\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\section*{ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD}
\section*{Concours d'admission sur classes préparatoires}
\section*{MATHEMATIQUES}
\section*{Option scientifique}
\section*{Vendredi 13 mai 2005 de 8h à 12h}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.}
\section*{Exercice 1}
Dans cet exercice, \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .\\
On désigne par \(I\) la matrice unité de \(\mathscr{M}_{n}(\mathbb{R})\).

\begin{enumerate}
  \item On note \(\operatorname{tr}\) l'application linéaire qui à toute matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) associe sa trace, c'est-à-dire la somme de ses éléments diagonaux.\\
a) Montrer que \(\operatorname{Im} t r=\mathbb{R}\).\\
b) En déduire la dimension de Kertr.\\
c) Établir que \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})=\operatorname{Ker} t r \oplus \operatorname{Vect}(I)\).
  \item Soit \(f\) l'application qui, à toute matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) associe \(f(M)=M+\operatorname{tr}(M) I\),\\
a) Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \(\mathscr{M}_{n}(\mathbb{R})\).\\
b) Utiliser la première question pour déterminer les valeurs propres de \(f\). En déduire que \(f\) est un automorphisme diagonalisable de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).
  \item Soit \(g\) l'application qui, à toute matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) associe \(g(M)=M+\operatorname{tr}(M) J\), où \(J\) désigne une matrice non nulle de \(\mathscr{M}_{n}(\mathbb{R})\) dont la trace est nulle.\\
On admet que \(g\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).\\
a) Établir que le polynôme \(X^{2}-2 X+1\) est un polynôme annulateur de \(g\).\\
b) Montrer que 1 est la seule valeur propre de \(g\).\\
c) \(g\) est-il diagonalisable ?
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
Pour tout réel \(x\), on note \(\lfloor x\rfloor\) la partie entière de \(x\) et on rappelle que \(\lfloor x\rfloor\) est le seul entier vérifiant : \(\lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor+1\).\\
On considère une variable aléatoire \(X\) définie sur un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ) et qui suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) (avec \(\lambda>0\) ). On note \(F\) sa fonction de répartition.\\
On pose \(X_{1}=\lfloor X\rfloor, X_{2}=\left\lfloor 10\left(X-X_{1}\right)\right\rfloor\) et l'on admet que \(X_{1}\) et \(X_{2}\) sont des variables aléatoires définies elles aussi sur ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ).

\begin{enumerate}
  \item a) Déterminer \(X_{1}(\Omega)\).\\
b) Pour tout \(k\) de \(X_{1}(\Omega)\), exprimer \(P\left(X_{1}=k\right)\) à l'aide de \(F\).\\
c) En déduire que \(X_{1}+1\) suit une loi géométrique dont on donnera le paramètre.\\
d) Déterminer \(E\left(X_{1}\right)\) en fonction de \(\lambda\).
  \item a) Déterminer \(X_{2}(\Omega)\) et dire ce que représente \(X_{2}\).\\
b) Justifier que, pour tout \(k\) élément de \(\{0,1, \ldots, 9\}, P\left(X_{2}=k\right)=\sum_{i=0}^{+\infty} P\left(X_{1}=i \cap X_{2}=k\right)\), puis montrer que : \(\forall k \in\{0,1, \ldots, 9\}, P\left(X_{2}=k\right)=\sum_{i=0}^{+\infty}\left(F\left(i+\frac{k+1}{10}\right)-F\left(i+\frac{k}{10}\right)\right)\).\\
En déduire que \(\forall k \in\{0,1, \ldots, 9\}, P\left(X_{2}=k\right)=e^{-\frac{\lambda k}{10}} \frac{1-e^{-\frac{\lambda}{10}}}{1-e^{-\lambda}}\).
  \item Montrer que \(X_{1}\) et \(X_{2}\) sont indépendantes.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
Dans cet exercice, \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .\\
On considère la fonction de \(n\) variables réelles, notée \(f\), définie par :\\
\(\forall\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}, f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}+\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k}\right)^{2}-\sum_{k=1}^{n} x_{k}\)

\begin{enumerate}
  \item a) Montrer que \(f\) est de classe \(C^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{n}\).\\
b) Calculer les dérivées premières et secondes de \(f\).
  \item a) Déterminer le seul point critique ( \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\) ) de \(f\) sur \(\mathbb{R}^{n}\).\\
b) Vérifier que la hessienne de \(f\) en ce point est la matrice \(A_{n}=2\left(I_{n}+J_{n}\right)\), où \(I_{n}\) désigne la matrice unité de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) et \(J_{n}\) la matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) dont tous les éléments sont égaux à 1 .
  \item a) Déterminer le rang de \(J_{n}\). En déduire que 0 est valeur propre de \(J_{n}\) et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.\\
b) Calculer le produit \(J_{n}\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \\ 1\end{array}\right)\).\\
c) À l'aide des questions précédentes, donner les valeurs propres de \(J_{n}\), puis celles de \(A_{n}\).
  \item a) Montrer que, pour tout \(H=\left(\begin{array}{c}h_{1} \\ h_{2} \\ \vdots \\ h_{n}\end{array}\right)\) non nul, on a: \({ }^{t} H A_{n} H>0\).\\
b) En déduire que \(f\) admet un minimum local en ( \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\) ) et vérifier que ce minimum est égal à \(-\frac{n}{4(n+1)}\).
\end{enumerate}

\section*{Problème}
On considère deux jetons \(J_{1}\) et \(J_{2}\), équilibrés (c'est-à-dire tels que chaque face a une chance sur deux d'apparaître au cours d'un lancer).\\
Le jeton \(J_{1}\) possède une face numérotée 0 et une face numérotée 1.\\
Le jeton \(J_{2}\) possède deux faces numérotées 1 .\\
Un joueur choisit au hasard un jeton puis effectue une série de lancers avec ce jeton.\\
On note \(E\) l'événement « le jeton \(J_{1}\) est choisi pour le jeu» et, pour tout entier naturel \(k\) non nul, \(U_{k}\) l'événement « le \(k{ }^{\text {ème }}\) lancer fait apparaître une face numérotée 1 ».

\section*{Partie 1 : étude de quelques variables aléatoires liées à cette épreuve.}
\begin{enumerate}
  \item a) Déterminer la probabilité que le joueur obtienne \(n\) fois ( \(n \in \mathbb{N}^{*}\) ) une face portant le numéro 1 lors des \(n\) premiers lancers.\\
b) Dans cette question, on suppose que le joueur a obtenu \(n\) fois ( \(n \in \mathbb{N}^{*}\) ) une face portant le numéro 1 lors des \(n\) premiers lancers. Quelle est la probabilité qu'il ait joué avec le jeton \(J_{1}\) ? Quelle est la limite de cette probabilité lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) ? Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}

Dans la suite, on considère la variable aléatoire \(X\) égale au rang d'apparition de la première face portant le numéro 0 et on pose \(X=0\) si la face portant le numéro 0 n'apparaît jamais.\\
On considère également la variable aléatoire \(Y\) égale au rang d'apparition de la première face portant le numéro 1 et on pose \(Y=0\) si la face portant le numéro 1 n'apparaît jamais.\\
On suppose ces variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ).\\
2) a) Calculer, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la probabilité \(P(X=n)\).\\
b) En déduire que \(P(X=0)=\frac{1}{2}\). Ce résultat était-il prévisible?\\
c) Montrer que \(X\) a une espérance puis déterminer \(E(X)\).\\
d) Montrer que \(X(X-1)\) a une espérance, la déterminer puis vérifier que \(V(X)=2\).\\
3) a) Calculer, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la probabilité \(P(Y=n)\).\\
b) En déduire que \(P(Y=0)=0\).\\
c) Montrer que \(Y\) a une espérance puis déterminer \(E(Y)\).\\
d) Montrer que \(Y(Y-1)\) a une espérance, la déterminer puis vérifier que \(V(Y)=\frac{5}{4}\).\\
4) On définit sur \((\Omega, \mathcal{A}, P)\) la variable aléatoire \(S\) par : \(\forall \omega \in \Omega, S(\omega)=\operatorname{Max}(X(\omega), Y(\omega))\).\\
a) Déterminer \(S(\Omega)\).\\
b) Montrer que \(P(S=1)=P(X=0)=\frac{1}{2}\).\\
c) Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal 2, comparer d'une part ( \(X=n\) ) et ( \(Y<n\) ) et d'autre part \((Y=n)\) et \((X<n)\), puis en déduire que : \((S=n)=(X=n \cup Y=n)\).\\
d) Reconnaître alors la loi de \(S\) et préciser son espérance et sa variance.\\
5) On définit sur ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ) la variable aléatoire \(I\) par : \(\forall \omega \in \Omega, I(\omega)=\operatorname{Min}(X(\omega), Y(\omega))\).\\
a) Montrer que \(I\) est une variable de Bernoulli.\\
b) Déterminer \(P(I=0)\) puis donner la loi de \(I\), ainsi que son espérance et sa variance.

\section*{Partie 2 : simulation des variables \(X\) et \(Y\).}
On rappelle que random(2) renvoie au hasard un entier de \(\{0,1\}\).

\begin{enumerate}
  \item On considère le programme suivant :
\end{enumerate}

\[
\begin{aligned}
& \text { Program edhec2005; } \\
& \text { Var jeton, lancer, } X \text { : integer; } \\
& \text { Begin } \\
& \text { Randomize; } \\
& X:=0 ; \text { jeton }:=\text { random(2) }+1 ; \\
& \text { if (jeton }=1 \text { then begin } \\
& \qquad \begin{array}{ll} 
& \text { repeat } \\
& X:=X+1 ; \\
& \text { lancer }:=\text { random(2); } \\
& \text { until (lancer }=0 \text { ); } \\
& \text { end ; }
\end{array} \\
& \text { Writeln }(X) ; \\
& \text { end. }
\end{aligned}
\]

a) Expliquer le fonctionnement de ce programme et déterminer quel est le contenu de la variable affichée à la fin.\\
b) Est-on certain que le nombre de passages dans la boucle « Repeat ... until » est fini ?\\
2) Écrire un programme Pascal qui donne la valeur de la variable aléatoire \(Y\).


\end{document}