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\title{ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD \\
 Concours d'admission sur classes préparatoires }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{MATHEMATIQUES}
Option scientifique\\
Vendredi 6 mai 2011

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

\section*{Exercice 1}
Soient \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie, notée \(n\left(n \in \mathbb{N}^{*}\right)\) et \(u\) un endomorphisme de \(E\). On note \(I d\) l'identité de \(E\).\\
Si \(P(X)=a_{0}+a_{1} X+\ldots+a_{p} X^{p}\) est un élément de \(\mathbb{R}[X]\), on rappelle qu'on désigne par \(P(u)\) l'endomorphisme suivant : \(P(u)=a_{0} I+a_{1} u+\ldots+a_{p} u^{p}\) où \(u^{k}\) est la composée \(\underbrace{u \circ u \ldots \circ u}_{k \text { fois }}\left(u^{0}=I d\right.\) par convention).\\
Dans toute la suite \(Q\) est un polynôme qui admet 1 pour racine simple et tel que \(Q(u)=0\). Ainsi on peut écrire \(Q(X)=(X-1) Q_{1}(X)\) avec \(Q_{1}(1) \neq 0\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que l'image de ( \(u-I d\) ) est contenue dans \(\operatorname{Ker}\left(Q_{1}(u)\right)\)
  \item On note \(E_{1}=\operatorname{Ker}(u-I d)\).\\
(a) Montrer que si \(x \in E_{1}\) alors \(Q_{1}(u)(x)=Q_{1}(1)\). \(x\).\\
(b) En déduire que \(E_{1} \cap \operatorname{Ker}\left(Q_{1}(u)\right)=\left\{0_{E}\right\}\)\\
(c) En déduire à l'aide du théorème du rang que \(E=E_{1} \oplus \operatorname{Ker}\left(Q_{1}(u)\right)\).
  \item Montrer que \(Q_{\mathbf{1}}(u)=0 \mathrm{si}\), et seulement si, 1 n'est pas valeur propre de \(u\).
  \item On suppose dans cette question que \(Q(X)=(X-1)(X+1)^{2}\), que \(E\) est de dimension 3 et que 1 est valeur propre de \(u\); on note \(E_{1}\) l'espace propre associé à la valeur propre 1.
\end{enumerate}

Montrer que si la dimension de \(E_{1}\) est supérieure ou égale à 2, l'endomorphisme \(u\) est diagonalisable (on pourra distinguer deux cas, suivant que la dimension de \(E_{1}\) est égale à 2 ou égale à 3 ).

\section*{Exercice 2}
On considère un entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2 . On dispose d'une urne contenant \(2 n\) boules numérotées de 1 à \(n\), chaque numéro apparaissant deux fois. On effectue « au hasard» une succession de tirages simultanés de deux boules de cette urne selon le protocole suivant :

\begin{itemize}
  \item à chaque tirage de deux boules, si les deux boules tirées portent le même numéro, on ne remet pas les deux boules\\
dans l'urne et on dit qu'une paire est reconstituée.
  \item si les deux boules portent des numéros différents, on les remet dans l'urne avant de procéder au tirage suivant. Pour tout élément \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), et tout entier naturel \(k\) non nul, on pose \(T_{i}=k\) si \(k\) tirages exactement ont été nécessaires pour reconstituer \(i\) paires.\\
On admet qu'il existe un espace probablisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}\) ) permettant de modéliser cette expérience et que, pour tout entier \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket, T_{i}\) est une variable aléatoire définie sur cet espace.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \item (a) Déterminer la loi de \(T_{1}\) et reconnaître cette loi.\\
(b) Donner, sans calcul la valeur de l'espérance de \(T_{1}\).
  \item Compléter la partie principale du programme suivant afin qu'il affiche une réalisation de la variable \(T_{1}\) :\\
begin\\
randomize ; readln(n) ;t : 0;\\
repeat a: \(\operatorname{random}(\mathrm{n})+1\);b : random \((\mathrm{n})+1\);\\
t : \(\mathrm{t}+1\);\\
until.......;\\
writeln(t) ;\\
end.
  \item On pose \(X_{1}=T_{1}\) et pour tout \(i\) de \([2, n]\), \(X_{i}=T_{i}-T_{i-1}\).\\
(a) Que représente la variable \(X_{i}\) ?\\
(b) Déterminer, pour tout \(i\) de \([1, n]\) la loi de \(X_{i}\) ainsi que son espérance.\\
(c) En déduire que \(T_{n}\) admet une espérance mathématique et que l'on a \(\mathbb{E}\left(T_{n}\right)=n^{2}\).
  \item On effectue une suite de \(n\) tirages de deux boules selon le protocole précédent.
\end{enumerate}

On note \(S_{n}\) la variable aléatoire égale au nombre de paires reconstituées lors de ces \(n\) tirages.\\
(a) Calculer \(\mathbb{P}\left(\left[S_{n}=0\right]\right)\).\\
(b) Déterminer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}\left(\left[S_{n}=0\right]\right)\).\\
(c) Montrer que \(\mathbb{P}\left(\left[S_{n}=n\right]\right)=\frac{n!2^{n}}{(2 n)!}\).\\
5. Expliquer ce que fait la partie principale du programme suivant :\\
begin\\
randomize; readln(n);m : n ; z: 0;\\
for \(\mathrm{k}: 1\) to n do\\
begin\\
a: random \((m)+1\);b: random \((m)+1\);\\
if \(a \quad b\) then begin \(z: z+1 ; m: m-1\);end ;\\
end ;\\
writeln(z) ;\\
end.

\section*{Exercice 3}
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On note \(\mathbb{R}_{n}[X]\) l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à \(n\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout couple \((P, Q)\) d'éléments de \(\mathbb{R}_{n}[X]\), l'intégrale : \(\int_{0}^{+\infty} P(t) Q(t) e^{-t} d t\) est convergente.
\end{enumerate}

On admet que l'application, notée \(\langle.,\).\(\rangle de \mathbb{R}_{n}[X] \times \mathbb{R}_{n}[X]\) à valeur dans \(\mathbb{R}\), définie par :

\[
\forall(P, Q) \in \mathbb{R}_{n}[X] \times \mathbb{R}_{n}[X], \quad\langle P, Q\rangle=\int_{0}^{+\infty} P(t) Q(t) e^{-t} d t
\]

est un produit scalaire. On note || || la norme associée.\\
2. (a) Soit \(P\) et \(Q\) deux éléments de \(\mathbb{R}_{n}[X], P^{\prime}\) et \(Q^{\prime}\) leurs polynômes dérivés respectifs. Établir la relation suivante :

\[
\left\langle P^{\prime}, Q\right\rangle+\left\langle P, Q^{\prime}\right\rangle=\langle P, Q\rangle-P(0) Q(0)
\]

(b) En déduire que si \(P\) est un polynôme non constant de \(\mathbb{R}_{n}[X]\), orthogonal à tout polynôme de degré strictement inférieur , alors on a \(|P(0)|=\|P\|\).\\
3. On se propose de démontrer dans cette question qu'il existe une unique famille de polynômes ( \(L_{0}, L_{1}, \ldots, L_{n}\) ) vérifiant :

\[
(\mathcal{R})\left\{\begin{array}{l}
L_{0}=1 \\
\forall k \in \llbracket 0, n \rrbracket, d^{\circ}\left(L_{k}\right)=k \\
\forall k \in \llbracket 0, n \rrbracket, L_{k}(0)=1 \\
\left(L_{0}, L_{1}, \ldots, L_{n}\right) \text { est une base orthonormale de } \mathbb{R}_{n}[X]
\end{array}\right.
\]

(a) On suppose qu'il existe deux familles de polynômes \(\left(L_{0}, L_{1}, \ldots, L_{n}\right)\) et \(\left(M_{0}, M_{1}, \ldots, M_{n}\right)\) vérifiant les relations \(\mathcal{R}\).\\
Montrer que, pour tout élément \(k\) de \(\llbracket 0, n \rrbracket\), \(L_{k}=M_{k}\).\\
(b) On note \(\left(P_{0}, P_{1}, \ldots, P_{n}\right)\) la famille obtenue ( à partir de la base canonique \(\left(1, X, \ldots, X^{n}\right)\) de \(\left.\mathbb{R}_{n}[X]\right)\) par le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.\\
i. Justifier, pour tout \(k\) de \([0, n]\), la relation \(P_{k}(0) \neq 0\).\\
ii. En déduire une famille \(\left(L_{0}, L_{1}, \ldots, L_{n}\right)\) vérifiant \(\mathcal{R}\).\\
(c) Conclure et calculer explicitement \(L_{1}\) et \(L_{2}\).

\section*{Problème}
Toutes les variables aléatoires intervenant dans ce problème sont définies sur le même espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}\) ). On considère une suite \(\left(X_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. On considère aussi, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la variable aléatoire \(M_{n}\), définie par : \(M_{n}=\sup \left(X_{1}, X_{2}, \ldots X_{n}\right)\), c'est-àdire que, pour tout \(\omega\) de \(\Omega\), on a \(M_{n}(\omega)=\max \left(X_{1}(\omega), X_{2}(\omega), \ldots, X_{n}(\omega)\right)\).\\
On cherche alors des suites réelles \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) et \(\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\), où la suite \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est à termes strictement positifs, telles que la suite \(\left(\frac{M_{n}-b_{n}}{a_{n}}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge en loi vers une variable aléatoire non constante.\\
La fonction exponentielle sera indifféremment notée ( \(x \rightarrow e^{x}\) ) ou exp.

\section*{Partie 1 - La loi exponentielle}
On suppose dans cette partie que la loi commune des \(X_{k}\) est la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\), où \(\lambda\) est un réel strictement positif.

\begin{enumerate}
  \item Soit \(g\) la fonction définie que \(\mathbb{R}\) par: \(\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=e^{-x} \exp \left(-e^{-x}\right)\).\\
(a) Montrer que \(g\) est une densité de probabilité. On note \(G\) une variable aléatoire admettant \(g\) comme densité.\\
(b) Déterminer la fonction de répartition, notée \(F_{G}\), de la variable \(G\).
  \item (a) Donner, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la fonction de répartition de la variable \(M_{n}\).\\
(b) Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose : \(U_{n}=\lambda M_{n}-\ln (n)\). Montrer que la suite \(\left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge en loi vers une variable dont on précisera la loi.
\end{enumerate}

\section*{Partie 2 - La loi normale}
On suppose dans cette partie que la loi commune des \(X_{k}\) est une loi normale centrée réduite. Soit \(\varphi\) la densité de \(X_{1}\).

\begin{enumerate}
  \item (a) Montrer que pour tout \(x>0\), l'intégrale \(\int_{x}^{+\infty} \frac{\varphi(u)}{u^{2}} d u\) est convergente et à l'aide d'une intégration par parties, montrer que
\end{enumerate}

\[
\mathbb{P}\left(X_{1}>x\right)=\frac{\varphi(x)}{x}-\int_{x}^{+\infty} \frac{\varphi(u)}{u^{2}} d u
\]

(b) En déduire que pour tout \(x>0\),

\[
\frac{\varphi(x)}{x}-\frac{\mathbb{P}\left(X_{1}>x\right)}{x^{2}} \leq \mathbb{P}\left(X_{1}>x\right) \leq \frac{\varphi(x)}{x}
\]

puis que

\[
\mathbb{P}\left(X_{1}>x\right) \leq \frac{\varphi(x)}{x} \leq \mathbb{P}\left(X_{1}>x\right)\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Soit \(c\) un réel strictement positif. Montrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul, l'équation \(\frac{\phi(x)}{x}=\frac{c}{n}\) admet sur \(] 0,+\infty\left[\right.\) une unique solution que l'on notera \(x_{n}\).
  \item Montrer que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=+\infty\).
  \item Montrer que pour tout entier \(n\) non nul,
\end{enumerate}

\[
x_{n}^{2}+2 \ln x_{n}=2 \ln n-\ln \left(2 c^{2} \pi\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item En prenant un équivalent de chaque membre de l'équation de la question 4., montrer que
\end{enumerate}

\[
x_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \sqrt{2 \ln n}
\]

En déduire que l'on peut écrire pour \(n \geq 2\),

\[
x_{n}=\sqrt{2 \ln n}+\varepsilon_{1}(n) \text { où } \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\varepsilon_{1}(n)}{\sqrt{2 \ln n}}=0
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item (a) En utilisant la question 4., montrer que pour tout entier \(n \geq 2\),
\end{enumerate}

\[
2(\sqrt{2 \ln n}) \varepsilon_{1}(n)+\left(\varepsilon_{1}(n)\right)^{2}+2 \ln \left(1+\frac{\varepsilon_{1}(n)}{\sqrt{2 \ln n}}\right)=-\ln (\ln n)-\ln \left(4 \pi c^{2}\right)
\]

(b) En prenant un équivalent de chaque membre de l'équation du \(a\) ), montrer que

\[
2 \varepsilon_{1}(n) \sqrt{2 \ln n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim}-\ln (\ln n)
\]

En déduire que\\
\(\varepsilon_{1}(n)=-\frac{\ln (\ln n)}{2 \sqrt{2 \ln n}}+\varepsilon_{2}(n)\) où \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \varepsilon_{2}(n)\left(\frac{2 \sqrt{2 \ln n}}{\ln (\ln n)}\right)=0\).\\
On admet alors qu'en poursuivant le développement asymptotique, que l'on peut écrire pour tout entier \(n\) supérieur à 2 :

\[
\begin{gathered}
x_{n}=\sqrt{2 \ln n}-\frac{\ln (\ln n)}{2 \sqrt{2 \ln n}}-\frac{\ln (4 \pi)}{2 \sqrt{2 \ln n}}-\frac{\ln c}{\sqrt{2 \ln n}}+\varepsilon(n) \\
\text { avec } \lim _{n \rightarrow+\infty} \varepsilon(n) \sqrt{2 \ln (n)}=0
\end{gathered}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item On pose pour \(n \geq 2, a_{n}=\frac{1}{\sqrt{2 \ln n}}\) et \(b_{n}=\sqrt{2 \ln n}-\frac{\ln (\ln n)}{2 \sqrt{2 \ln n}}-\frac{\ln (4 \pi)}{2 \sqrt{2 \ln n}}\).
\end{enumerate}

Montrer à l'aide des questions précédentes, que pour tout \(x\) réel, et pour tout entier \(n \geq 2\), en posant \(c=e^{-x}\) que :\\
(a)

\[
a_{n} x+b_{n}=x_{n}-\varepsilon(n)
\]

(b)

\[
\frac{\phi\left(a_{n} x+b_{n}\right)}{a_{n} x+b_{n}} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{e^{-x}}{n}
\]

(c) En déduire, en utilisant la question 1.b. que \(\frac{\phi\left(a_{n} x+b_{n}\right)}{a_{n} x+b_{n}} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \mathbb{P}\left(X_{1}>a_{n} x+b_{n}\right)\) puis que la suite \(\left(\frac{M_{n}-b_{n}}{a_{n}}\right)_{n \geq 1}\) converge en loi vers la variable \(G\) (la variable \(G\) est définie dans la partie 1.)


\end{document}