\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\section*{E.M.Lyon. Math 1 . Option S. 2003}
\section*{PROBLEME 1}
On considère l'application \(\varphi:[0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout réel \(t \in[0 ;+\infty[\), par :

\[
\varphi(t)= \begin{cases}\frac{\sin t}{t} & \text { si } t \neq 0 \\ 1 & \text { si } t=0\end{cases}
\]

et on considère, pour tout entier \(n \geqslant 1\), les intégrales :

\[
I_{n}=\int_{0}^{+\infty}(\varphi(t))^{n} \mathrm{~d} t, \quad J_{n}=\int_{0}^{1}(\varphi(t))^{n} \mathrm{~d} t, \quad K_{n}=\int_{1}^{+\infty}(\varphi(t))^{n} \mathrm{~d} t
\]

\section*{Partie I: Résultats généraux sur \(\varphi\) et \(J_{n}\)}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(\varphi\) est continue sur \(\left[0 ;+\infty\left[\right.\right.\) et que, pour tout entier \(n \geqslant 1\), l'intégrale \(J_{n}\) existe.\\
2)a) Montrer que \(\varphi\) est strictement positive sur \([0 ; 1]\) et que \(\varphi\) est strictement décroissante sur \([0 ; 1]\).\\
b) Établir, pour tout réel \(t \in] 0,+\infty[: \quad|\varphi(t)|<1\).\\
3)a) Montrer, pour tout réel \(t \in[0 ;+\infty[: \quad \varphi(t) \geqslant 1-t\).\\
(On pourra étudier les variations sur \(\left[0 ;+\infty\left[\right.\right.\) de l'application \(t \mapsto \sin t-t+t^{2}\) ).\\
b) En déduire, pour tout entier \(n \geqslant 1: \quad J_{n} \geqslant \frac{1}{n+1}\).
\end{enumerate}

\section*{Partie II : Étude de \(I_{1}\)}
1)a) Montrer, pour tout réel \(x \in\left[1 ;+\infty\left[\right.\right.\) : \(\int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t=\cos 1-\frac{\cos x}{x}-\int_{1}^{x} \frac{\cos t}{t^{2}} \mathrm{~d} t\).\\
b) En déduire que les intégrales \(K_{1}\) et \(I_{1}\) sont convergentes.\\
2)a) Montrer, pour tout réel \(t \in\left[0 ;+\infty\left[: \quad|\sin t| \geqslant \sin ^{2} t=\frac{1}{2}(1-\cos (2 t))\right.\right.\).\\
b) Montrer que l'intégrale \(\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos (2 t)}{2 t} \mathrm{~d} t\) converge.\\
c) Déduire des deux questions précédentes que l'intégrale \(I_{1}\) n'est pas absolument convergente.

Partie III : Étude de \(I_{n}\), pour \(n \geqslant 2\)\\
1)a) Montrer que, pour tout entier \(n \geqslant 2\), l'intégrale \(K_{n}\) est convergente.\\
b) Établir, pour tout entier \(n \geqslant 2:\left|K_{n}\right| \leqslant \frac{1}{n-1}\)\\
2)a) Montrer que la suite \(\left(J_{n}\right)_{n \geqslant 2}\) est décroissante.\\
b) Montrer que la suite \(\left(J_{n}\right)_{n \geqslant 2}\) converge ; on note \(\ell\) sa limite.\\
c) Établir, pour tout entier \(n \geqslant 2\) et tout réel \(a \in] 0 ; 1[\) :

\[
\int_{0}^{a}(\varphi(t))^{n} \mathrm{~d} t \leqslant a \quad \text { et } \quad \int_{a}^{1}(\varphi(t))^{n} \mathrm{~d} t \leqslant(1-a)(\varphi(a))^{n}
\]

(On pourra utiliser I.2.).\\
d) En déduire, pour tout réel \(a \in] 0 ; 1[: 0 \leqslant \ell \leqslant a\) et conclure : \(\ell=0\).\\
3)a) Montrer que, pour tout entier \(n \geqslant 2\), l'intégrale \(I_{n}\) est convergente.\\
b) Établir : \(\lim _{n \rightarrow+\infty} I_{n}=0\).

\section*{Partie IV : Étude de la série de terme général \(I_{n}, n \geqslant 2\)}
\begin{enumerate}
  \item Montrer, pour tout entier \(p \geqslant 1\) : \(K_{2 p}+K_{2 p+1} \geqslant 0\).
  \item En déduire, pour tout entier \(N \geqslant 1\) :
\end{enumerate}

\[
\sum_{p=1}^{N}\left(I_{2 p}+I_{2 p+1}\right) \geqslant \sum_{p=1}^{N}\left(J_{2 p}+J_{2 p+1}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item En déduire que la série \(\sum_{n \geqslant 2} I_{n}\) diverge. (On pourra utiliser I.3.b.).
\end{enumerate}

\section*{PROBLEME 2}
Dans tout le problème, \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à 2 , et \(E\) est un espace euclidien de dimension \(n\) dont le produit scalaire est noté \(\langle.,\).\(\rangle et la norme associée est notée \|\).\(\| . On note i d_{E}\) l'application identique de \(E\), et \(\tilde{0}\) l'application nulle de \(E\).\\
Si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), on note \(F^{\perp}\) le sous-espace vectoriel supplémentaire orthogonal de \(F\) dans E.\\
Le projecteur de \(E\) sur \(F\) parallèlement à \(F^{\perp}\) est appelé projecteur orthogonal sur \(F\).\\
Pour tout endomorphisme \(f\) de \(E\) et toute valeur propre \(\lambda\) de \(f\), on note \(E_{f}(\lambda)\) le sous-espace propre de \(f\) associé à la valeur propre \(\lambda\).

\section*{Partie I: Inverse généralisé d'un endomorphisme symétrique}
On considère un endomorphisme symétrique \(f\) de \(E\), c'est-à-dire un endomorphisme \(f\) tel que :

\[
\forall(x, y) \in E^{2}, \quad\langle f(x), y\rangle=\langle x, f(y)\rangle
\]

On suppose de plus que \(f\) est non inversible et non nul.

\begin{enumerate}
  \item Montrer que 0 est valeur propre de \(f\) et que \(f\) admet au-moins une valeur propre non nulle.\\
2)a) Soient \(\lambda\) et \(\mu\) deux valeurs propres de \(f\).
\end{enumerate}

Montrer, pour tout vecteur \(x\) de \(E_{f}(\lambda)\) et pour tout vecteur \(y\) de \(E_{f}(\mu)\) :

\[
\lambda\langle x, y\rangle=\mu\langle x, y\rangle
\]

b) En déduire que les sous-espaces propres de \(f\) sont deux à deux orthogonaux.\\
3) Montrer que les sous-espaces vectoriels \(\operatorname{Im} f\) et \(\operatorname{Ker} f\) sont supplémentaires orthogonaux dans \(E\).

On suppose que \(f\) admet exactement \(k+1\) valeurs propres deux à deux distinctes \(\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{k}\) avec \(k \geqslant 1, \quad \lambda_{0}=0\) et \(0<\left|\lambda_{1}\right| \leqslant \ldots \leqslant\left|\lambda_{k}\right|\).\\
Pour tout entier naturel \(j\) inférieur ou égal à \(k\), on note \(p_{j}\) le projecteur orthogonal sur \(E_{f}\left(\lambda_{j}\right)\).\\
4) Soit \(x\) un vecteur de \(E\).\\
a) Montrer qu'il existe un unique ( \(k+1\) )-uplet ( \(x_{0}, x_{1} \ldots, x_{k}\) ) de \(E_{f}(0) \times E_{f}\left(\lambda_{1}\right) \times \cdots \times E_{f}\left(\lambda_{k}\right)\) tel que \(x=x_{0}+x_{1}+\ldots+x_{k}\).\\
b) Pour tout entier naturel \(j\) inférieur ou égal à \(k\), montrer : \(p_{j}(x)=x_{j}\).

Ainsi, la relation suivante est clairement vérifiée :

\[
i d_{E}=p_{0}+p_{1}+\ldots+p_{k}
\]

5)a) Etablir, pour tout couple \((i, j)\) d'entiers naturels inférieurs ou égaux à \(k\) :

\[
i \neq j \Longrightarrow p_{i} \circ p_{j}=\tilde{0}
\]

b) Montrer : \(\quad f=\lambda_{1} p_{1}+\lambda_{2} p_{2}+\cdots+\lambda_{k} p_{k}\).\\
c) Montrer que le projecteur orthogonal \(p\) sur \(\operatorname{Im} f\) vérifie :

\[
p=p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{k}
\]

On note \(f^{\sharp}\) l'endomorphisme de \(E\) défini par \(f^{\sharp}=\frac{1}{\lambda_{1}} p_{1}+\frac{1}{\lambda_{2}} p_{2}+\cdots+\frac{1}{\lambda_{k}} p_{k}\).\\
On dit que \(f^{\sharp}\) est l'inverse généralisé de \(f\).\\
6)a) Montrer : \(\quad f \circ f^{\sharp}=p\).\\
b) En déduire : \(\quad \forall(x, y) \in E^{2},\left(f(x)=p(y) \Longleftrightarrow x-f^{\sharp}(y) \in \operatorname{Ker} f\right)\).\\
7) Soit \(y\) un vecteur de \(E\).\\
a) Montrer : \(\quad \forall x \in E,\left(\|f(x)-y\|=\inf _{z \in E}\|f(z)-y\| \Longleftrightarrow x-f^{\sharp}(y) \in \operatorname{Ker} f\right)\)\\
b) En déduire que \(f^{\sharp}(y)\) est le vecteur \(x\) de \(E\) de plus petite norme vérifiant :

\[
\|f(x)-y\|=\inf _{z \in E}\|f(z)-y\|
\]

\section*{Partie II : Application à un exemple}
Dans cette question, \(E\) est un espace euclidien de dimension 4 et \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\right)\) est une base orthonormale de \(E\). On note :

\[
A=\left(\begin{array}{rrrr}
3 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 3 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\right)
\]

Soit \(f\) l'endomorphisme de \(E\) associé à la matrice \(A\) relativement à la base \(\mathcal{B}\).

\begin{enumerate}
  \item Justifier que \(f\) est un endomorphisme symétrique non nul et non inversible.
  \item Montrer que \(f\) admet exactement trois valeurs propres distinctes \(\lambda_{0}, \lambda_{1}, \lambda_{2}\) avec \(\lambda_{0}<\lambda_{1}< \lambda_{2}\).\\
On note \(p_{1}\) le projecteur orthogonal sur \(E_{f}\left(\lambda_{1}\right)\) et \(M_{1}\) la matrice associée à \(p_{1}\) relativement à la base \(\mathcal{B}\).\\
On note \(p_{2}\) le projecteur orthogonal sur \(E_{f}\left(\lambda_{2}\right)\) et \(M_{2}\) la matrice associée à \(p_{2}\) relativement à la base \(\mathcal{B}\).
  \item Montrer : \(A=2 M_{1}+4 M_{2}\).\\
4)a) Montrer que \(E_{f}\left(\lambda_{2}\right)\) est de dimension 1 et déterminer un vecteur \(v_{2}\) de \(E_{f}\left(\lambda_{2}\right)\) tel que \(\left\|v_{2}\right\|=1\).\\
b) Montrer : \(\quad \forall x \in E, \quad p_{2}(x)=\left\langle x, v_{2}\right\rangle v_{2}\).\\
c) Déterminer la matrice \(M_{2}\).
  \item En déduire la matrice associée à \(f^{\sharp}\) relativement à la base \(\mathcal{B}\).
\end{enumerate}

\end{document}