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\title{Programme ESC d'E.M.LYON \\
 CONCOURS D'ENTREE 2001 }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
MATHEMATIQUES\\
1ère épreuve (option scientifique)

Les candidats ne doivent pas faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{Problème 1}
On note \(I=\left[-\frac{1}{2} ; \frac{1}{2}\right]\).\\
Le but du problème est la construction d'une application \(f: I \mapsto \mathbb{R}\), continue et telle que:

\[
\forall x \in I, f(x)=1+\frac{1}{2} \int_{0}^{x}\left(f(t)+f\left(t^{2}\right)\right) d t
\]

On considère les applications \(f_{n}: I \mapsto \mathbb{R}\), pour \(n \in \mathbb{N}\), définies par \(f_{0}=1\) (application constante égale à 1) et:

\[
\forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in I, f_{n+1}(x)=1+\frac{1}{2} \int_{0}^{x}\left(f_{n}(t)+f_{n}\left(t^{2}\right)\right) d t
\]

1.

(a) Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}, f_{n}\) est une application polynomiale.\\
(b) Vérifier que, pour tout \(x \in I, f_{1}(x)=1+x\) et \(f_{2}(x)=1+x+\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{3}}{6}\), et calculer \(f_{3}(x)\).\\
2. Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{\times}\), la fonction continue \(\left|f_{n}-f_{n-1}\right|\) admet une borne supérieure sur \(I\).

On note \(D_{n}=\sup _{x \in I}\left|f_{n}(x)-f_{n-1}(x)\right|\).\\
(a) Calculer \(D_{1}\) et \(D_{2}\).\\
(b) Montrer: \(\forall n \in \mathbb{N}^{\times}, \forall x \in I,\left|f_{n+1}(x)-f_{n}(x)\right| \leq \frac{1}{2} D_{n}\).

On pourra étudier séparément les cas \(x \in\left[0 ; \frac{1}{2}\right]\) et \(x \in\left[-\frac{1}{2} ; 0\right]\).\\
(c) En déduire: \(\forall n \in \mathbb{N}^{\times}, D_{n} \leq \frac{1}{2^{n}}\).\\
(d) Établir la convergence de la série \(\sum_{n \geq 1} D_{n}\).

En déduire que, pour tout \(x\) fixé dans \(I\), la série \(\sum_{n \geq 1}\left(f_{n}(x)-f_{n-1}(x)\right)\) converge.\\
3. Établir que, pour tout \(x\) fixé dans \(I\), la suite \(\left(f_{n}(x)\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge.

On définit ainsi une application \(f: I \mapsto \mathbb{R}\) par: \(\quad \forall x \in I, f(x)=\lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(x)\).\\
4. On note, pour tout \(n \in \mathbb{N}, M_{n}=\sup _{x \in I}\left|f_{n}(x)\right|\).\\
(a) Montrer: \(\forall n \in \mathbb{N}^{\times}, M_{n} \leq 1+\frac{1}{2} M_{n-1}\).\\
(b) Montrer: \(\forall n \in \mathbb{N}, M_{n} \leq 2\).\\
(c) Établir: \(\forall n \in \mathbb{N}, \forall(x, y) \in I^{2},\left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leq 2|x-y|\).\\
5.\\
(a) Établir: \(\forall(x, y) \in I^{2},|f(x)-f(y)| \leq 2|x-y|\).\\
(b) En déduire que \(f\) est continue sur \(I\).\\
6.\\
(a) Établir: \(\forall x \in I, \forall n \in \mathbb{N}^{\times}, \forall p \in \mathbb{N}^{\times},\left|f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\right| \leq \frac{1}{2^{n}}\left(1-\frac{1}{2^{p}}\right)\).\\
(b) En déduire: \(\forall x \in I, \forall n \in \mathbb{N}^{\times}\left|f(x)-f_{n}(x)\right| \leq \frac{1}{2^{n}}\).\\
7. En déduire: \(\forall x \in I, \quad f(x)=1+\frac{1}{2} \int_{0}^{x}\left(f(t)+f\left(t^{2}\right)\right) d t\).

\section*{Problème 2}
\section*{Rappel:}
Pour tout entier \(n \geq 1\), l'équation \(z^{n}=1\), d'inconnue \(z\) appartenant à \(\mathbb{C}\), admet exactement \(n\) racines complexes distinctes qui sont

\[
1, e^{i \theta}, e^{2 i \theta}, \ldots, e^{i(n-1) \theta} \quad \text { avec } \quad \theta=\frac{2 \pi}{n}
\]

\section*{Définitions:}
Soit \(E\) un espace vectoriel sur \(\mathbb{C}\).

\begin{itemize}
  \item On note \(i d_{E}\) l'application identique de \(E\).
  \item Pour tout endomorphisme \(f\) de \(E\), on note \(f^{0}=i d_{E}\), et pour tout entier naturel \(k, f_{k+1}=f_{k} \circ f\).
  \item Soit \(p \in \mathbb{N}^{\times}\). On dit qu'un endomorphisme \(f\) de \(E\) est cyclique d'ordre \(p\) s'il existe un élément \(x_{0}\) de \(E\) vérifiant les trois conditions suivantes
\end{itemize}

\[
\left\{\begin{array}{l}
* \quad f^{p}\left(x_{0}\right)=x_{0} \\
\star \quad \text { la famille }\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right), \ldots, f^{p-1}\left(x_{0}\right)\right) \text { est génératrice de } E \\
\star \quad \text { la famille }\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right), \ldots, f^{p-1}\left(x_{0}\right)\right) \text { est constituée d'éléments deux à deux distincts. }
\end{array}\right.
\]

La famille \(\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right), \ldots, f^{p-1}\left(x_{0}\right)\right)\) est alors appelée un cycle de \(f\).

\section*{Etude d'un exemple}
Dans cette partie, \(E\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb{C}\) de dimension 3, et \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\) est une base de \(E\). On considère l'endomorphisme \(f\) de \(E\) dont la matrice associée dans la base \(\mathcal{B}\) est:

\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 2 \\
1 & 1 & 2 \\
-2 & -2 & -3
\end{array}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \item Vérifier que ( \(e_{1}, f\left(e_{1}\right), f^{2}\left(e_{1}\right)\) ) est une base de \(E\) et déterminer la matrice associée à \(f\) relativement à cette base.
  \item Montrer que \(f\) est cyclique d'ordre 4 et que ( \(e_{1}, f\left(e_{1}\right), f^{2}\left(e_{1}\right), f^{3}\left(e_{1}\right)\) ) est un cycle de \(f\).
  \item Montrer que \(f^{4}=i d_{E}\).
  \item Montrer que \(f\) est diagonalisable en déterminant une base de \(E\) constituée de vecteurs propres de \(f\).
\end{enumerate}

\section*{Cas général}
Dans cette partie, \(E\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb{C}\) de dimension \(n\), et on considère un endomorphisme \(f\) de \(E\) cyclique d'ordre \(p\).\\
Soit ( \(\left.x_{0}, f\left(x_{0}\right), \ldots, f^{p-1}\left(x_{0}\right)\right)\) un cycle de \(f\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer : \(p \geq n\).
  \item Montrer que \(f^{p}=i d_{E}\). En déduire que \(f\) est bijective.
  \item On note \(m\) le plus grand des entiers naturels \(k\) tels que la famille \(\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right), \ldots, f^{k-1}\left(x_{0}\right)\right)\) est libre.\\
(a) Montrer que \(f_{m}\left(x_{0}\right)\) est combinaison linéaire des \(m\) vecteurs \(x_{0}, f\left(x_{0}\right), \ldots, f^{m-1}\left(x_{0}\right)\)\\
(b) Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel \(k\) supérieur ou égal à \(m\), le vecteur \(f^{k}\left(x_{0}\right)\) est combinaison linéaire des \(m\) vecteurs \(x_{0}, f\left(x_{0}\right), \ldots, f^{m-1}\left(x_{0}\right)\)\\
(c) En déduire que \(m=n\) et que la famille ( \(x_{0}, f\left(x_{0}\right), \ldots, f^{n-1}\left(x_{0}\right)\) ) est une base de \(E\).
  \item On note \(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1}\) les \(n\) nombres complexes tels que:
\end{enumerate}

\[
f^{n}\left(x_{0}\right)=a_{0} x_{0}+a_{1} f\left(x_{0}\right)+a_{2} f^{2}\left(x_{0}\right)+\cdots+a_{n-1} f^{n-1}\left(x_{0}\right)
\]

(a) On considère l'endomorphisme \(g\) de \(E\) défini par \(g=a_{0} i d_{E}+a_{1} f+a_{2} f^{2}+\cdots+a_{n-1} f^{n-1}\).

Montrer: \(\quad \forall k \in \mathbb{N}, g\left(f^{k}\left(x_{0}\right)\right)=f^{n+k}\left(x_{0}\right)\).\\
En déduire: \(f^{n}=a_{0} i d_{E}+a_{1} f+a_{2} f^{2}+\cdots+a_{n-1} f^{n-1}\).\\
(b) Déterminer la matrice associée à \(f\) relativement à la base ( \(x_{0}, f\left(x_{0}\right), \ldots, f^{n-1}\left(x_{0}\right)\) ) à l'aide des coefficients \(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1}\).\\
(c) Montrer: \(\forall \lambda \in \mathbb{C}, \operatorname{rg}\left(f-\lambda i d_{E}\right) \geq n-1\).

En déduire que les sous-espaces propres de \(f\) sont de dimension 1 .\\
5. On suppose dans cette question que \(f\) est cyclique d'ordre \(n\) ( et \(\operatorname{dim}(E)=n\) ). Soit ( \(x_{0}, f\left(x_{0}\right), \ldots, f^{n-1}\left(x_{0}\right)\) ) un cycle de \(f\).\\
(a) Montrer que si un nombre complexe \(\lambda\) est valeur propre de \(f\), alors \(\lambda^{n}=1\).\\
(b) Déterminer la matrice associée à \(f\) relativement à la base ( \(x_{0}, f\left(x_{0}\right), \ldots, f^{n-1}\left(x_{0}\right)\) ).\\
(c) Montrer que \(f\) est diagonalisable en déterminant une base de \(E\) constituée de vecteurs propres de \(f\).


\end{document}