\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{bbold}

\begin{document}
\section*{EDHECMATS}
\section*{ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD}
\section*{Concours d'admission sur classes préparatoires}
\section*{MATHEMATIQUES}
\section*{Option scientifique}
\section*{Vendredi 7 mai 2010 de 8h à 12h}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.}
\section*{Exercice 1}
Dans cet exercice, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .\\
On considère la fonction \(f_{n}\) définie, pour tout \(\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\) de l'ouvert \(\left.U=\right] 0,+\infty\left[{ }^{n}\right.\), par :

\[
f_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}}\right)=\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right)\left(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\ldots+\frac{1}{x_{n}}\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(f_{n}\) est de classe \(C^{2}\) sur \(U\).
  \item Montrer que \(f_{n}\) possède une infinité de points critiques \(\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)\) et les déterminer.
  \item a) Déterminer les dérivées partielles secondes de \(f_{n}\).\\
b) Vérifier que la hessienne \(H_{n}\) de \(f_{n}\) en un point critique quelconque de \(f_{n}\) est proportionnelle à la matrice \(K_{n}=n I_{n}-J_{n}\), où \(I_{n}\) désigne la matrice unité de \(\mathscr{M}_{n}(\mathbb{R})\) et \(J_{n}\) la matrice de \(\mathscr{M}_{n}(\mathbb{R})\) dont tous les éléments valent 1 .
  \item a) Déterminer le rang de \(J_{n}\). En déduire que 0 est valeur propre de \(J_{n}\) et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.\\
b) Vérifier que le vecteur \(v_{n}\), élément de \(\mathscr{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), dont tous les éléments sont égaux à 1 , est un vecteur propre de \(J_{n}\).\\
c) À l'aide des questions précédentes, donner les valeurs propres de \(J_{n}\), puis celles de \(K_{n}\).\\
d) Montrer que l'on ne peut pas, de cette façon, conclure à l'existence d'un extremum local de \(f_{n}\) sur \(U\).
  \item Étude du cas \(n=2\)\\
a) Comparer les réels \(\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}\) et \(4 x_{1} x_{2}\).\\
b) En déduire que \(f_{2}\) admet sur \(] 0,+\infty[\times] 0,+\infty[\) un minimum global et donner sa valeur.
\end{enumerate}

\[
1 / 4
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Étude du cas général.
\end{enumerate}

On considère l'espace euclidien \(\mathbb{R}^{n}\) muni de son produit scalaire canonique. En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz à deux vecteurs bien choisis de \(\mathbb{R}^{n}\), montrer que \(f_{n}\) admet un minimum global sur \(U\), égal à \(n^{2}\).

\section*{Exercice 2}
On se place dans un espace euclidien \(E\) de dimension \(n\), où \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .\\
Le produit scalaire des vecteurs \(x\) et \(y\) de \(E\) est noté \((x / y)\) et la norme de \(x\) est notée \(\|x\|\).\\
On désigne par Id l'endomorphisme identique de \(E\).\\
On considère un vecteur \(u\) de \(E\) dont la norme est égale à 1 , un réel \(\lambda\) non nul et on note \(f_{\lambda}\) l'application qui, à tout vecteur \(x\) de \(E\) associe \(f_{\lambda}(x)=\lambda(x / u) u+x\).

\begin{enumerate}
  \item Donner la dimension de \((\operatorname{vect}(u))^{\perp}\).
  \item Montrer que \(f_{\lambda}\) est un endomorphisme de \(E\).
  \item Montrer que le polynôme \(X^{2}-(\lambda+2) X+(\lambda+1)\) est un polynôme annulateur \(\operatorname{de} f_{\lambda}\).
  \item a) Montrer que \(f_{\lambda}\) est un endomorphisme symétrique de \(E\).\\
b) Déterminer \(f_{\lambda}(u)\) et \(f_{\lambda}(v)\) pour tout vecteur \(v \operatorname{de}(\operatorname{vect}(u))^{\perp}\).\\
c) Établir alors que \(f_{\lambda}\) possède deux valeurs propres distinctes et donner les sous-espaces propres associés à ces deux valeurs propres.
  \item Dans cette question on suppose que \(\lambda=-1\).\\
a) Vérifier que \(f_{-1}\) est un projecteur.\\
b) Montrer plus précisément que \(f_{-1}\) est le projecteur orthogonal sur \((\operatorname{vect}(u))^{\perp}\).
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
Dans cet exercice, \(a\) désigne un réel strictement positif.\\
On considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\), définies sur un espace probabilisé \((\Omega, A, P)\), indépendantes, et suivant toutes deux la loi uniforme sur [0, \(a\) [.\\
On pose \(Z=|X-Y|\) et on admet que \(-Y, X-Y\) et \(Z\) sont des variables aléatoires à densité, elles aussi définies sur l'espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ).

\begin{enumerate}
  \item a) Déterminer une densité de \(-Y\).\\
b) En déduire que la variable aléatoire \(X-Y\) admet pour densité la fonction \(g\) définie par :
\end{enumerate}

\[
g(x)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{a-|x|}{a^{2}} \text { si } x \in[-a, a] \\
0 \text { sinon }
\end{array}\right.
\]

On note \(G\) la fonction de répartition de \(X-Y\).\\
2) a) Exprimer la fonction de répartition \(H\) de la variable aléatoire \(Z\) en fonction de \(G\).\\
b) En déduire qu'une densité de \(Z\) est la fonction \(h\) définie par :

\[
h(x)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{2(a-x)}{a^{2}} \text { si } x \in[0, a] \\
0 \text { sinon }
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Montrer que \(Z\) possède une espérance et une variance et les déterminer.
  \item Simulation informatique.
\end{enumerate}

On rappelle qu'en Turbo Pascal, la fonction random permet de simuler la loi uniforme sur \([0,1[\). Compléter la déclaration de fonction suivante pour qu'elle retourne à chaque appel un nombre réel choisi selon la loi de \(Z\).

\[
\begin{aligned}
& \text { Function } z(a: \text { real }): \text { real ; } \\
& \text { Var } x, y: \text { real ; } \\
& \text { Begin } \\
& x:=-\ldots ; y:=-\ldots-\ldots ; z:=-\ldots-\text {; } \\
& \text { End ; }
\end{aligned}
\]

\section*{Problème}
\section*{Préliminaire : un résultat utile pour la partie 2.}
\begin{enumerate}
  \item a) Montrer que, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on a : \(\frac{1}{\sqrt{k+1}} \leq \int_{k}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{t}} d t \leq \frac{1}{\sqrt{k}}\).\\
b) En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2 , on a :
\end{enumerate}

\[
\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \leq \int_{1}^{n} \frac{1}{\sqrt{t}} d t \leq \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{k}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Montrer enfin que :
\end{enumerate}

\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, 2 \sqrt{n}-2 \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \leq 2 \sqrt{n}-1
\]

\section*{Partie 1 : convergence complète.}
\begin{enumerate}
  \item Soit une suite \(\left(X_{n}\right)_{n \geq 1}\) de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ) et une variable aléatoire \(X\), elle aussi définie sur cet espace probabilisé.\\
On suppose que la suite ( \(X_{n}\) ) converge complètement vers \(X\), c'est-à-dire que, pour tout réel \(\varepsilon\) strictement positif, la série de terme général \(P\left(\left|X_{n}-X\right| \geq \varepsilon\right)\) est convergente.\\
Montrer que la suite ( \(X_{n}\) ) converge en probabilité vers \(X\).
  \item On se propose dans cette question d'étudier un exemple montrant que la réciproque de cette propriété est fausse.\\
Pour ce faire, on considère une suite \(\left(Y_{n}\right)_{n \geq 1}\) de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), indépendantes et suivant toutes la loi de Poisson de paramètre \(\frac{1}{n}\)\\
a) Déterminer la probabilité \(P\left(Y_{n} \geq 1\right)\).\\
b) Soit \(\varepsilon\) un réel strictement positif. Montrer que : \(\forall \varepsilon>0,0 \leq P\left(Y_{n} \geq \varepsilon\right) \leq 1-e^{-\frac{1}{n}}\).\\
c) En déduire que la suite ( \(Y_{n}\) ) converge en probabilité vers la variable aléatoire nulle.\\
d) Utiliser la valeur de \(P\left(Y_{n} \geq 1\right)\) pour en déduire que la suite \(\left(Y_{n}\right)\) ne converge pas complètement vers la variable aléatoire certaine nulle.
\end{enumerate}

\section*{Partie 2 : étude d'un exemple.}
Dans cette partie, on considère une suite \(\left(B_{k}\right)_{k \geq 1}\) de variables aléatoires, toutes définies sur le même espace probabilisé ( \(\Omega, A, P\) ), et telles que, pour tout entier naturel \(k\) non nul, \(B_{k}\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(\frac{1}{\sqrt{k}}\). On suppose que les variables aléatoires \(B_{k}\) sont deux à deux indépendantes.

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose \(S_{n}=\sum_{k=1}^{n} B_{k}\) et \(Z_{n}=\frac{S_{n}}{E\left(S_{n}\right)}\) et on admet que les variables aléatoires \(S_{n}\) et \(Z_{n}\) sont, elles aussi, définies sur \((\Omega, \mathcal{A}, P)\).\\
On se propose, dans les questions 1) et 2), de montrer que la suite ( \(Z_{n}\) ) converge en probabilité vers la variable aléatoire certaine égale à 1 et, dans les questions suivantes, de montrer que la suite ( \(Z_{n}\) ) converge complètement vers cette même variable.

\begin{enumerate}
  \item a) Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), donner sous forme de sommes les expressions de \(E\left(S_{n}\right)\) et \(V\left(S_{n}\right)\).\\
b) Vérifier que \(V\left(S_{n}\right) \leq E\left(S_{n}\right)\).
  \item a) Montrer que \(P\left(\left|Z_{n}-1\right| \geq \varepsilon\right) \leq \frac{1}{\varepsilon^{2} E\left(S_{n}\right)}\).\\
b) Établir que la suite \(\left(Z_{n}\right)\) converge en probabilité vers la variable aléatoire certaine égale à 1 .
  \item À l'aide de l'inégalité établie à la question 2a) de cette même partie, montrer que la série de terme général \(P\left(\left|Z_{n^{4}}-1\right| \geq \varepsilon\right)\) est convergente.
  \item On désigne par \(e_{n}\) la partie entière de \(n^{\frac{1}{4}}\), et on a donc : \(e_{n}^{4} \leq n<\left(e_{n}+1\right)^{4}\).\\
a) Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on a : \(\frac{S_{e_{n}^{4}}}{E\left(S_{\left(e_{n}+1\right)^{4}}\right)} \leq Z_{n} \leq \frac{S_{\left(e_{n}+1\right)^{4}}}{E\left(S_{e_{n}^{4}}\right)}\).\\
b) En déduire que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on a : \(\frac{E\left(S_{e_{n}^{4}}\right)}{E\left(S_{\left(e_{n}+1\right)^{4}}\right)} Z_{e_{n}^{4}} \leq Z_{n} \leq \frac{E\left(S_{\left(e_{n}+1\right)^{4}}\right)}{E\left(S_{e_{n}^{4}}\right)} Z_{\left(e_{n}+1\right)^{4}}\).
  \item a) Établir que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{E\left(S_{\left(e_{n}+1\right)^{4}}\right)}{E\left(S_{e_{n}^{4}}\right)}=1\).\\
b) En déduire que, pour tout réel \(\varepsilon\) strictement positif et pour \(n\) assez grand, on a :
\end{enumerate}

\[
\frac{E\left(S_{\left(e_{n}+1\right)^{4}}\right)}{E\left(S_{e_{n}^{4}}\right)} \leq 1+\varepsilon \text { et } \frac{E\left(S_{e_{n}^{4}}\right)}{E\left(S_{\left(e_{n}+1\right)^{4}}\right)} \geq \frac{2+\varepsilon}{2(1+\varepsilon)} .
\]

c) Montrer que, pour tout réel \(\varepsilon\) strictement positif et pour \(n\) assez grand, on a :\\
\(\left(Z_{n} \leq 1-\varepsilon\right) \subset\left(Z_{e_{n}^{4}}-1 \leq-\varepsilon^{2}\right)\) et \(\left(Z_{n} \geq 1+\varepsilon\right) \subset\left(Z_{\left(e_{n}+1\right)^{4}}-1 \geq \frac{\varepsilon}{2}\right)\).\\
d) En déduire alors que, pour tout réel \(\varepsilon\) strictement positif et pour \(n\) assez grand, on a :

\[
P\left(\left|Z_{n}-1\right| \geq \varepsilon\right) \leq P\left(\left|Z_{\left(e_{n}+1\right)^{4}}-1\right| \geq \frac{\varepsilon}{2}\right)+P\left(\left|Z_{e_{n}^{4}}-1\right| \geq \varepsilon^{2}\right)
\]

e) Conclure qu'effectivement, la suite ( \(Z_{n}\) ) converge complètement vers la variable aléatoire certaine égale à 1 .


\end{document}