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\title{Programme ESC d'E.M.LYON \\
 CONCOURS D'ENTRÉE 2002 }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{MATHEMATIQUES \\
 1 ère épreuve (option scientifique) }
Lundi 29 avril 2002 de 8 heures à 12 heures\\
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{PREMIER PROBLÈME}
On note, pour tout entier \(p \geqslant 1\) :

\[
u_{p}=\frac{1}{p}-\int_{p}^{p \div 1} \frac{1}{t} \mathrm{~d} t
\]

et, pour tout entier \(n \geqslant 1\) :

\[
a_{n}=\sum_{p=1}^{n} u_{p}=u_{1}+\ldots+u_{n} .
\]

\section*{PARTIE I : Étude de la suite \(\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1}\)}
\begin{enumerate}
  \item Montrer, pour tout entier \(p \geqslant 1\) :
\end{enumerate}

\[
0 \leqslant u_{p} \leqslant \frac{1}{p}-\frac{1}{p+1} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item En déduire que la suite \(\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) est croissante et converge vers un réel, noté \(\gamma\), tel que \(0 \leqslant \gamma \leqslant 1\).
\end{enumerate}

\section*{PARTIE II : Expression intégrale du réel \(\gamma\).}
1.a. Établir, pour tout réel \(x\) :

\[
1+x \leqslant e^{x}
\]

b. En déduire, pour tout entier \(n \geqslant 1\) et tout réel \(t\) tel que \(0 \leqslant t \leqslant n\) :

\[
\left(1+\frac{t}{n}\right)^{n} \leqslant \mathrm{e}^{t} \quad \text { et } \quad\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n} \leqslant \mathrm{e}^{-t}
\]

puis :

\[
\left.\left(1-\frac{t^{2}}{n^{2}}\right)^{n} \mathrm{e}^{-t} \leqslant\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n} \leqslant \mathrm{e}^{-t}\right)
\]

2.a. Établir, pour tout entier \(n \geqslant 1\) et tout réel \(x\) de \([0 ; 1]\) :

\[
(1-x)^{n}+n x-1 \geqslant 0 .
\]

b. En utilisant 1.b. et 2.a., montrer, pour tout entier \(n \geqslant 1\) et tout réel \(t\) tel que \(0 \leqslant t \leqslant n\) :

\[
0 \leqslant e^{-t}-\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n} \leqslant \frac{t^{2}}{n} e^{-t}
\]

3.a. On note, pour tout entier \(n \geqslant 1\) :

\[
I_{n}=\int_{0}^{n} \frac{1}{t}\left(\mathrm{e}^{-t}-\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n}\right) \mathrm{d} t
\]

Justifier l'existence de \(I_{n}\).\\
b. Établir que \(I_{n}\) tend vers 0 lorsque \(n\) tend vers linfini.\\
4.a. Établir, pour tout entier \(n \geqslant 1\) :

\[
\sum_{k=0}^{n-1} \int_{0}^{n}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{k} \mathrm{~d} t=n\left(a_{n}+\ln (n+1)\right)
\]

b. On note, pour tout entier \(n \geqslant 1\) :

\[
J_{n}=\int_{0}^{n} \frac{1}{t}\left(1-\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n}\right) \mathrm{d} t
\]

Justifier lexistence de \(J_{n}\), et montrer, pour tout entier \(n \geqslant 1\) :

\[
J_{n}=a_{n}+\ln (n+1)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item On note :
\end{enumerate}

\[
U=\int_{0}^{1} \frac{1-\mathrm{e}^{-t}}{t} \mathrm{~d} t \quad \text { et } \quad V=\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-t}}{t} \mathrm{~d} t
\]

a. Justifier l'existence de \(U\) et de \(V\).\\
b. Démontrer :

\[
\gamma=U-V .
\]

\section*{DEUXIÈME PROBLÈME}
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien de dimension \(n\), dont le produit scalaire est noté \(\langle\),\(\rangle .\)\\
L'objectif du problème est d'étudier les endomorphismes \(u\) de \(E\) tels que :

\[
\forall x \in E, \quad\langle u(x), x\rangle=0 .
\]

Les endomorphismes vérifiant cette propriété sont appelés endomorphismes antisymétriques.

\section*{PARTIE I. Étude d'un exemple}
Dans cette partie, \(E\) est l'espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à 2 . On rappelle que ( \(1, \mathrm{X}, \mathrm{X}^{2}\) ) est une base de \(E\).\\
On considère l'application \(\varphi: E^{2} \longrightarrow \mathbb{R}\) définie pour tout couple \((P, Q)\) d'éléments de \(E\) par :

\[
\varphi(P, Q)=P(0) Q(0)+P(1) Q(1)+P(-1) Q(-1)
\]

\begin{enumerate}
  \item Vérifier que \(\varphi\) est un produit scalaire.
\end{enumerate}

Dans cette première partie, on considère que \(E\) est muni de ce produit scalaire.\\
2. On considère l'endomorphisme \(u\) de \(E\) défini pour tout \(P\) de \(E\) par:

\[
u(P)=2 P^{\prime}(0) \mathrm{X}^{2}-(P(1)+P(-1)) \mathrm{X}
\]

a. Vérifier: \(\quad \forall P \in E, \quad 2 P^{\prime}(0)-P(1)+P(-1)=0\).\\
b. En déduire que \(u\) est un endomorphisme antisymétrique de l'espace vectoriel euclidien \(E\).\\
3. Soient \(P_{1}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{X}^{2}+\mathrm{X}\right)\) et \(P_{2}=\frac{1}{2} u\left(P_{1}\right)\).\\
a. Vérifier que \(P_{1}\) est un vecteur propre de \(u^{2}\) et que la famille ( \(P_{1}, P_{2}\) ) est orthonormale.\\
b. Déterminer une base de Keru.\\
c. Déterminer une base orthonormale \(\mathcal{B}\) de \(E\) et un nombre réel a tels que la matrice associée à \(u\) relativement à cette base soit \(\left(\begin{array}{rrr}0 & -a & 0 \\ a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\).

\section*{PARTIE II. Caractérisations des endomorphismes antisymétriques}
Soit \(u\) un endomorphisme de \(E\).

\begin{enumerate}
  \item Pour tout couple \((x, y)\) de \(E^{2}\), développer \(\langle u(x+y), x+y\rangle\).
\end{enumerate}

En déduire que \(u\) est un endomorphisme antisymétrique si et seulement si :

\[
\forall(x, y) \in E^{2}, \quad\langle u(x), y\rangle=-\langle x, u(y)\rangle .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item On suppose dans cette question que la dimension \(n\) de \(E\) est non nulle.
\end{enumerate}

Soient \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right)\) une base orthonormale de \(E\), et \(M=\left(m_{i, j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\) la matrice associée à \(u\) relativement à la base \(\mathcal{B}\).\\
a. Montrer: \(\forall(i, j) \in\{1, \ldots, n\}^{2}, m_{i, j}=\left\langle\epsilon_{i}, u\left(e_{j}\right)\right\rangle\).\\
b. En déduire que \(u\) est un endomorphisme antisymétrique si et seulement si la matrice \(M\) associée à \(u\) relativement à la base \(\mathcal{B}\) vérific \({ }^{t} M=-M\).

\section*{PARTIE III. Propriétés générales des endomorphismes antisymétriques}
Soit \(u\) un endomorphisme antisymétrique non nul de \(E\).\\
On pourra utiliser la caractérisation obtenue dans la question II.1.

\begin{enumerate}
  \item Soit \(\lambda\) un nombre réel. Montrer que si \(\lambda\) est valeur propre de \(u\), alors \(\lambda=0\).
  \item Montrer que \(\operatorname{Im} u\) et \(K e r u\) sont orthogonaux et supplémentaires dans \(E\).
\end{enumerate}

En déduire que Ker \(u=\operatorname{Ker}\left(u^{2}\right)\).\\
3. Montrer que \(u^{2}\) est un endomorphisme symétrique de \(E\) et que toute valeur propre de \(u^{2}\) est négative ou nulle.\\
4.a. Montrer que \(u^{2}\) admet au moins une valeur propre non nulle.

Soient \(x\) un vecteur propre de \(u^{2}\) associé à une valeur propre non nulle, et \(F\) le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par ( \(x, u(x)\) ).\\
b. Montrer que \(F\) est un plan vectoriel stable par \(u\).\\
c. Montrer que \(F^{\perp}\), le supplémentaire orthogonal de \(F\), est stable par \(u\).\\
d. On munit \(F^{\perp}\) du produit scalaire (, \(\rangle_{1}\) défini pour tout couple \((x, y)\) d'éléments de \(F^{\perp}\) par \(\langle x, y\rangle_{1}=\langle x, y\rangle\).\\
On définit l'endomorphisme \(u_{1}\) de \(F^{\perp}\) par: \(\forall x \in F^{\perp}, u_{1}(x)=u(x)\).\\
Montrer que \(u_{1}\) est un endomorphisme antisymétrique de \(F^{\perp}\) et que \(\operatorname{Im} u=F \bullet \operatorname{Im} u_{1}\).\\
5. Montrer que le rang dun endomorphisme antisymétrique est pair. On pourra faire une récurrence sur la dimension de \(E\).

\section*{PARTIE IV. Application}
Dans cette partie, \(E\) est un espace vectoriel euclidien de dimension 4 et \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\right)\) est une base orthonormale de \(E\).\\
Soit \(u\) l'endomorphisme de \(E\) associé, relativement à la base \(\mathcal{B}\), à la matrice

\[
A=\left(\begin{array}{rrrr}
0 & 4 & 1 & -1 \\
-4 & 0 & -1 & -1 \\
-1 & 1 & 0 & -5 \\
1 & 1 & 5 & 0
\end{array}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(u\) est un endomorphisme antisymétrique de \(E\).
\end{enumerate}

Vérifier que le vecteur \(f_{1}=e_{1}+e_{2}-e_{3}\) est vecteur propre de \(u^{2}\).\\
2. Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par la famille ( \(f_{1}, u\left(f_{1}\right)\) ). Déterminer une base orthonormale de \(F\) et une base orthonormale de \(F^{\perp}\).\\
3. En déduire une base orthonormale \(\mathcal{B}_{0}\) de \(E\) et deux nombres réels \(a\) et \(b\) tels que la matrice associée à \(u\) relativement à \(\mathcal{B}_{0}\) soit \(\left(\begin{array}{rrrr}0 & -a & 0 & 0 \\ a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -b \\ 0 & 0 & b & 0\end{array}\right)\).


\end{document}