\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{bbold}
\usepackage{mathrsfs}

\begin{document}
\section*{EDHEC Business School}
Concours d'admission sur classes préparatoires 2003

\section*{MATHEMATIQUES}
\section*{Option scientifique}
\section*{Mardi 20 mai 2003, de 8h à 12h}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

\section*{Exercice 1}
\(P\) désignant un polynôme de \(\mathbb{R}[X]\) tel que \(P=\sum_{k=0}^{m} a_{k} X^{k}\), on rappelle que, pour toute matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_{s}(\mathbb{R}), P(A)= a_{0} I+a_{1} A+\ldots+a_{m} A^{\prime \prime \prime}\), où \(I\) désigne la matrice unité de \(\mathcal{M}_{s}(\mathbb{R})\).\\
On admet que si \(P\) et \(Q\) sont deux polynômes de \(\mathbb{R}[X]\) et si \(A\) est une matrice de \(\mathcal{M}_{s}(\mathbb{R})\), alors :\\
\((P Q)(A)=P(A) Q(A)\).\\
On se propose de déterminer explicitement le termc général de la suite ( \(u_{n}\) ) définie par : \(u_{0}=0, u_{1}=1, u_{2}=1\) et la relation, valable pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}, u_{n+3}=4 u_{n+2}-5 u_{n+1}+2 u_{n}\).\\
Pour ce faire, on pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}, X_{n}=\left(\begin{array}{c}u_{n+2} \\ u_{n+1} \\ u_{n}\end{array}\right)\).

\begin{enumerate}
  \item a. Écrire la matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\), indépendante de \(n\), telle que: \(\forall n \in \mathbb{N}, X_{n+1}=A X_{n}\).\\
b. Vérifier que \((A-I)^{2}(A-2 I)=0\).
  \item On considère le polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}[X]\) défini par \(P(X)=(X-1)^{2}(X-2)\).\\
a. Justifier l'existence et l'unicité d'un couple ( \(Q_{n}, R_{n}\) ) de \(\mathbb{R}[X] \times \mathbb{R}_{2}[X]\), tel que : \(\forall n \in \mathbb{N}, X^{n}=P Q_{n}+R_{n}\).\\
b. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), il existe des rócls \(a_{n}, b_{n}\) et \(c_{n}\) tels que :\\
\(R_{n}(X)=a_{n}+b_{n}(X-1)+c_{n}(X-1)^{2}\).\\
c. Établir que: \(\forall n \in \mathbb{N}, a_{n}=1, b_{n}=n\) et \(c_{n}=2^{n}-n-1\).
  \item a. Utiliser la question précédente pour écrire, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N} A^{n}\) comme combinaison linéaire de \(I, A-I\) et \((A-I)^{2}\).\\
b. Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) donner la troisième ligne de la matrice \(A^{\prime \prime}\).
  \item a. Montrer que: \(\forall n \in \mathbb{N}, X_{n}=A^{n}\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)\).\\
b. En déduire, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}, u_{n}\) en fonction de \(n\).
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
Soit \(p\) un entier naturel et \(f\) une fonction continue, strictement positive, décroissante sur \(\left[p,+\infty\left[\right.\right.\) et telle que \(\int_{p}^{+\infty} f(t) d t\) converge.\\
Pour tout entier naturel \(n\) supéricur ou égal à \(p\), on pose \(S_{n}=\sum_{k=p}^{n} f(k)\).

\begin{enumerate}
  \item a. Utiliser la décroissance de \(f\) pour montrer que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(p\), on a: \(S_{n}-f(p) \leq \int_{p}^{n} f(t) d t\).\\
b. En déduire que la série de terme général \(f(n)\) est convergente.
\end{enumerate}

On pose désormais, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(p, R_{n}=\sum_{k=n+1}^{+\infty} f(k)\).\\
2) a. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) supéricur ou égal à \(p\), on a :

\[
\int_{n}^{+\infty} f(t) d t-f(n) \leq R_{n} \leq \int_{n}^{+\infty} f(t) d t
\]

b. En déduire une condition suffisante portant sur \(f(n)\) et \(\int_{n}^{+\infty} f(t) d t\) pour que :

\[
R_{n} \underset{+\infty}{\sim} \int_{n}^{+\infty} f(t) d t
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Dans cette question, pour tout réel \(x\) de \(\left[2,+\infty\left[\right.\right.\), on pose \(f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{2}}\).\\
a. Montrer que cette fonction vérifie les quatre hypothèses de l'énoncé ainsi que la condition trouvée à la question 2b).\\
b. En déduire un équivalent, lorsque \(n\) est au voisinage de \(+\infty\), de \(R_{n}=\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k(\ln k)^{2}}\).\\
c. La série de terme général \(R_{n}(n \geq 1)\) est-elle convergente ?
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
Pour toute matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\), on note \({ }^{\prime} A\) la matrice transposée de \(A\) et \(\operatorname{tr}(A)\) la trace de \(A\), c'est-à-dire la somme des éléments diagonaux de \(A\).\\
On note \(I\) la matrice unité de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) et on considère la matrice \(J\), élément de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\). définie par \(J=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\).\\
A tout couple \((A, B)\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}) \times \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\), on associe le réel \(\langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left({ }^{\prime} A B\right)\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur \(\mathscr{M}_{3}(\mathbb{R})\).
\end{enumerate}

Dans toute la suite, on se place dans l'espace euclidien \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) muni de ce produit scalaire.\\
2) Montrer que ( \(I, J, J^{2}\) ) est une famille orthogonale.\\
3) On note \(E\) le sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) engendré par ( \(I, J, J^{2}\) ).\\
a. Déterminer une base orthonommale de \(E\), notée ( \(K_{0}, K_{1}, K_{2}\) ) telle que, pour tout \(i\) de \(\{0,1,2\}, K_{i}\) soit proportionnelle à \(J^{i}\) (avec bien sûr \(J^{0}=I\) ).\\
b. Soit \(A\) une matrice quelconque de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) dont le terme situé à l'intersection de la \(i^{\text {ème }}\) ligne et de la \(j\) ème colonne est noté \(a_{i, j}\).\\
Pour tout \(i\) de \(\{0,1,2\}\), déterminer < \(K_{i}, A\) > en fonction de certains des éléments de \(A\).\\
c. On note \(p\) la projection orthogonale sur \(E\). Exprimer \(p(A)\) en fonction de \(K_{0}, K_{1}, K_{2}\) et de certains éléments de \(A\).\\
d. En déduire une base de \(\operatorname{Ker} p\).

\section*{Problème}
\section*{Partie 1}
Dans cette partie. \(r\) désigne un entier naturel et \(x\) désigne un réel de \(] 0,1[\).

\begin{enumerate}
  \item Pour tout entier naturel \(k\) non nul, calculer la dérivée \(k^{\text {ème }}\) de la fonction \(f\),\\[0pt]
définic sur ]0.1[. par: \(f(x)=\frac{1}{(1-x)^{r+1}}\).
  \item Montrer que, lorsque \(n\) est au voisinage de \(+\infty . C_{n+r}^{n} \sim \frac{n^{r}}{r!}\).
  \item Montrer que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} n^{r-1} x^{n}=0\).
  \item Soit \(\varphi_{x}\) la fonction définie sur \([0 . x]\) par \(\varphi_{x}(t)=\frac{x-t}{1-t}\).
\end{enumerate}

Montrer que : \(\forall t \in[0, x], 0 \leq \varphi_{x}(t) \leq x\).\\
5) a. Écrire la formule de Taylor entre 0 et \(x\) avec reste intégral pour la fonction \(f\) à l'ordre \(n\).\\
b. En déduire que : \(0 \leq f(x)-\sum_{k=0}^{n} C_{k+r}^{k} x^{k} \leq(n+r+1) C_{n+r}^{n} x^{\prime \prime} \int_{0}^{x} \frac{d t}{(1-t)^{r+2}}\).\\
c. Montrer finalement que : \(\forall x \in] 0.1\left[. \forall r \in \mathbb{N}, \sum_{k=0}^{+\infty} C_{k+r}^{k} x^{k}=\frac{1}{(1-x)^{r+1}}\right.\).

\section*{Partie 2}
Dans cette partie, \(n\) désigne un entier naturel non nul.\\
On effectue une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes telles que pour chacune d'entre elles, la probabilité de succès soit égale à \(p\), avec \(0<p<1\).\\
On note \(X_{n}\) le nombre d'épreuves qu'il faut réaliser pour obtenir, pour la première fois \(n\) succès, pas forcément consécutifs ( \(X_{n}\) est donc le numéro de l'épreuve où l'on obtient le \(n^{\text {end }}\) succès). On convient que \(X_{n}=0\) si l'on n'obtient pas \(n\) succès.

\begin{enumerate}
  \item Dans cette question sculement, on considère le cas \(n=1\).\\
a. Reconnaitre la loi de \(X_{1}\).\\
b. Donner l'espérance et la variance de \(X_{1}\).
\end{enumerate}

Dans toute la suite, on suppose que \(n \geq 2\).\\
2) a. Déterminer \(X_{n}(\Omega)\).\\
b. Pour tout entier naturel \(k\), calculer la probabilité que l'on obtienne \(n-1\) succès au cours des \(n+k-1\) premières épreuves.\\
c. Déduire de la question précédente que : \(\forall k \in \mathbb{N} . P\left(X_{n}=n+k\right)=C_{n+k-1}^{n-1} p^{n}(1-p)^{k}\).\\
d. Utiliser le résultat de la partie 1 pour vérifier que \(\sum_{k=0}^{+\infty} P\left(X_{n}=n+k\right)=1\).

En déduire \(P\left(X_{n}=0\right)\).\\
On dit que \(X_{n}\) suit la loi binomiale négative de paramètres \(n\) et \(p\).\\
3) a. Montrer que: \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall k \in \mathbb{N}(n+k) C_{n+k-1}^{n-1}=n C_{n+k}^{n}\).\\
b. En utilisant le fait que. pour tout entier naturel \(n . \sum_{k=0}^{+\infty} P\left(X_{n+1}=n+1+k\right)=1\), montrer que \(X_{n}\) possède une espérance et donner sa valeur en fonction de \(n\) et \(p\).\\
4) a. Montrer que: \(\forall n \geq 2, \frac{n-1}{n+k-1} C_{n+k-1}^{n-1}=C_{n+k-2}^{n-2}\).\\
b. Utiliser le théorème de transfert pour montrer que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2. \(\frac{n-1}{X_{n}-1}\) possède une espérance et que \(E\left(\frac{n-1}{X_{n}-1}\right)=p\).\\
5) a. Justifier que \(\frac{n}{X_{n}}\) possède une espérance (on n'en demande pas le calcul).\\
b. Montrer, sans calculer \(E\left(\frac{n}{X_{n}}\right)\), que \(E\left(\frac{n}{X_{n}}\right)>p\).\\
6) Dans cette question, on suppose que le paramètre \(p\) est inconnu.

Pour tout \(n \geq 2\), on pose : \(Y_{n}=\frac{n-1}{X_{n}-1}\) et \(Z_{n}=\frac{n}{X_{n}}\).\\
Des deux suites \(\left(Y_{n}\right)_{n \geq 2}\) et \(\left(Z_{n}\right)_{n \geq 2}\), laquelle est un estimateur sans biais de \(p\) ? On ne se préoccupera pas de l'éventuelle convergence de ces estimateurs.


\end{document}