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\begin{document}
Concepteur : EM LYON\\
\(1^{\text {ère }}\) épreuve (option scientifique)

\section*{MATHÉMATIQUES}
Lundi 9 mai 2005 de 8 heures à 12 heures\\
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{Premier problème}
On considère la suite \(\left(T_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) de polynômes de \(\mathbb{R}[\mathrm{X}]\) définie par :

\[
T_{0}=1, T_{1}=2 \mathrm{X} \quad \text { et, pour tout entier } n \geqslant 2, \quad T_{n}=2 \mathrm{X} T_{n-1}-T_{n-2} .
\]

On pourra confondre polynôme et fonction polynomiale. Ainsi, pour tout entier \(n \geqslant 2\) et tout réel \(x\),

\[
T_{n}(x)=2 x T_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)
\]

PARTIE I : Étude de la suite de polynômes \(\left(T_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\)

\begin{enumerate}
  \item Calculer \(T_{2}\) et \(T_{3}\).\\
2.a. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n, T_{n}\) est un polynôme de degré \(n\), dont on déterminera le coefficient du terme de degré \(n\).\\
b. Établir que, si \(n\) est un entier pair (resp. impair), alors \(T_{n}\) est un polynôme pair (resp. impair).
  \item Calculer, pour tout entier naturel \(n, T_{n}(1)\) en fonction de \(n\).
  \item a. Établir, pour tout entier naturel \(n\) et tout réel \(\theta\) de \(] 0 ; \pi[\) :
\end{enumerate}

\[
T_{n}(\cos \theta)=\frac{\sin (n+1) \theta}{\sin \theta} .
\]

b. En déduire que, pour tout entier naturel non nul \(n, T_{n}\) admet \(n\) racines réelles, toutes situées dans ] - \(1 ; 1\) [, que l'on explicitera.\\
c. Établir, pour tout entier naturel non nul \(n\) :

\[
T_{n}=2^{n} \prod_{k=1}^{n}\left(\mathrm{X}-\cos \frac{k \pi}{n+1}\right) .
\]

d. En déduire, pour tout entier naturel non nul \(n\), la valeur de \(\prod_{k=1}^{n} \sin \frac{k \pi}{2(n+1)}\) en fonction de \(n\).\\
5. a. Démontrer, pour tout entier naturel \(n\) et tout réel \(\theta\) de \(] 0 ; \pi[\) :

\[
\sin ^{2} \theta T_{n}^{\prime \prime}(\cos \theta)-3 \cos \theta T_{n}^{\prime}(\cos \theta)+\left(n^{2}+2 n\right) T_{n}(\cos \theta)=0 .
\]

Indication: On pourra dériver deux fois la fonction (nulle) :

\[
\theta \longmapsto \sin \theta T_{n}(\cos \theta)-\sin (n+1) \theta .
\]

b. En déduire, pour tout entier naturel \(n\) :

\[
\left(\mathrm{X}^{2}-1\right) T_{n}^{\prime \prime}+3 \mathrm{X} T_{n}^{\prime}-\left(n^{2}+2 n\right) T_{n}=0 .
\]

Dans la suite du problème, \(n\) désigne un entier naturel fixé tel que \(n \geqslant 2\), et on note \(E\) l'espace vectoriel réel des polynômes de \(\mathbb{R}[\mathrm{X}]\) de degré inférieur ou égal à \(n\).\\
On note \(L\) l'application qui, à un polynôme \(P\) de \(E\), associe le polynôme \(L(P)\) défini par :

\[
L(P)=\left(\mathrm{X}^{2}-1\right) P^{\prime \prime}+3 \mathrm{X} P^{\prime} .
\]

\section*{PARTIE II : Étude de l'endomorphisme \(L\)}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(L\) est un endomorphisme de l'espace vectoriel \(E\).
  \item a. Calculer \(L\left(T_{k}\right)\) pour tout \(k\) de \(\{0,1, \ldots, n\}\).\\
b. En déduire les valeurs propres de \(L\) et, pour chaque valeur propre de \(L\), une base et la dimension du sous-espace propre associé.
\end{enumerate}

\section*{PARTIE III : Étude d'un produit scalaire}
Dans la suite du problème, on note \(\varphi\) l'application qui, à un couple \((P, Q)\) de polynômes de \(E\), associe le réel \(\varphi(P, Q)\) défini par :

\[
\varphi(P, Q)=\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^{2}} P(x) Q(x) \mathrm{d} x
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(\varphi\) est un produit scalaire sur \(E\).
  \item Démontrer, pour tous polynômes \(P, Q\) de \(E\) :
\end{enumerate}

\[
\varphi(L(P), Q)=\varphi(P, L(Q)) .
\]

Indication: On pourra, à l'aide d'une intégration par parties, montrer :

\[
\varphi(L(P), Q)=\int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}} P^{\prime}(x) Q^{\prime}(x) \mathrm{d} x
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Établir que \(\left(T_{k}\right)_{0 \leqslant k \leqslant n}\) est une base orthogonale de \(E\).
\end{enumerate}

\section*{Deuxième problème}
\section*{PARTIE I : Calcul de la somme d'une série convergente}
\begin{enumerate}
  \item Vérifier, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}: \quad \int_{0}^{\pi}\left(\frac{t^{2}}{2 \pi}-t\right) \cos (n t) \mathrm{d} t=\frac{1}{n^{2}}\).
  \item Établir, pour tout \(m \in \mathbb{N}^{*}\) et pour tout \(\left.\left.t \in\right] 0 ; \pi\right]\) :
\end{enumerate}

\[
\frac{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i} m t}}{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}=\frac{\sin \frac{m t}{2}}{\sin \frac{t}{2}} \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}(m+1) t}{2}}, \text { puis } \sum_{n=1}^{m} \cos (n t)=\frac{\cos \frac{(m+1) t}{2} \sin \frac{m t}{2}}{\sin \frac{t}{2}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Soit \(u:[0 ; \pi] \longrightarrow \mathbb{R}\) une application de classe \(\mathcal{C}^{1}\).
\end{enumerate}

Montrer, à l'aide d'une intégration par parties : \(\int_{0}^{\pi} u(t) \sin (\lambda t) d t \xrightarrow[\lambda \rightarrow+\infty]{ } 0\).\\
4. Soit l'application \(f:[0 ; \pi] \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par \(f(t)=\frac{\frac{t^{2}}{2 \pi}-t}{2 \sin \frac{t}{2}}\) si \(\left.\left.t \in\right] 0 ; \pi\right]\), et \(f(0)=-1\). Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \([0 ; \pi]\).\\
5.a. Montrer : \(\forall m \in \mathbb{N}^{*}, \quad \sum_{n=1}^{m} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}+\int_{0}^{\pi} f(t) \sin \frac{(2 m+1) t}{2} \mathrm{~d} t\).\\
b. Justifier la convergence de la série \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n^{2}}\) et montrer : \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\).

\section*{PARTIE II : Étude d'une fonction définie par la somme d'une série convergente}
1.a. Montrer que, pour tout couple \((x, y) \in\left(\left[0 ;+\infty[)^{2}\right.\right.\), la série \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{(n+x)(n+y)}\) et la série \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{(n+x)^{2}(n+y)}\) convergent.\\
b. Montrer que, pour tout \(x \in\left[0 ;+\infty\left[\right.\right.\), la série \(\sum_{n \geqslant 1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+x}\right)\) converge.

On note \(S\) l'application définie, pour tout \(x\) de \(\left[0 ;+\infty\left[\right.\right.\), par \(S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+x}\right)\).\\
2. Calculer \(S(0)\) et \(S(1)\).\\
3.a. Établir : \(\forall(x, y) \in\left(\left[0 ;+\infty[)^{2}, \quad S(y)-S(x)=(y-x) \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(n+x)(n+y)}\right.\right.\).\\
b. En déduire : \(\forall(x, y) \in\left(\left[0 ;+\infty[)^{2},|S(y)-S(x)| \leqslant \frac{\pi^{2}}{6}|y-x|\right.\right.\).\\
c. Montrer alors que la fonction \(S\) est continue sur \([0 ;+\infty[\).\\
4.a. Montrer, pour tout couple \((x, y)\) de \(\left(\left[0 ;+\infty[)^{2}\right.\right.\) tel que \(x \neq y\) :

\[
\left|\frac{S(y)-S(x)}{y-x}-\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(n+x)^{2}}\right| \leqslant|y-x| \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{3}}
\]

b. En déduire que la fonction \(S\) est dérivable sur \([0 ;+\infty[\) et que :

\[
\forall x \in\left[0 ;+\infty\left[, \quad S^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(n+x)^{2}}\right.\right.
\]

c. Préciser les valeurs de \(S^{\prime}(0)\) et de \(S^{\prime}(1)\).\\
5. On admet que \(S\) est deux fois dérivable sur \([0 ;+\infty[\) et que :

\[
\forall x \in\left[0 ;+\infty\left[, \quad S^{\prime \prime}(x)=-\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{(n+x)^{3}}\right.\right.
\]

Montrer que \(S\) est concave.\\
6. Soit \(x \in] 0 ;+\infty[\) fixé. On note \(\varphi\) la fonction définie sur \([1 ;+\infty[\) par :

\[
\forall t \in\left[1 ;+\infty\left[, \quad \varphi(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{t+x}\right.\right.
\]

a. Montrer que l'intégrale \(\int_{1}^{+\infty} \varphi(t) \mathrm{d} t\) converge et calculer sa valeur.\\
b. Montrer : \(\quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad \varphi(n+1) \leqslant \int_{n}^{n+1} \varphi(t) \mathrm{d} t \leqslant \varphi(n)\), et en déduire : \(\quad \int_{1}^{+\infty} \varphi(t) \mathrm{d} t \leqslant S(x) \leqslant 1+\int_{1}^{+\infty} \varphi(t) \mathrm{d} t\).\\
c. Conclure : \(\quad S(x) \underset{x \rightarrow+\infty}{\sim} \ln x\).\\
7.a. Dresser le tableau de variation de \(S\), en précisant la limite de \(S\) en \(+\infty\).\\
b. Tracer l'allure de la courbe représentative de \(S\).


\end{document}