}\), défini par :

\[
c_{i}: \begin{aligned}
& E_{i} \rightarrow E_{i} \\
& x \mapsto c_{i}(x)=c(x)
\end{aligned}
\]

Justifier que \(c_{i}\) est symétrique.\\
d) En déduire qu'il existe une base orthonormale \(\mathcal{B}_{i}\) de \(E_{i}\) formée de vecteurs propres, à la fois de \(c_{i}\) et de \(b\).\\
e) Expliquer comment construire une base \(\mathcal{B}\) de \(\mathbb{R}^{n}\) dans laquelle les matrices de \(b\) et \(c\) sont diagonales.\\
f) Montrer alors que \(C=B\).

Grâce à l'unicité, on note maintenant \(B=A^{1 / 2}\) et \(B\) est appelée la « racine carrée » de \(A\).\\
Partie 4 : un résultat sur l'inversibilité et la positivité\\
On dit qu'une matrice \(M\) de \(S_{n}(\mathbb{R})\) est définie positive lorsque l'on a :

\[
\forall X \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R}) \backslash\left\{0_{\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})}\right\},{ }^{t} X M X>0
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{8}
  \item En s'inspirant des questions 1) et 2), mais sans refaire les calculs déjà faits, montrer qu'une matrice \(A\) de \(S_{n}(\mathbb{R})\) est définie positive si, et seulement si, ses valeurs propres sont strictement positives.
  \item Soit \(M\) une matrice de \(S_{n}(\mathbb{R})\). On note \(\operatorname{Sp}(M)\) l'ensemble des valeurs propres de \(M\).\\
On pose \(N=M-I_{n}\).\\
a) Montrer que \(N\) est symétrique.\\
On suppose dans la suite de cette question que \(N\) est positive.\\
b) Montrer que \(\operatorname{Sp}(M) \subset[1,+\infty[\) et en déduire que \(M\) est inversible.\\
Établir que \(I_{n}-M^{-1}\) est positive.
  \item Soit \(S_{1}\) et \(S_{2}\) deux matrices de \(S_{n}(\mathbb{R})\), avec \(S_{1}\) définie positive.\\
On admet sans démonstration que \(S_{2}-S_{1}\) est symétrique et on suppose que \(S_{2}-S_{1}\) est positive.
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item[a)] Montrer que \(S_{2}\) est définie positive.
  \item[b)] Justifier que \(S_{1}{ }^{1 / 2}\) est inversible puis développer et simplifier le produit \(S_{1}{ }^{-1 / 2}\left(S_{2}-S_{1}\right) S_{1}{ }^{-1 / 2}\), où \(S_{1}{ }^{-1 / 2}\) désigne l'inverse de \(S_{1}{ }^{1 / 2}\).
  \item[c)] On pose \(L=S_{1}{ }^{-1 / 2} S_{2} S_{1}{ }^{-1 / 2}\).
\end{itemize}

Vérifier que \(L\) est symétrique et que \(L-I_{n}\) est symétrique, puis montrer, en considérant, pour tout \(X \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), le réel \({ }^{t} X\left(L-I_{n}\right) X\), que \(L-I_{n}\) est positive.

\begin{itemize}
  \item[d)] Justifier que \(L\) est inversible et que \(I_{n}-L^{-1}\) est positive.
  \item[e)] Établir finalement que \(S_{1}^{1 / 2}\left(S_{1}^{-1}-S_{2}^{-1}\right) S_{1}^{1 / 2}\) est positive et conclure que \(S_{1}^{-1}-S_{2}^{-1}\) est positive.
\end{itemize}

\end{document}