\documentclass[10pt]{article}
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\title{Programme ESC d'E.M.LYON }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{CONCOURS D'ENTRÉE 2004}
\section*{MATHEMATIQUES \(1^{\text {ère }}\) épreuve (option scientifique)}
\section*{Lundi 3 mai 2004 de 8 heures à 12 heures}
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{PREMIER PROBLÈME}
\[
I \text { - Étude de la fonction } x \longmapsto \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t+x} \mathrm{~d} t
\]

On note \(F:] 0 ;+\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) et \(G:] 0 ;+\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) les applications définies, pour tout réel \(x \in] 0 ;+\infty[\), par :

\[
F(x)=\int_{1}^{x} \frac{\sin u}{u} \mathrm{~d} u \quad \text { et } \quad G(x)=\int_{1}^{x} \frac{\cos u}{u} \mathrm{~d} u
\]

\begin{enumerate}
  \item a. Montrer, pour tout réel \(x \in] 0 ;+\infty\left[: \quad F(x)=-\frac{\cos x}{x}+\cos 1-\int_{1}^{x} \frac{\cos u}{u^{2}} \mathrm{~d} u\right.\).
\end{enumerate}

En déduire que \(F\) admet une limite finie en \(+\infty\). On note \(\alpha\) cette limite.\\
b. De manière analogue, montrer que \(G\) admet une limite finie en \(+\infty\). On note \(\beta\) cette limite.\\
c. En déduire que, pour tout réel \(x \in] 0 ;+\infty\left[\right.\), les intégrales \(\int_{x}^{+\infty} \frac{\sin u}{u} \mathrm{~d} u\) et \(\int_{x}^{+\infty} \frac{\cos u}{u} \mathrm{~d} u\) convergent, et que : \(\int_{x}^{+\infty} \frac{\sin u}{u} \mathrm{~d} u=\alpha-F(x)\) et \(\int_{x}^{+\infty} \frac{\cos u}{u} \mathrm{~d} u=\beta-G(x)\).\\
2. a. Montrer, pour tout réel \(x \in] 0 ;+\infty[\) et tout réel \(T \in] 0 ;+\infty[\) :

\[
\int_{0}^{T} \frac{\sin t}{t+x} \mathrm{~d} t=\cos x \int_{x}^{x+T} \frac{\sin u}{u} \mathrm{~d} u-\sin x \int_{x}^{x+T} \frac{\cos u}{u} \mathrm{~d} u
\]

b. En déduire que, pour tout réel \(x \in] 0 ;+\infty\left[\right.\), l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t+x} \mathrm{~d} t\) converge et que

\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t+x} \mathrm{~d} t=\cos x \int_{x}^{+\infty} \frac{\sin u}{u} \mathrm{~d} u-\sin x \int_{x}^{+\infty} \frac{\cos u}{u} \mathrm{~d} u
\]

On note \(A:] 0 ;+\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) l'application définie, pour tout réel \(x \in] 0 ;+\infty[\), par :

\[
A(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t+x} \mathrm{~d} t
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Montrer que l'application \(A\) est de classe \(C^{2}\) sur \(] 0 ;+\infty[\) et que, pour tout réel \(x \in] 0 ;+\infty[\) :
\end{enumerate}

\[
A^{\prime \prime}(x)+A(x)=\frac{1}{x}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Établir que \(A(x)\) et \(A^{\prime}(x)\) tendent vers 0 lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).\\
5.a. Montrer: \(\quad \forall x \in] 0 ; 1], \quad 0 \leqslant \int_{x}^{1} \frac{\cos u}{u} \mathrm{~d} u \leqslant-\ln x\).\\
b. En déduire que \(\sin x \int_{x}^{+\infty} \frac{\cos u}{u} \mathrm{~d} u\) tend vers 0 lorsque \(x\) tend vers 0 par valeurs strictement positives.\\
c. Montrer que l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin u}{u} \mathrm{~d} u\) converge, et établir que \(A(x)\) tend vers \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin u}{u} \mathrm{~d} u\) lorsque \(x\) tend vers 0 par valeurs strictement positives.
\end{enumerate}

\[
\text { II - Étude de la fonction } x \longmapsto \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-x t}}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout réel \(x \in] 0 ;+\infty\left[\right.\) et tout entier naturel \(k\), l'application \(t \longmapsto t^{k} \mathrm{e}^{-x t}\) est bornée sur \(\left[0 ;+\infty\left[\right.\right.\), et en déduire que l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} \frac{t^{k} \mathrm{e}^{-x t}}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t\) converge.
\end{enumerate}

On note, pour tout entier naturel \(\left.k, B_{k}:\right] 0 ;+\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) l'application définie, pour tout réel \(x \in] 0 ;+\infty\left[, \operatorname{par}: \quad B_{k}(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{t^{k} \mathrm{e}^{-x t}}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t\right.\).\\
2.a. Montrer, en utilisant par exemple l'inégalité de Taylor-Lagrange:

\[
\forall u \in \mathbb{R}, \quad\left|\mathrm{e}^{u}-1-u\right| \leqslant \frac{u^{2}}{2} \mathrm{e}^{|u|}
\]

b. En déduire, pour tout réel \(x \in] 0 ;+\infty[\), pour tout entier naturel \(k\) et pour tout réel \(h\) tel que \(0<|h| \leqslant \frac{x}{2}:\)

\[
\left|\frac{B_{k}(x+h)-B_{k}(x)}{h}+B_{k+1}(x)\right| \leqslant \frac{|h|}{2} B_{k+2}\left(\frac{x}{2}\right)
\]

c. Montrer que, pour tout entier naturel \(k, B_{k}\) est dérivable sur \(] 0 ;+\infty[\) et que :

\[
\forall x \in] 0 ;+\infty\left[, \quad B_{k}^{\prime}(x)=-B_{k+1}(x)\right.
\]

d. En déduire que \(B_{0}\) est de classe \(C^{2}\) sur \(] 0 ;+\infty\) [ et que, pour tout réel \(\left.x \in\right] 0 ;+\infty[\) :

\[
B_{0}^{\prime \prime}(x)+B_{0}(x)=\frac{1}{x}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Montrer, pour tout réel \(x \in] 0 ;+\infty[\) :
\end{enumerate}

\[
0 \leqslant B_{0}(x) \leqslant \frac{1}{x} \quad \text { et } \quad 0 \leqslant-B_{0}^{\prime}(x) \leqslant \frac{1}{x^{2}}
\]

et en déduire les limites de \(B_{0}(x)\) et \(B_{0}^{\prime}(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).\\
4.a. Montrer:

\[
\forall x \in] 0 ;+\infty\left[, \quad \mathrm{e}^{-\sqrt{x}} \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{x}}} \frac{1}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t \leqslant B_{0}(x) \leqslant \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t\right.
\]

b. Justifier, pour tout réel \(y \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}[\right.\) :

\[
\int_{0}^{y} \mathrm{~d} u=\int_{0}^{\tan y} \frac{1}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t
\]

et en déduire : \(\quad \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t=\frac{\pi}{2}\).\\
c. En déduire la limite de \(B_{0}(x)\) lorsque \(x\) tend vers 0 par valeurs strictement positives.

\[
\text { III - Calcul de l'intégrale } \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin u}{u} \mathrm{~d} u
\]

On considère l'application \(\varphi:] 0 ;+\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout réel \(x \in] 0 ;+\infty[\), par :

\[
\varphi(x)=A(x)-B_{0}(x)
\]

où \(A\) a été définie dans la Partie \(\boldsymbol{I}\) et \(B_{0}\) a été définie dans la Partie \(\boldsymbol{I}\).\\
On note \(U:] 0 ;+\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) l'application définie, pour tout réel \(x \in] 0 ;+\infty[\), par :

\[
U(x)=(\varphi(x))^{2}+\left(\varphi^{\prime}(x)\right)^{2}
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(U\) est constante sur \(] 0 ;+\infty[\).
  \item Quelle est la limite de \(U(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) ?
  \item En déduire : \(\forall x \in] 0 ;+\infty\left[, A(x)=B_{0}(x)\right.\).
  \item Quelle est la valeur de \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin u}{u} \mathrm{~d} u\) ?
\end{enumerate}

\section*{DEUXIÈME PROBLÈME}
Dans tout le problème, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .\\
\(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) est l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre \(n\) et \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) l'ensemble des matrices colonnes réelles à \(n\) lignes.\\
Une matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) ou de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) est dite positive si et seulement si tous les cœfficients de \(M\) sont positifs ou nuls. On notera alors \(M \geqslant 0\).\\
Une matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) ou de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) est dite strictement positive si et seulement si tous les cœfficients de \(M\) sont strictement positifs. On notera alors \(M>0\).\\
Si \(M\) et \(N\) sont deux matrices de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) ou deux matrices de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), la notation \(M \geqslant N\) (respectivement \(M>N\) ) signifie que \(M-N \geqslant 0\) (respectivement \(M-N>0\) ).\\
Une matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) est dite productive si et seulement si elle vérifie les deux conditions suivantes : \(M\) est positive et il existe une matrice positive \(P\) de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) telle que \(P-M P>0\).

\section*{\(I\) - Étude d'exemples}
\begin{enumerate}
  \item En considérant \(U=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)\), montrer que la matrice \(A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)\) est productive.
  \item Montrer que la matrice \(B=\left(\begin{array}{lll}1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\) n'est pas productive.
\end{enumerate}

\section*{II - Caractérisation des matrices positives}
Soit \(M\) une matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que, si \(M\) est positive, alors, pour toute matrice positive \(X\) de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), le produit \(M X\) est positif.
  \item Réciproquement, montrer que, si, pour toute matrice positive \(X\) de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), le produit \(M X\) est positif, alors la matrice \(M\) est positive.
\end{enumerate}

\section*{III - Caractérisation des matrices productives}
\begin{enumerate}
  \item Soit \(A\) une matrice productive de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) dont le cœfficient de la \(i\)-ème ligne et de la \(j\)-ème colonne est noté \(a_{i j}\), et \(P\) une matrice positive de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) telles que \(P-A P>0\). On note \(p_{1}, \ldots, p_{n}\) les cœfficients de la matrice colonne \(P\).\\
a. Montrer que \(P>0\).\\
b. Soit \(X\) appartenant à \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) telle que \(X \geqslant A X\). On note \(x_{1}, \ldots, x_{n}\) les cœfficients de la matrice colonne \(X\). On désigne par \(c\) le plus petit des réels \(\frac{x_{j}}{p_{j}}\) lorsque l'entier \(j\) décrit l'ensemble \(\{1, \ldots, n\}\) et \(k\) un indice tel que \(c=\frac{x_{k}}{p_{k}}\).\\
Établir que \(c\left(p_{k}-\sum_{j=1}^{n} a_{k j} p_{j}\right) \geqslant 0\). En déduire que \(c \geqslant 0\) et que \(X\) est positive.\\
c. Soit \(X\) appartenant à \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) telle que \(X=A X\). En remarquant que \(-X \geqslant A(-X)\), montrer que \(X\) est nulle. En déduire que \(I_{n}-A\) est inversible, où \(I_{n}\) est la matrice identité de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).\\
d. Montrer que, pour toute matrice positive \(X\) de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), la matrice \(Y=\left(I_{n}-A\right)^{-1} X\) est positive (on pourra utiliser III.1.b).\\
En déduire que \(\left(I_{n}-A\right)^{-1}\) est positive.
  \item Dans cette question, on considère une matrice positive \(B\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) telle que \(I_{n}-B\) soit inversible et telle que \(\left(I_{n}-B\right)^{-1}\) soit positive. On note \(V=\left(I_{n}-B\right)^{-1} U\), où \(U\) est la matrice de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) dont tous les cœfficients sont égaux à 1 .\\
Montrer que \(V-B V>0\). Conclure.
  \item Donner une caractérisation des matrices productives.
  \item Application : Soit \(M\) une matrice positive de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) telle que \(2 M^{2}=M\).
\end{enumerate}

Vérifier que \(\left(I_{n}-M\right)\left(I_{n}+2 M\right)=I_{n}\) et en déduire que \(M\) est productive.


\end{document}