\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\section*{Concours EDHEC \\
 Classes Préparatoires}
Mai 2008

\section*{MATHEMATIQUES}
\section*{Option scientifique}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

\section*{Exercice 1}
\begin{enumerate}
  \item On considère la matrice \(A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ y & 2 x\end{array}\right)\), élément de \(\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\).
\end{enumerate}

Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur les réels \(x\) et \(y\) pour que la matrice \(A\) soit diagonalisable dans \(\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\).\\
2) Dans la suite, \(X\) et \(Y\) sont des variables aléatoires réelles, définies sur le même espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), indépendantes et qui suivent toutes les deux la loi uniforme sur [ 0,1 ]. On note \(F_{X}\) (respectivement \(F_{Y}\) ) la fonction de répartition de \(X\) (respectivement \(Y\) ).\\
a) Déterminer une densité de \(X^{2}\) (on ne demande pas de vérifier que \(X^{2}\) est une variable aléatoire à densité).\\
b) Déterminer une densité de \(-Y\) (on ne demande pas de vérifier que \(-Y\) est une variable aléatoire à densité)..\\
c) En déduire que la variable aléatoire \(X^{2}-Y\) admet pour densité la fonction \(h\) définie par :

\[
h(x)=\left\{\begin{array}{l}
\sqrt{x+1} \text { si }-1 \leq x<0 \\
1-\sqrt{x} \text { si } 0 \leq x \leq 1 \\
0 \text { sinon }
\end{array}\right.
\]

d) Déterminer enfin la probabilité que la matrice \(M=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ Y & 2 X\end{array}\right)\) soit diagonalisable dans \(\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\)

\section*{Exercice 2}
On se propose dans cet exercice de montrer que la série de terme général \(u_{n}=(-1)^{n} \frac{\sin n}{n}\) est convergente et de calculer sa somme.

\begin{enumerate}
  \item On désigne par \(f\) une fonction de classe \(C^{1}\) sur l'intervalle \([a, b]\) et par \(\lambda\) un réel strictement positif. Montrer, grâce à une intégration par parties, que : \(\lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(t) \cos (\lambda t) d t=0\).
  \item a) On rappelle que : \(\forall(a, b) \in \mathbb{R}^{2}, \cos (a+b)=\cos a \cos b-\sin a \sin b\).
\end{enumerate}

Exprimer, pour tout réel \(t, \cos \frac{t}{2} \cos (k t)\) en fonction de \(\cos \left(\frac{2 k+1}{2} t\right)\) et \(\cos \left(\frac{2 k-1}{2} t\right)\).\\
b) En déduire que :

\[
\forall t \in[0,1], \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \cos \frac{t}{2} \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k} \cos (k t)=\frac{1}{2}\left((-1)^{n} \cos \left(\frac{2 n+1}{2} t\right)-\cos \frac{t}{2}\right)
\]

c) Montrer alors que : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \sum_{k=1}^{n} u_{k}=(-1)^{n} \int_{0}^{1} \frac{\cos \left(\frac{2 n+1}{2} t\right)}{2 \cos \frac{t}{2}} d t-\frac{1}{2}\).\\
3) Utiliser la première question pour conclure que la série de terme général \(u_{n}\) converge et que :

\[
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{\sin n}{n}=-\frac{1}{2}
\]

\section*{Exercice 3}
Dans cet exercice, \(f\) désigne un endomorphisme d'un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie. On se propose d'étudier quelques situations dans lesquelles on peut établir que \(E=\operatorname{Ker} f \oplus \operatorname{Im} f\).

\begin{enumerate}
  \item a) Montrer que si \(f\) est un automorphisme de \(E\), alors on a bien \(E=\operatorname{Ker} f \oplus \operatorname{Im} f\).\\
b) Étude d'un exemple : on considère deux sous-espaces vectoriels supplémentaires, \(F\) et \(G\), de \(E\). Tout élément \(x\) de \(E\) s'écrit donc de manière unique \(x=x_{F}+x_{G}\), avec \(x_{F} \in F\) et \(x_{G} \in G\). On appelle alors symétrie par rapport à \(F\) parallèlement à \(G\) l'endomorphisme \(s\) de \(E\) défini par :
\end{enumerate}

\[
s(x)=x_{F}-x_{G}
\]

Déterminer \(s^{2}\) et en déduire que \(E=\operatorname{Kers} \oplus \operatorname{Ims}\).\\
2) Dans cette question, on suppose \(f\) diagonalisable et \(f\) non bijectif (le cas où \(f\) est bijectif ayant été traité dans la première question).\\
a) Traiter le cas où \(f\) est l'endomorphisme nul.\\
b) Dans cette question, on suppose que \(f\) n'est pas l'endomorphisme nul.\\
(i) Montrer que \(f\) a d'autres valeurs propres que la valeur propre 0 .\\
(ii) Montrer que tout sous-espace propre de \(f\) associé à une valeur propre non nulle est inclus dans \(\operatorname{Im} f\).\\
(iii) En déduire que \(E=\operatorname{Ker} f \oplus \operatorname{Im} f\).\\
c) Retrouver le résultat de la question 2b) en considérant la matrice de \(f\) dans une base bien choisie.\\
3) Dans cette question, on considère un endomorphisme \(f\) de \(E\) dont un polynôme annulateur est de la forme \(P=\sum_{k=1}^{p} a_{k} X^{k}\) ou encore \(P=a_{1} X+a_{2} X^{2}+\ldots+a_{p} X^{p}\), avec \(a_{1} \neq 0\) et \(p \geq 1\).\\
a) Soit \(y\) un élément \(\operatorname{de} \operatorname{Im} f \cap \operatorname{Ker} f\).\\
(i) Montrer qu'il existe un vecteur \(x\) de \(E\) tel que \(y=f(x)\) et \(f^{2}(x)=0\).\\
(ii) En déduire que, pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 2 , on a \(f^{k}(x)=0\) puis déterminer \(y\).\\
b) Établir que \(E=\operatorname{Ker} f \oplus \operatorname{Im} f\).

\section*{Problème}
Dans ce problème, \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à 3 et \(p\) est un entier naturel.\\
Un jeu oppose \(n\) joueurs \(J_{1}, J_{2}, \ldots, J_{n}\).\\
Le jeu se déroule de la façon suivante : une pièce équilibrée est lancée ( \(2 p+1\) ) fois. Avant les lancers, chaque joueur écrit une liste de prévisions pour ces lancers. Cette liste contient donc une suite de \((2 p+1)\) caractères \(P\) (pour "pile") ou \(F\) (pour "face"). Les gagnants sont les joueurs ayant le plus grand nombre de prévisions correctes et ils se partagent équitablement la somme de \(n!\) euros.\\
Par exemple, pour \(p=1\), si les lancers donnent trois fois "pile", le joueur ayant noté ( \(P, F, P\) ) a 2 prévisions correctes, et si les lancers donnent dans cet ordre \(P, F, P\), le joueur ayant noté ( \(F, P, F\) ) n'a aucune prévision correcte.\\
Pour tout \(i\) de \(\{1,2, \ldots, n\}\), on note \(X_{i}\) la variable aléatoire égale au nombre de prévisions correctes du joueur \(J_{i}\), on note \(G_{i}\) la variable aléatoire égale au gain du joueur \(J_{i}\) et \(E\left(G_{i}\right)\) l'espérance de \(G_{i}\).\\
L'objectif du problème est de déterminer l'espérance de gain du joueur \(J_{1}\) selon deux stratégies présentées dans les parties 2 et 3 .

\section*{Partie 1 : quelques résultats utiles pour les parties suivantes.}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que les variables \(X_{i}\) suivent toutes la même loi binomiale dont on donnera les paramètres.\\
On pose alors, pour tout \(i\) de \(\{1,2, \ldots, n\}\) et pour tout \(k\) de \(X_{i}(\Omega), q_{k}=P\left(X_{i}=k\right)\) et \(r_{k}=P\left(X_{i} \leq\right. k\) ).
  \item On pose \(S_{p}=\sum_{k=0}^{p}\binom{2 p+1}{k}\) et \(T_{p}=\sum_{k=p+1}^{2 p+1}\binom{2 p+1}{k}\).\\
a) Calculer \(S_{p}+T_{p}\).\\
b) Montrer que \(S_{p}=T_{p}\).\\
c) Déduire des deux résultats précédents la valeur de \(S_{p}\), puis montrer que \(r_{p}=\frac{1}{2}\).
\end{enumerate}

Partie 2 : les joueurs jouent au hasard et indépendamment les uns des autres.\\
Dans cette partie, les variables \(X_{i}\) sont donc mutuellement indépendantes.

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(G_{1}(\Omega)=\left\{\frac{n!}{j+1}, j \in[|0, n-1|]\right\}\).
  \item a) Montrer que \(P_{\left(X_{1}=0\right)}\left(G_{1}=\frac{n!}{n}\right)=\left(q_{0}\right)^{n-1}\).\\
b) Montrer que, pour tout \(j\) élément de \([|0, n-2|], P_{\left(X_{1}=0\right)}\left(G_{1}=\frac{n!}{j+1}\right)=0\).\\
c) En déduire que l'espérance de \(G_{1}\) conditionnellement à l'événement ( \(X_{1}=0\) ) est :
\end{enumerate}

\[
E\left(G_{1} / X_{1}=0\right)=(n-1)!\left(q_{0}\right)^{n-1} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item a) Établir que, pour tout \(k\) non nul de \(X_{1}(\Omega)\) et pour tout \(j\) élément de \([|0, n-1|]\), on a:
\end{enumerate}

\[
P_{\left(X_{1}=k\right)}\left(G_{1}=\frac{n!}{j+1}\right)=\binom{n-1}{j}\left(q_{k}\right)^{j}\left(r_{k-1}\right)^{n-1-j} .
\]

b) Établir que \(\frac{1}{j+1}\binom{n-1}{j}=\frac{1}{n}\binom{n}{j+1}\) puis en déduire que, pour tout \(k\) non nul de \(X_{1}(\Omega)\), l'espérance de \(G_{1}\) conditionnellement à l'événement ( \(X_{1}=k\) ) est :

\[
E\left(G_{1} / X_{1}=k\right)=(n-1)!\frac{\left(r_{k}\right)^{n}-\left(r_{k-1}\right)^{n}}{q_{k}} .
\]

c) Vérifier que cette expression reste valable pour \(k=0\) en posant \(r_{-1}=0\).\\
4) Utiliser les questions 3b) et 3c) pour établir que \(E\left(G_{1}\right)=(n-1)!\).

\section*{Partie 3: J1 et J2 forment un groupe et les autres joueurs jouent comme dans la partie 2.}
Dans cette partie \(J_{1}\) et \(J_{2}\) adoptent la stratégie suivante : \(J_{1}\) joue au hasard mais \(J_{2}\) joue, pour chaque lancer, les prévisions contraires de celles de \(J_{1}\). Par exemple, pour \(p=1\), si \(J_{1}\) a choisi \((F, P, P)\) alors \(J_{2}\) choisit \((P, F, F)\).\\
On note \(G^{\prime}\) le gain du groupe formé par ces deux joueurs, \(J_{1}\) et \(J_{2}\) décidant de partager équitablement ce gain. On a donc, en désignant par \(G_{1}^{\prime}\) et \(G_{2}^{\prime}\) les gains respectifs de \(J_{1}\) et \(J_{2}\) : \(G^{\prime}=G^{\prime}{ }_{1}+G^{\prime}{ }_{2}\) et \(G^{\prime}{ }_{1}=G^{\prime}{ }_{2}\).\\
On pose, pour tout \(i\) de \(\{1,3, \ldots, n\}\) et pour tout \(k\) de \(X_{i}(\Omega), q_{k}=P\left(X_{i}=k\right)\) et \(r_{k}=P\left(X_{i} \leq k\right)\). On note \(Y\) la variable aléatoire égale au nombre de prévisions correctes du meilleur de \(J_{1}\) et \(J_{2}\).

\begin{enumerate}
  \item a) Montrer que un et un seul des joueurs \(J_{1}\) et \(J_{2}\) a au moins ( \(p+1\) ) prévisions correctes.\\
b) En déduire que \(Y(\Omega)=[|p+1,2 p+1|]\).
  \item Vérifier que, dans l'exemple donné au début de cette partie, \(Y\) prend la valeur 3 si les lancers donnent dans cet ordre \(F, P, P\) ou \(P, F, F\) et \(Y\) prend la valeur 2 sinon.
  \item Pour tout \(k\) de \([|p+1,2 p+1|]\), montrer que \(P(Y=k)=2 q_{k}\).
  \item Montrer que \(G^{\prime}(\Omega)=\left\{\frac{n!}{j+1}, j \in[|0, n-2|]\right\}\).
  \item a) Établir que, pour tout \(k\) de \([|p+1,2 p+1|]\) et pour tout \(j\) élément de \([|0, n-1|]\), on a :
\end{enumerate}

\[
P_{(Y=k)}\left(G^{\prime}=\frac{n!}{j+1}\right)=\binom{n-2}{j}\left(q_{k}\right)^{j}\left(r_{k-1}\right)^{n-2-j} .
\]

b) En déduire que, pour tout \(k\) de \([|p+1,2 p+1|]\), l'espérance de \(G\) conditionnellement à l'événement ( \(Y=k\) ) est :

\[
E\left(G^{\prime} / Y=k\right)=n(n-2)!\frac{\left(r_{k}\right)^{n-1}-\left(r_{k-1}\right)^{n-1}}{q_{k}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item a) En déduire, en utilisant le résultat de la deuxième question de la partie 1 , que :
\end{enumerate}

\[
E\left(G^{\prime}\right)=2 n(n-2)!\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)
\]

b) Montrer par récurrence que : \(\forall n \in \mathbb{N}, n \geq 3,2^{n-1}>n\).\\
c) Déterminer \(E\left(G^{\prime}{ }_{1}\right)\) et vérifier que la stratégie adoptée par les joueurs \(J_{1}\) et \(J_{2}\) est avantageuse pour \(J_{1}\) (et donc pour \(J_{2}\) ) du point de vue de l'espérance de leur gain.


\end{document}