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\title{École Supérieure de Commerce de Lyon }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
Chambre de Commerce et d'Industrie de Lyon

\section*{CONCOURS D'ENTRÉE 2000}
\section*{MATHEMATIQUES \\
 1ère épreuve (option scientifique)}
Mardi 2 mai 2000 de 8 heures à 12 heures\\
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{PREMIER PROBLÈME}
\section*{Notations :}
\begin{itemize}
  \item n désigne un entier supérieur ou égal à 3 .
  \item \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) est l'ensemble des matrices carrées d'ordre \(n\) à coefficients réels.\\
\(I_{n}\) désigne la matrice identité de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).\\
La transposée d'une matrice \(M\) est notée \({ }^{t} M\).
  \item \(\mathbb{R}^{n}\) est muni du produit scalaire canonique noté \(\langle.,\).\(\rangle défini par :\)\\
si \(x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\) et \(y=\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)\), alors \(\langle x, y\rangle=\sum_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}\).\\
En notant les matrices unicolonnes \(X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)\) et \(Y=\left(\begin{array}{c}y_{1} \\ \vdots \\ y_{n}\end{array}\right)\) et en confondant les matrices d'ordre 1 et les scalaires, on a alors \(\langle x, y\rangle={ }^{\mathrm{t}} X Y\).\\
La norme associée à ce produit scalaire est notée \(\|\|\).
  \item \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right)\) désigne la base canonique de \(\mathbb{R}^{n}\).
\end{itemize}

On rappelle que la matrice de passage \(P\) d'une base orthonormale de \(\mathbb{R}^{n}\) à une autre base orthonormale de \(\mathbb{R}^{n}\) vérifie \({ }^{t} P=P^{-1}\).

\section*{Les parties I et II sont indépendantes.}
\section*{Partie I}
\begin{enumerate}
  \item On considère les matrices suivantes de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) :
\end{enumerate}

\[
S=\left(\begin{array}{lll}
5 & 2 & 2 \\
2 & 5 & 2 \\
2 & 2 & 5
\end{array}\right), \quad P=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{ccc}
\sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \\
-\sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \\
0 & -2 & \sqrt{2}
\end{array}\right) .
\]

a. Justifier que \(S\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\).\\
b. Montrer qu'il existe une matrice diagonale \(D\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) telle que \(S=P D^{\mathrm{t}} P\).\\
2. On considère la matrice \(M=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right)\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\).\\
a. Vérifier que \(\left(M-2 \mathrm{I}_{3}\right)^{3}=\mathrm{I}_{3}\).\\
b. \(M\) est-elle diagonalisable dans \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) ?\\
c. Calculer le produit \({ }^{\mathrm{t}} M M\).

\section*{Partie II}
Soit \(A\) une matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). On note \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{n}\) associé à la matrice \(A\) relativement à la base \(\mathcal{B}\) et \(g\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{n}\) associé à la matrice \({ }^{t} A\) relativement à la base \(\mathcal{B}\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer, pour tout \(x\) et tout \(y\) de \(\mathbb{R}^{n}\) :
\end{enumerate}

\[
\langle g(y), x\rangle=\langle y, f(x)\rangle \text { puis } \quad\langle(g \circ f)(x), x\rangle=\|f(x)\|^{2}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Montrer que l'endomorphisme \(g \circ f\) est symétrique.
  \item Montrer que \(g \circ f\) est diagonalisable et que ses valeurs propres sont positives ou nulles.
  \item Justifier l'existence d'une base orthonormale \(\mathcal{B}^{\prime}=\left(e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}, \ldots, e_{n}^{\prime}\right)\) de \(\mathbb{R}^{n}\) constituée de vecteurs propres de \(g \circ f\).
\end{enumerate}

On note \(Q\) la matrice de passage de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{B}^{\prime}\).\\
5. Montrer l'existence de \(n\) réels positifs ou nuls \(\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n}\) (non nécessairement distincts) tels que la matrice diagonale \(\Delta=\left(\begin{array}{cccc}\mu_{1} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \mu_{2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \ldots & 0 & \mu_{n}\end{array}\right)\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) vérifie : \({ }^{\mathrm{t}} A A=Q \Delta^{2} \mathrm{t} Q\).\\
6. Montrer que la famille \(\left(f\left(e_{1}^{\prime}\right), f\left(e_{2}^{\prime}\right), \ldots, f\left(e_{n}^{\prime}\right)\right)\) est une famille orthogonale et que pour tout entier \(j\) de \(\{1,2, \ldots, n\},\left\|f\left(e_{j}^{\prime}\right)\right\|=\mu_{j}\).\\
7. Dans cette question, on suppose que \(A\) est inversible.\\
a. Vérifier que les nombres réels \(\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n}\) sont tous non nuls.\\
b. Montrer que la famille \(e=\left(\frac{1}{\mu_{1}} f\left(e_{1}^{\prime}\right), \frac{1}{\mu_{2}} f\left(e_{2}^{\prime}\right), \ldots, \frac{1}{\mu_{n}} f\left(e_{n}^{\prime}\right)\right)\) est une base orthonormale de \(\mathbb{R}^{n}\).\\
c. Soit \(R\) la matrice de passage de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{C}\). Montrer que \(A=R \Delta^{t} Q\).

\section*{Partie III}
Déterminer deux matrices orthogonales \(Q\) et \(R\) d'ordre 3 et une matrice diagonale \(\Delta\) d'ordre 3 telles que \(M=R \Delta^{t} Q\) où \(M\) est la matrice définie dans I.2.

\section*{DEUXIÈME PROBLÈME}
Dans tout ce problème, \(a\) est un réel tel que \(0<a<1\).

\section*{I - Calcul d'une somme et d'une intégrale}
\begin{enumerate}
  \item Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et tout \(x \in[0 ; \pi]\), on note :
\end{enumerate}

\[
C_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} \cos (k x)
\]

a. Montrer, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et tout \(x \in[0 ; \pi]\) :

\[
1+2 C_{n}(x)=\sum_{k=-n}^{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k x}
\]

b. Etablir, pour tout nombre complexe \(z\) tel que \(z \neq 1\) :

\[
\sum_{k=-n}^{n} z^{k}=z^{-n} \frac{1-z^{2 n+1}}{1-z}
\]

c. En déduire, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et tout \(\left.\left.x \in\right] 0 ; \pi\right]\) :

\[
\frac{1}{2}+C_{n}(x)=\frac{\sin \left(\left(n+\frac{1}{2}\right) x\right)}{2 \sin \left(\frac{x}{2}\right)}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Montrer que l'intégrale \(J_{n}=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin \left(\left(n+\frac{1}{2}\right) x\right)}{2 \sin \left(\frac{x}{2}\right)} \mathrm{d} x\) existe et calculer sa valeur.
\end{enumerate}

On note \(\varphi:[0 ; \pi] \longrightarrow \mathbb{R}\) l'application définie par :

\[
\varphi(x)=\left\{\begin{array}{cl}
0 & \text { si } x=0 \\
\frac{\cos (a x)-1}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)} & \text { si } x \in] 0 ; \pi]
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Montrer que \(\varphi\) est de classe \(C^{1}\) sur \([0 ; \pi]\) et calculer \(\varphi^{\prime}(0)\).
  \item On note, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}: I_{n}=\int_{0}^{\pi} \varphi(x) \sin \left(\left(n+\frac{1}{2}\right) x\right) \mathrm{d} x\).
\end{enumerate}

Montrer, grâce à une intégration par parties, que \(I_{n}\) tend vers 0 quand l'entier \(n\) tend vers l'infini.

\section*{II - Calcul de la somme d'une série}
On note, pour \(n \in \mathbb{N}^{*}: \quad u_{n}=\int_{0}^{\pi} \cos (a x) \cos (n x) \mathrm{d} x\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) :
\end{enumerate}

\[
\sum_{k=1}^{n} u_{k}=-\frac{\sin (\pi a)}{2 a}+\frac{1}{2} I_{n}+J_{n}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item En déduire que la série \(\sum_{n \geqslant 1} u_{n}\) converge, et calculer sa somme (on pourra utiliser les résultats de I. 2. et I.4.).
  \item Calculer, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}, u_{n}\) en fonction de \(a\) et de \(n\).
  \item Etablir :
\end{enumerate}

\[
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2(-1)^{n-1} a}{n^{2}-a^{2}}=\frac{\pi}{\sin (\pi a)}-\frac{1}{a}
\]

\section*{III - Calcul d'une intégrale}
Dans cette partie, \(\alpha\) désigne un réel tel que \(\alpha>1\).

\begin{enumerate}
  \item Justifier l'existence de l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^{\alpha}}\).
\end{enumerate}

On note : \(\quad F(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^{\alpha}}, \quad G(\alpha)=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} t}{1+t^{\alpha}}, \quad H(\alpha)=\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^{\alpha}}\).\\
2.a. Montrer, pour tout réel \(t\) de \([0 ; 1]\) et tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) :

\[
\frac{1}{1+t^{\alpha}}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} t^{k \alpha}+(-1)^{n+1} \frac{t^{(n+1) \alpha}}{1+t^{\alpha}}
\]

b. Montrer que \(\int_{0}^{1} \frac{t^{(n+1) \alpha}}{1+t^{\alpha}} \mathrm{d} t\) tend vers 0 lorsque l'entier \(n\) tend vers l'infini.\\
c. En déduire que la série \(\sum_{k \geqslant 0} \frac{(-1)^{k}}{k \alpha+1}\) converge et que : \(\quad G(\alpha)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{k}}{k \alpha+1}\).\\
3.a. En utilisant le changement de variable défini par \(u=t^{1-\alpha}\), montrer :

\[
H(\alpha)=\frac{1}{\alpha-1} G\left(\frac{\alpha}{\alpha-1}\right)
\]

et en déduire:

\[
H(\alpha)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n \alpha-1}
\]

b. Etablir :

\[
F(\alpha)=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n-1}}{n^{2} \alpha^{2}-1}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item En utilisant le résultat de II. 4., établir finalement :
\end{enumerate}

\[
F(\alpha)=\frac{\frac{\pi}{\alpha}}{\sin \frac{\pi}{\alpha}}
\]


\end{document}