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\title{ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD \\
 Concours d'admission sur classes préparatoires }

\author{MATHEMATIQUES\\
Option scientifique\\
Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h}
\date{}


\begin{document}
\maketitle


\begin{abstract}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
\end{abstract}

\section*{L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.}
\section*{Exercice 1}
Dans cet exercice, \(m\) désigne un entier naturel non nul. On note id (respectivement \(\theta\) ) l'endomorphisme identité (respectivement l'endomorphisme nul) du \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(\mathbb{C}^{m}\) et on considère un endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{C}^{m}\) vérifiant : \(\left(f-\lambda_{1} i d\right) o\left(f-\lambda_{2} i d\right)=\theta\), où \(\lambda_{1}\) et \(\lambda_{2}\) sont deux complexes distincts.

\begin{enumerate}
  \item a) Vérifier que \(\frac{1}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\left(\left(f-\lambda_{1} i d\right)-\left(f-\lambda_{2} i d\right)\right)=i d\).\\
b) En déduire que : \(\mathbb{C}^{m}=\operatorname{Ker}\left(f-\lambda_{1} i d\right) \oplus \operatorname{Ker}\left(f-\lambda_{2} i d\right)\).\\
c) Conclure que \(f\) est diagonalisable et donner ses valeurs propres (on sera amené à étudier trois cas).\\
Dans la suite de l'exercice, on désigne par \(n\) un entier naturel et l'on se propose de montrer qu'il n'existe pas de matrice de \(\mathscr{M}_{2 n+1}(\mathbb{R})\) telle que \(A^{2}=-I\), où \(I\) désigne la matrice diagonale de \(\mathscr{M}_{2 n+1}(\mathbb{R})\) dont les éléments diagonaux valent 1 .
  \item Trouver une matrice \(A\) de \(\mathscr{M}_{2 n+1}\left(\mathbb{C}\right.\) telle que \(A^{2}=-I\).
  \item Dans cette question, on suppose qu'il existe une matrice \(A\) de \(\mathscr{M}_{2 n+1}(\mathbb{R})\) telle que \(A^{2}=-I\).\\
a) Utiliser la première question pour montrer que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathscr{M}_{2 n+1}\) (T) et que ses valeurs propres sont \(i\) et \(-i\).\\
b) Pour toute matrice \(M=\left(m_{i, j}\right)_{\substack{1 \leq i \leq p \\ 1 \leq j \leq q}}\) de \(\mathcal{M}_{p, q}\left(\mathbb{I}\right.\), on note \(\bar{M}\) la matrice \(\left(\overline{m_{i, j}}\right)_{\substack{1 \leq i \leq p \\ 1 \leq j \leq q}}\).
\end{enumerate}

On note \(E_{i}\) et \(E_{-i}\) les sous-espaces propres de \(A\) associés aux valeurs propres \(i\) et \(-i\).\\
Montrer que \(X \in E_{i} \Leftrightarrow \bar{X} \in E_{-i}\).\\
c) En déduire que, si ( \(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{p}\) ) est une base de \(E_{i}\), alors ( \(\overline{u_{1}}, \overline{u_{2}}, \ldots, \overline{u_{p}}\) ) est une famille libre de \(E_{-i}\). Conclure que \(\operatorname{dim} E_{i}=\operatorname{dim} E_{-i}\).\\
d) Établir enfin le résultat demandé.

\section*{Exercice 2}
\begin{enumerate}
  \item a) Montrer que l'on définit bien une unique suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geq 1}\), à termes strictement positifs, en posant : \(u_{1}=1\) et, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(2, u_{n}=\frac{1}{2 n-1} \sum_{j=1}^{n-1} u_{j}\).\\
b) Vérifier que \(u_{2}=\frac{1}{3}\), puis calculer \(u_{3}\).
  \item Montrer que la série de terme général \(u_{n}\) est divergente et donner \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{j=1}^{n} u_{j}\).
  \item a) Établir que: \(\forall n \geq 2, u_{n+1}=\frac{2 n}{2 n+1} u_{n}\).\\
b) En déduire que la suite ( \(u_{n}\) ) est convergente.\\
c) Donner un équivalent de \(\ln \left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}}\right)\) lorsque \(n\) est au voisinage de \(+\infty\) puis déterminer la nature de la série de terme général \(\ln \left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}}\right)\).\\
d) En déduire \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \ln \left(u_{n}\right)\), puis montrer que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=0\).
  \item a) Montrer que: \(\forall n \geq 2, u_{n}=\frac{4^{n}}{4 n\binom{2 n}{n}}\), où \(\binom{2 n}{n}\) désigne le coefficient binomial \(\frac{(2 n)!}{n!n!}\).\\
b) En utilisant la question 2), déterminer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} n u_{n}\), puis montrer que : \(\binom{2 n}{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{=} o\left(4^{n}\right)\).
  \item En utilisant le résultat de la question 3), montrer que : \(\frac{4^{n}}{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{=} o\left(\binom{2 n}{n}\right)\).
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
On considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\), définies sur un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{T}, P\) ), indépendantes et suivant toutes deux la loi normale centrée réduite (de densité notée \(\varphi\) et de fonction de répartition notée \(\Phi\) ).\\
On pose \(Z=\operatorname{Sup}(X, Y)\) et l'on se propose de déterminer la loi de \(Z\), ainsi que son espérance et sa variance.

\begin{enumerate}
  \item a) Montrer que \(Z\) est une variable aléatoire à densité définie elle aussi sur ( \(\Omega, \mathcal{T}, P\) ).\\
b) Vérifier que \(Z\) admet pour densité la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par :
\end{enumerate}

\[
f(x)=2 \varphi(x) \Phi(x)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item a) Rappeler la valeur de l'intégrale \(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^{2}}{2}} d t\).\\
b) En déduire la convergence et la valeur de \(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^{2}} d t\).\\
c) En remarquant que, pour tout réel \(x, \varphi^{\prime}(x)=-x \varphi(x)\), montrer, grâce à une intégration par parties, que : \(\int_{0}^{+\infty} x f(x) d x=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}+\frac{1}{\pi} \int_{0}^{+\infty} e^{-t^{2}} d t\).\\
d) Montrer de même que : \(\int_{-\infty}^{0} x f(x) d x=-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}+\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{0} e^{-t^{2}} d t\).
\end{enumerate}

En déduire que \(Z\) a une espérance et donner sa valeur.\\
3) a) Montrer que \(X^{2}\) et \(Z^{2}\) suivent la même loi.\\
b) Déterminer \(E\left(Z^{2}\right)\), puis donner la valeur de la variance de \(Z\).

\section*{Problème}
Un mobile se déplace sur les points à coordonnées entières d'un axe d'origine \(O\).\\
Au départ, le mobile est à l'origine (point d'abscisse 0 ).\\
Le mobile se déplace selon la règle suivante : s'il est sur le point d'abscisse \(k\) à l'instant \(n\), alors, à l'instant \((n+1)\) il sera sur le point d'abscisse \((k+1)\) avec la probabilité \(\frac{k+1}{k+2}\) ou sur le point d'abscisse 0 avec la probabilité \(\frac{1}{k+2}\).\\
Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), on note \(X_{n}\) l'abscisse de ce point à l'instant \(n\) et l'on a donc \(X_{0}=0\).\\
On admet que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}, X_{n}\) est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{T}, P\) ) et on pose \(u_{n}=P\left(X_{n}=0\right)\).

\section*{Partie 1: étude de la variable \(\boldsymbol{X}_{\boldsymbol{n}}\).}
\begin{enumerate}
  \item Vérifier que \(X_{1}(\Omega)=\{0,1\}\) puis donner la loi de \(X_{1}\).
  \item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n, X_{n}(\Omega)=\{0,1, \ldots, n\}\).
  \item a) Montrer que: \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall k \in\{1, \ldots, n\}, P\left(X_{n}=k\right)=\frac{k}{k+1} P\left(X_{n-1}=k-1\right)\).\\
b) En déduire que : \(\forall n \in \mathbb{N}, \forall k \in\{0,1, \ldots, n\}, P\left(X_{n}=k\right)=\frac{1}{k+1} u_{n-k}\).\\
c) En remarquant que \(\sum_{k=0}^{n} P\left(X_{n}=k\right)=1\), montrer que : \(\forall n \in \mathbb{N}, \sum_{j=0}^{n} \frac{u_{j}}{n-j+1}=1\).\\
d) Retrouver ainsi les valeurs de \(u_{0}\) et \(u_{1}\) puis déterminer \(u_{2}\) et \(u_{3}\).
  \item a) En remarquant que la relation obtenue à la question 3a) peut s'écrire sous la forme \((k+1) P\left(X_{n}=k\right)=k P\left(X_{n-1}=k-1\right)\), montrer que : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, E\left(X_{n}\right)-E\left(X_{n-1}\right)=u_{n}\).\\
b) En déduire, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(E\left(X_{n}\right)\) sous forme de somme mettant en jeu certains termes de la suite \(\left(u_{n}\right)\).\\
c) Pour tout entier naturel \(n\) non nul, donner la valeur de \(\sum_{j=0}^{n-1} \frac{u_{j}}{n-j}\) et vérifier que\\
\(u_{n}+\sum_{j=0}^{n-1} \frac{u_{j}}{n-j+1}=1\).\\
Déduire de ces deux résultats que : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, u_{n}=\sum_{j=0}^{n-1} \frac{u_{j}}{(n-j)(n-j+1)}\).\\
d) Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}, u_{n} \geq \frac{1}{n+1}\). Déterminer ensuite \(\lim _{n \rightarrow+\infty} E\left(X_{n}\right)\).
\end{enumerate}

\section*{Partie 2 : étude du premier retour à l'origine.}
On note \(T\) l'instant auquel le mobile se trouve pour la première fois à l'origine (sans compter son positionnement au départ) et on admet que \(T\) est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur \((\Omega, \mathcal{T}, P)\). On convient que \(T\) prend la valeur 0 si le mobile ne revient jamais en \(O\).\\
Par exemple, si les abscisses successives du mobile après son départ sont \(0,0,1,2,0,0,1\), alors on a \(T=1\). Si les abscisses successives sont: \(1,2,3,0,0,1\), alors on a \(T=4\).


\end{document}