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\title{ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD \\
 Concours d'admission sur classes préparatoires }

\author{MATHEMATIQUES\\
Option scientifique\\
Mardi 4 mai 2004, de 8h à 12h.}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

\section*{Exercice 1}
Dans tout l'exercice, \(X\) est une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0\).

\begin{enumerate}
  \item Une première inégalité.\\
a. Montrer que \(P(|X-\lambda| \geq \lambda) \leq \frac{1}{\lambda}\).\\
b. En déduire l'inégalité (*) : \(P(X \geq 2 \lambda) \leq \frac{1}{\lambda}\)
  \item Première amélioration de l'inégalité (*).\\
\~{} a. Soit \(Y\) une variable aléatoire discrète, à valeurs positives et ayant une espérance. On note \(Y(\Omega)=\left\{y_{0}, y_{1}, \ldots, y_{n}, \ldots\right\}\). Montrer, en minorant \(E(Y)\), que : \(\forall a>0, P(Y \geq a) \leq \frac{E(Y)}{a}\).\\
b. On considère une variable aléatoire discrète \(Z\), d'espérance nulle et de variance \(\sigma^{2}\).
\end{enumerate}

Montrer que, pour tout couple \((a, x)\) de \(] 0,+\infty\left[\times \mathbb{R}_{+}\right.\):\\
\(P(Z \geq a) \leq P\left((Z+x)^{2} \geq(a+x)^{2}\right)\).\\
c. En appliquant l'inégalité obtenue en 2a) à la variable aléatoire \((Z+x)^{2}\), montrer que :\\
\(\forall a>0, \forall x \geq 0, P(Z \geq a) \leq \frac{\sigma^{2}+x^{2}}{(a+x)^{2}}\).\\
d. En déduire que : \(\forall a>0, P(Z \geq a) \leq \frac{\sigma^{2}}{\sigma^{2}+a^{2}}\) (on pourra étudier la fonction \(f\) qui, à tout \(x\) de \(\mathbb{R}_{+}\), associe \(\frac{\sigma^{2}+x^{2}}{(a+x)^{2}}\) ).\\
e. Utiliser cette dernière inégalité pour montrer que : \(P(X \geq 2 \lambda) \leq \frac{1}{\lambda+1}\).\\
3) Deuxième amélioration de l'inégalité (*).

Pour tout réel \(t\), on pose \(G_{X}(t)=\sum_{k=0}^{+\infty} P(X=k) t^{k}\).\\
a. Justifier l'existence de \(G_{X}(t)\) et montrer que : \(G_{X}(t)=e^{\lambda(t-1)}\).\\
b. Montrer que : \(\forall t \in\left[1,+\infty\left[, \forall a>0, P(X \geq a) \leq \frac{G_{X}(t)}{t^{a}}\right.\right.\).\\
c. Déterminer le minimum sur \(\left[1,+\infty\left[\right.\right.\) de la fonction \(g: t \mapsto \frac{e^{t-1}}{t^{2}}\).\\
d. En déduire que : \(P(X \geq 2 \lambda) \leq\left(\frac{e}{4}\right)^{\lambda}\).\\
4) Montrer que cette dernière amélioration est meilleure que celle obtenue à la question \(2 e\) ) dès que \(\lambda\) prend des valeur assez grandes.

\section*{Exercice 2}
\begin{enumerate}
  \item On pose, lorsque c'est possible, \(f(x)=\int_{1}^{+\infty} \frac{d t}{1+t+t^{x+1}}\). Montrer que le domaine de définition de la fonction \(f\) est \(] 0,+\infty[\).
  \item Montrer que \(f\) est décroissante sur \(] 0,+\infty[\).
  \item a. Justifier l'existence de la quantité \(g(x)\) définie sur \(] 0,+\infty\left[\operatorname{par} g(x)=\int_{1}^{+\infty} \frac{d t}{t\left(1+t^{x}\right)}\right.\).\\
b. Pour tout \(x\) de \(] 0,+\infty\left[\right.\) et pour tout \(t\) de \(\left[1,+\infty\left[\right.\right.\), simplifier \(\frac{1}{t}-\frac{t^{x-1}}{1+t^{x}}\), puis établir que : \(\forall x \in] 0,+\infty\left[, g(x)=\frac{\ln 2}{x}\right.\).\\
c. En déduire que : \(\forall x \in] 0,+\infty\left[, 0 \leq f(x) \leq \frac{\ln 2}{x}\right.\), puis déterminer \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)\).
  \item a. Montrer que: \(\forall x \in] 0,+\infty\left[, 0 \leq \frac{\ln 2}{x}-f(x) \leq \frac{1}{2 x+1}\right.\).\\
b. En déduire la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(0^{+}\)ainsi qu'un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\) est au voisinage de \(0^{+}\).
  \item Dresser le tableau de variation de \(f\).
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
On considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\), définies toutes les deux sur le même espace probabilisé ( \(\Omega, A, P\) ), indépendantes et suivant la loi uniforme sur [ 0,1 ]. On pose \(Z=X+Y\).

\begin{enumerate}
  \item a. Déterminer une densité de \(Z\).\\
b. Montrer que, pour tout \(x\) de \(] 0,1[\), les événements ( \(Z>1\) ) et ( \(1-x<Z \leq 1+x\) ) sont indépendants.
  \item On pose \(T=\operatorname{Max}(X, Y)\). On admet que \(T\) est une variable aléatoire définie elle aussi sur l'espace probabilisé \((\Omega, A, P)\).\\
a. Montrer que \(T\) est une variable à densité puis donner une densité de \(T\).\\
b. En déduire que \(T\) possède une espérance \(E(T)\) et la déterminer.\\
c. On pose \(U=|X-Y|\) et on admet que \(U\) est une variable aléatoire définie elle aussi sur l'espace probabilisé ( \(\Omega, A, P\) ). Montrer que \(U\) est combinaison linéaire de \(Z\) et \(T\), puis en déduire l'espérance de \(U\).
\end{enumerate}

\section*{Problème}
Dans tout le problème, la lettre \(n\) désigne un entier naturel.

\section*{Partie 1}
On note \(E_{n}\) le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel des fonctions réelles de classe \(C^{n}\) sur [ 0,1 ].\\
En particulier, \(E_{0}\) est le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel des fonctions réelles continues sur [ 0,1 ].\\
On note \(N\) l'ensemble des fonctions \(f\) de \(E_{2}\) vérifiant de plus \(f(0)=f(1)=0\).\\
On considère l'application \(u\) de \(N\) dans \(E_{0}\) qui, à toute fonction \(f\) de \(N\) associe sa dérivée seconde, notée \(f^{\prime \prime}\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(N\) est un sous-espace vectoriel de \(E_{2}\).
  \item Montrer que \(u\) est une application linéaire injective.
  \item Soit \(g\) un élément de \(E_{0}\). Pour tout \(x\) de \([0,1]\), on pose \(G(x)=\frac{1}{2} \int_{0}^{1}|x-t| g(t) d t\).\\
a. Justifier que \(G\) est élément de \(E_{1}\) et montrer que :
\end{enumerate}

\[
\forall x \in[0,1], G^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{x} g(t) d t-\int_{x}^{1} g(t) d t\right)
\]

b. En déduire que \(G\) est élément de \(E_{2}\) et déterminer \(G\) ".\\
c. Pour tout \(x\) de \([0,1]\), on pose \(H(x)=G(x)+a x+b\). Déterminer les réels \(a\) et \(b\) (sous forme d'intégrales) pour que \(H\) appartienne à \(N\).\\
d. Déterminer \(u(H)\) puis en déduire que \(u\) est surjective.\\
e. Que peut-on déduire des questions 2) et 3d) ?\\
4) Vérifier que, pour tout \(x\) élément de \([0,1]\) :

\[
\left(u^{-1}\right)(g)(x)=\frac{1}{2} \int_{0}^{1}|x-t| g(t) d t-\frac{1}{2} \int_{0}^{1} t g(t) d t-\frac{x}{2} \int_{0}^{1}(1-2 t) g(t) d t
\]

\section*{Partie 2}
On note \(P_{n}\) l'espace vectoriel des fonctions polynomiales réelles de degré inférieur ou égal à \(n\). Pour tout entier naturel \(k\) et pour tout réel \(x\), on pose \(e_{k}(x)=x^{k}\), avec bien sûr \(e_{0}(x)=1\), et on rappelle que \(\mathfrak{B}=\left(e_{0}, e_{1}, \ldots, e_{n}\right)\) est une base de \(P_{n}\).\\
On note \(N_{n}\) le sous-espace vectoriel de \(P_{n}\) constitué des fonctions polynomiales \(P\) de degré inférieur ou égal à \(n\) et telles que \(P(0)=P(1)=0\).\\
Pour tout entier naturel \(k\) et pour tout réel \(x\) on pose \(f_{k}(x)=x^{k+1}(x-1)\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(C=\left(f_{0}, f_{1}, \ldots, f_{n}\right)\) est une base de \(N_{n+2}\).
\end{enumerate}

On considère l'application linéaire \(v\) de \(N_{n+2}\) dans \(P_{n}\) qui, à toute fonction \(P\) de \(N_{n+2}\) associe sa dérivée seconde, notée \(P^{\prime \prime}\).\\
2) a. Pour tout \(k\) de \(\{0,1, \ldots, n\}\), déterminer \(v\left(f_{k}\right)\) en fonction de certains des vecteurs de \(\mathscr{B}\), puis en déduire la matrice \(A\) de \(v\) relativement aux bases \(C\) et \(\mathbb{B}\).\\
b. En déduire que \(v\) est un isomorphisme de \(N_{n+2}\) sur \(P_{n}\).\\
c. Simplifier, pour tout réel \(x\) et pour tout entier naturel \(k\), la somme \(\sum_{j=0}^{k} f_{j}(x)\).\\
d. Justifier que le résultat de la quatrième question de la partie 1 peut s'appliquer ici, puis déterminer, en utilisant le résultat de la question 2c), la matrice \(A^{-1}\).\\
e. Vérifier cette dernière, dans le cas où \(n=2\) (les calculs devront figurer sur la copie).\\
3) On considère l'application \(w\) qui à tout élément \(P\) de \(P_{n}\) associe \(w(P)\), où \(w(P)\) est la dérivée seconde de l'application qui à tout réel \(x\) associe \(\left(x^{2}-x\right) P(x)\).\\
a. Montrer que \(w\) est un endomorphisme de \(P_{n}\).\\
b. Pour tout \(k\) de \(\{0,1, \ldots, n\}\), déterminer \(w\left(e_{k}\right)\).\\
c. En déduire que la matrice de \(w\) dans \(B\) n'est autre que la matrice \(A\) de la question 2a).\\
d. L'endomorphisme \(w\) est-il diagonalisable ? Est-ce un automorphisme de \(P_{n}\) ?\\
e. Dans le cas \(n=2\), déterminer les sous-espaces propres de \(w\).


\end{document}