\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
CONCOURS D'ADMISSION DE 2013

\section*{Conception : ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD}
\section*{Concours d'admission sur classes préparatoires}
\section*{MATHEMATIQUES}
\section*{Option scientifique}
6 mai 2013 de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{Exercice 1}
Soit \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) une suite de réels strictement positifs telle que la série de terme général \(\frac{1}{a_{n}}\) converge.\\
Le but de cet exercice est de prouver que la série de terme général \(u_{n}=\frac{n}{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}\) converge également et que, de plus, on a : \(\sum_{n=1}^{+\infty} u_{n} \leq 2 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{a_{n}}\).

\begin{enumerate}
  \item Étude d'un exemple : pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose \(a_{n}=n(n+1)\).\\
a) Vérifier que \(\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\) puis en déduire que la série de terme général \(\frac{1}{a_{n}}\) converge et donner sa somme.\\
b) Pour tout entier naturel non nul, déterminer \(u_{n}\) en fonction de \(n\).\\
c) Établir la convergence de la série de terme général \(u_{n}\) et donner sa somme, puis en déduire l'inégalité demandée.
  \item Étude d'un deuxième exemple.
\end{enumerate}

On suppose, dans cette question, que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \(a_{n}=n!\).\\
a) Écrire une déclaration de fonction Pascal dont l'en-tête est function fact ( \(\boldsymbol{n}\) : integer) : integer ; et qui renvoie \(n!\) à l'appel de fact \((n)\).\\
b) Écrire le corps principal d'un programme Pascal, utilisant cette fonction, et permettant de calculer et d'afficher la valeur de \(u_{n}\) lorsque la valeur de \(n\) est entrée au clavier par l'utilisateur.\\
c) Établir la convergence de la série de terme général \(\frac{1}{a_{n}}\).\\
d) Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \(u_{n} \leq \frac{1}{(n-1)!}\).\\
e) En déduire que la série de terme général \(u_{n}\) converge et que l'on a : \(\sum_{n=1}^{+\infty} u_{n} \leq 2 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{a_{n}}\).

On revient au cas général.\\
3) Montrer, grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz, que :

\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*},(1+2+\ldots+n)^{2} \leq\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right)\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{4}{a_{2}}+\ldots+\frac{n^{2}}{a_{n}}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item a) Utiliser le résultat précédent pour établir que :
\end{enumerate}

\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \frac{2 n+1}{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}} \leq 4\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right) \sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{a_{k}}
\]

b) En déduire, par sommation, que : \(\forall N \in \mathbb{N}^{*}, \sum_{n=1}^{N} \frac{2 n+1}{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}} \leq 4 \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{a_{k}}\).\\
c) Montrer enfin que la série de terme général \(\frac{2 n+1}{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}\) converge puis établir le résultat demandé.

\section*{Exercice 2}
Dans tout l'exercice, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On désigne par \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et on rappelle qu'un hyperplan de \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) de dimension \(n-1\). Pour finir, on désigne par Id l'endomorphisme identité de \(E\).

\begin{enumerate}
  \item Étude d'un premier exemple ( \(n=3\) et \(E=\mathbb{R}^{3}\) ).
\end{enumerate}

On considère, dans cette question seulement, l'endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice dans la base canonique est \(M=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\). Montrer que \(\operatorname{lm} f\) est un hyperplan de \(\mathbb{R}^{3}\) et qu'il est stable par \(f\).\\
2) Étude d'un deuxième exemple ( \(n=3\) et \(E=\mathbb{R}^{3}\) ).

On considère, dans cette question seulement, l'endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice dans la base canonique est \(M=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right)\).\\
a) Déterminer les valeurs propres de \(f\).\\
b) Montrer que \(\operatorname{Ker}(f-I d)\) est un hyperplan de \(\mathbb{R}^{3}\) et qu'il est stable par \(f\).

On suppose dans la suite que \(E\) est un espace euclidien de dimension \(n\) et on note \(\mathscr{B}=\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right)\) une base orthonormale de \(E\).\\
Le produit scalaire des vecteurs \(x\) et \(y\) de \(E\) est noté \(\langle x, y\rangle\) et la norme de \(x\) est notée \(\|x\|\).\\
On considère un endomorphisme \(f\) de \(E\) qui possède au moins une valeur propre \(\lambda\) réelle et on se propose de démontrer qu'il existe un hyperplan de \(E\) stable par \(f\).\\
3) On note \(f^{*}\) l'endomorphisme de \(E\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}\) est la transposée de la matrice de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}\).\\
a) Vérifier que l'on a : \(\forall(x, y) \in E \times E,\langle f(x), y\rangle=\left\langle x, f^{*}(y)\right\rangle\).\\
b) Établir que \(f^{*}\) est l'unique endomorphisme de \(E\) vérifiant :

\[
\forall(x, y) \in E \times E,\langle f(x), y\rangle=\left\langle x, f^{*}(y)\right\rangle
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item a) Montrer que \(\lambda\) est valeur propre de \(f^{*}\).\\
b) On considère un vecteur propre \(u\) de \(f^{*}\) associé à la valeur propre \(\lambda\).
\end{enumerate}

Montrer que \((\operatorname{vect}(u))^{\perp}\) est un hyperplan de \(E\) et qu'il est stable par \(f\).

\section*{Exercice 3}
\begin{enumerate}
  \item On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par: \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2 x^{2}} & \text { si } x \leq-1 \text { ou } x \geq 1 \\ 0 & \text { sinon }\end{array}\right.\).
\end{enumerate}

Montrer que \(f\) peut être considérée comme une fonction densité de probabilité.\\
Dans la suite, on considère une suite \(\left(X_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}^{*}}\) de variables aléatoires, toutes définies sur le même espace probabilisé ( \(\Omega, A, P\) ), mutuellement indépendantes et admettant toutes \(f\) comme densité.\\
De plus, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose \(S_{n}=\operatorname{Sup}\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)\) et \(Y_{n}=\frac{S_{n}}{n}\). On admet que \(S_{n}\) et \(Y_{n}\) sont des variables aléatoires à densité définies, elles aussi, sur ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ).\\
2) Déterminer la fonction de répartition, notée \(F\), commune aux variables aléatoires \(X_{k}\).\\
3) On note \(G_{n}\) la fonction de répartition de la variable aléatoire \(Y_{n}\). Déterminer explicitement \(G_{n}(x)\) en fonction de \(n\) et \(x\).\\
4) a) Montrer que, pour tout réel \(x\) négatif ou nul, on a \(G_{n}(x) \leq \frac{1}{2^{n}}\).\\
b) Justifier que, pour tout réel \(x\) strictement positif, il existe un entier naturel \(n_{0}\) non nul, tel que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(n_{0}\), on a \(x>\frac{1}{n}\).\\
En déduire que : \(\forall x>0, \exists n_{0} \in \mathbb{N}^{*}, \forall n \geq n_{0}, G_{n}(x)=\left(1-\frac{1}{2 n x}\right)^{n}\).\\
5) a) Déterminer, pour tout réel \(x\), la limite de \(G_{n}(x)\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\). On note \(G(x)\) cette limite.\\
b) Montrer que la fonction \(G\) ainsi définie est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité.\\
c) En déduire que la suite \(\left(Y_{n}\right)_{n \geq 1}\) converge en loi vers une variable aléatoire \(Y\) dont la fonction de répartition est \(G\).\\
6) Vérifier que la variable aléatoire \(\frac{1}{Y}\) suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.

\section*{Problème}
On considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) définies sur un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), indépendantes, et suivant toutes les deux la loi de Poisson de paramètre \(\lambda\), où \(\lambda\) désigne un réel strictement positif. On se propose de déterminer un équivalent de la probabilité \(P(X=Y)\) lorsque \(\lambda\) est au voisinage de \(+\infty\).

\section*{Partie 1}
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(u_{n}=\int_{0}^{\pi / 2}(\sin t)^{n} d t\).

\begin{enumerate}
  \item a) Calculer \(u_{0}\) et \(u_{1}\).\\
b) Montrer que la suite ( \(u_{n}\) ) est décroissante.\\
c) Établir que : \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n}>0\). En déduire que la suite ( \(u_{n}\) ) est convergente.
  \item a) Montrer, grâce à une intégration par parties, que : \(\forall n \in \mathbb{N},(n+2) u_{n+2}=(n+1) u_{n}\).\\
b) En déduire que : \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{2 n}=\frac{(2 n)!}{\left(2^{n} \times n!\right)^{2}} \times \frac{\pi}{2}\).\\
c) Montrer que: \(\forall n \in \mathbb{N},(n+1) u_{n+1} u_{n}=\frac{\pi}{2}\).\\
d) En déduire la valeur de \(u_{2 n+1}\).
  \item a) Calculer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{u_{n+2}}{u_{n}}\).\\
b) En déduire, en utilisant les variations de \(\left(u_{n}\right)\), que : \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=1\).\\
c) Montrer enfin que l'on a : \(u_{n} \sim \sqrt{\frac{\pi}{2 n}}\).
\end{enumerate}

\section*{Partie 2}
\begin{enumerate}
  \item Établir, pour tout réel \(x\), la convergence de l'intégrale \(I(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-1}^{1} \frac{e^{-t x}}{\sqrt{1-t^{2}}} d t\).
\end{enumerate}

\section*{Dans la suite de cette partie, x désigne un réel strictement positif.}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item a) Montrer qu'il existe une constante \(M\) telle que : \(0 \leq \frac{1}{\pi} \int_{0}^{1} \frac{e^{-t x}}{\sqrt{1-t^{2}}} d t \leq M\).\\
b) Montrer que : \(\forall u \in\left[0, \frac{1}{2}\right], 1 \leq \frac{1}{\sqrt{1-u}} \leq 1+u\).
  \item a) En se référant à une loi normale, donner les valeurs de \(\int_{0}^{+\infty} e^{-t^{2}} d t\) et \(\int_{0}^{+\infty} t^{2} e^{-t^{2}} d t\).\\
b) Utiliser le changement de variable \(u=\sqrt{t x}\) pour montrer que : \(\int_{0}^{1} \frac{e^{-c x}}{\sqrt{t}} d t \sim \sqrt{\frac{\pi}{x}}\).\\
c) Montrer de la même façon que : \(\int_{0}^{1} e^{-t x} \sqrt{t} d t \sim \frac{\sqrt{\pi}}{2 x \sqrt{x}}\).
  \item a) Montrer, grâce au changement de variable \(u=1+t\), que :
\end{enumerate}

\[
\int_{-1}^{0} \frac{e^{-t x}}{\sqrt{1-t^{2}}} d t=\frac{e^{x}}{\sqrt{2}} \int_{0}^{1} \frac{e^{-u x}}{\sqrt{u\left(1-\frac{u}{2}\right)}} d u
\]

b) Utiliser le résultat de la question 2b) pour en déduire que : \(I(x) \underset{+\infty}{\sim} \frac{e^{x}}{\sqrt{2 \pi x}}\).

\section*{Partie 3}
\begin{enumerate}
  \item Exprimer comme somme d'une série la probabilité \(P(X=Y)\).
  \item a) On désigne par \(t\) un réel de \([-1,1]\) et par \(x\) un réel strictement positif.
\end{enumerate}

Montrer que, pour tout \(u\) compris entre 0 et \(-t x\), on a: \(e^{u} \leq e^{x}\). Écrire ensuite l'inégalité de TaylorLagrange à l'ordre \(2 n\) pour la fonction \(u \mapsto \rightarrow e^{u}\) entre 0 et \(-t x\).\\
b) Montrer que: \(\forall k \in \mathbb{N}, \int_{0}^{1} \frac{t^{k}}{\sqrt{1-t^{2}}} d t=u_{k}\).\\
c) Déduire des deux questions précédentes que : \(\left|I(x)-\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{2 k}}{(k!)^{2} 2^{2 k}}\right| \leq \frac{2 x^{2 n+1} e^{x}}{\pi(2 n+1)!} u_{2 n+1}\).\\
d) Montrer enfin que : \(\forall x>0, I(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^{2 k}}{(k!)^{2} 2^{2 k}}\).\\
3) Établir que : \(P(X=Y) \underset{\lambda \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{1}{2 \sqrt{\pi \lambda}}\).


\end{document}