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\begin{document}
\section*{CODE EPREUVE :}
\section*{Concepteur : EM LYON}
\(1^{\text {ère }}\) épreuve (option scientifique)

\section*{MATHÉMATIQUES}
Mardi 2 mai 2006 de 8 heures à 12 heures

Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{Problème I}
\section*{Préliminaires}
1.a. Justifier, pour tout \(n \in \mathbb{N}: \quad t^{n} \mathrm{e}^{-t^{2}}=\underset{t \rightarrow+\infty}{\mathrm{o}}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)\).\\
b. Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), l'intégrale . \(\int_{-\infty}^{+\infty} t^{n} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t\) est convergente.\\
2. En déduire que, pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}[X]\), l'intégrale \(\int_{-\infty}^{+\infty} P(t) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t\) converge.

On admet dans tout le problème : \(\quad \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=\sqrt{\pi}\).\\
On note, dans tout le problème, pour tout \(n \in \mathbb{N}: I_{n}=\int_{-\infty}^{+\infty} t^{n} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t\).\\
3.a. Établir, à l'aide d'une intégration par parties, pour tout \(n \in \mathbb{N}: \quad I_{n+2}=\frac{n+1}{2} I_{n}\).\\
b. Montrer, pour tout \(p \in \mathbb{N}: \quad I_{2 p+1}=0\).\\
c. Montrer, pour tout \(p \in \mathbb{N}: \quad I_{2 p}=\frac{(2 p)!}{2^{2 p} p!} \sqrt{\pi}\).

\section*{I Recherche d'extrémums locaux pour une fonction de deux variables réelles}
On note \(F: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}\) l'application définie, pour tout \((x, y) \in \mathbb{R}^{2}\), par :

\[
F(x, y)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}(t-x)^{2}(t-y)^{2} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer, pour tout \((x, y) \in \mathbb{R}^{2}: \quad F(x, y)=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\left(x^{2}+4 x y+y^{2}\right)+x^{2} y^{2}\).
  \item Calculer les dérivées partielles premières de \(F\) en tout point \((x, y)\) de \(\mathbb{R}^{2}\), et en déduire les trois points critiques de \(F\).
  \item Déterminer les extrémums locaux de \(F\). En chacun de ceux-ci, préciser s'il s'agit d'un minimum local ou d'un maximum local, et préciser la valeur de \(F\) en chacun de ces points.
\end{enumerate}

\section*{II Calcul d'intégrales dépendant d'un paramètre}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), les intégrales \(\int_{0}^{+\infty} \sin (x t) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t\) et \(\int_{0}^{+\infty} t \cos (x t) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t\) convergent.
\end{enumerate}

On note \(S: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) et \(C: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) les applications définies, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), par :

\[
S(x)=\int_{0}^{+\infty} \sin (x t) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t \quad \text { et } \quad C(x)=\int_{0}^{+\infty} t \cos (x t) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Établir, pour tout \(a \in \mathbb{R}\) et tout \(\lambda \in \mathbb{R}: \quad|\sin (a+\lambda)-\sin a-\lambda \cos a| \leqslant \frac{\lambda^{2}}{2}\).
\end{enumerate}

On pourra utiliser l'inégalité de Taylor-Lagrange.\\
3.a. Démontrer, pour tout \(x \in \mathbb{R}: \quad \frac{S(x+h)-S(x)}{h}-C(x) \xrightarrow[h \rightarrow 0]{ } 0\).\\
b. En déduire que \(S\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et que, pour tout \(x \in \mathbb{R}, S^{\prime}(x)=C(x)\).\\
4.a. À l'aide d'une intégration par parties, établir, pour tout \(x \in \mathbb{R}: \quad C(x)=\frac{1}{2}-\frac{x}{2} S(x)\).\\
b. Montrer, pour tout \(x \in \mathbb{R}: 2 \mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{4}} S(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{\frac{t^{2}}{4}} \mathrm{~d} t\).\\
c. En déduire, pour tout \(x \in \mathbb{R}: \quad S(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{4}} \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{\frac{t^{2}}{4}} \mathrm{~d} t \quad\) et \(\quad C(x)=\frac{1}{2}-\frac{x}{4} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{4}} \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{\frac{t^{2}}{4}} \mathrm{~d} t\).

\section*{III Obtention d'un développement limité}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), l'intégrale \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2} t^{2}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t\) converge.
\end{enumerate}

On note \(g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) l'application définie, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), par : \(\quad g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2} t^{2}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t\).\\
2.a. Montrer, pour tout \(u \in\left[0 ;+\infty\left[: 0 \leqslant\left(1-u+u^{2}\right)-\frac{1}{1+u} \leqslant u^{3}\right.\right.\).\\
b. En déduire, pour tout \(x \in \mathbb{R}: 0 \leqslant \int_{-\infty}^{+\infty}\left(1-x^{2} t^{2}+x^{4} t^{4}\right) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t-g(x) \leqslant \frac{15 \sqrt{\pi}}{8} x^{6}\).\\
3. Montrer que \(g\) admet un développement limité à l'ordre 5 en 0 , et former ce développement limité.

\section*{IV Nature d'une série}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout \(p \in \mathbb{N}\), l'intégrale \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t^{2 p}}{t^{2}+(2 p)!} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t\) converge.
\end{enumerate}

On note, pour tout \(p \in \mathbb{N}: u_{p}=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t^{2 p}}{t^{2}+(2 p)!} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t\).\\
2. Montrer, pour tout \(p \in \mathbb{N}: \quad 0 \leqslant u_{p} \leqslant \frac{I_{2 p}}{(2 p)!}\).

En déduire que la série de terme général \(u_{p}\) est convergente.

\section*{Problème II}
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 2 . On désigne par \(\mathrm{I}_{n}\) la matrice unité de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})\).\\
On considère un \(n\)-uplet ( \(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1}\) ) de \(\mathbb{C}^{n}\) et le polynôme \(P=X^{n}+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots+a_{1} X+a_{0}\).\\
On note \(C\) la matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})\) définie par \(C=\left(\begin{array}{cccccc}0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & -a_{0} \\ 1 & \ddots & (0) & & \vdots & -a_{1} \\ 0 & \ddots & \ddots & & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & (0) & \ddots & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 & -a_{n-1}\end{array}\right)\).\\
On dit que \(C\) est la matrice compagnon du polynôme \(P\).\\
On note \(\mathcal{B}_{0}=\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right)\) la base canonique de \(\mathbb{C}^{n}\).\\
On note id l'application identité de \(\mathbb{C}^{n}\) et on appelle \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb{C}^{n}\) tel que \(C\) soit la matrice associée à \(f\) relativement à la base \(\mathcal{B}_{0}\).\\
On note \(f^{0}=\mathrm{id}\) et, pour tout entier naturel \(k, f^{k+1}=f^{k} \circ f\).\\
1.a. Exprimer, pour tout \(i \in \llbracket 1 ; n-1 \rrbracket\), \(f\left(e_{i}\right)\) en fonction de \(e_{i+1}\).\\
b. En déduire : \(\quad \forall j \in \llbracket 1 ; n-1 \rrbracket, f^{j}\left(e_{1}\right)=e_{j+1}\) et \(f^{n}\left(e_{1}\right)=-\left(a_{0} e_{1}+a_{1} e_{2}+\cdots+a_{n-1} e_{n}\right)\).\\
2. Soit \(g\) l'endomorphisme de \(\mathbb{C}^{n}\) défini par \(g=f^{n}+a_{n-1} f^{n-1}+\cdots+a_{1} f+a_{0} \mathrm{id}\).\\
a. Vérifier : \(\quad g\left(e_{1}\right)=0\).\\
b. Montrer : \(\quad \forall i \in \mathbb{N}, g \circ f^{i}=f^{i} \circ g\).\\
c. En déduire : \(\quad \forall i \in \llbracket 1 ; n \rrbracket, g\left(e_{i}\right)=0\).\\
d. Montrer que le polynôme \(P\) est annulateur de l'endomorphisme \(f\).

Application 1 : Déterminer une matrice \(A \in \mathcal{M}_{5}(\mathbb{C})\) telle que \(A^{5}=A^{3}+2 A^{2}+\mathrm{I}_{5}\).\\
e. Établir que toutes les valeurs propres de \(C\) sont des racines du polynôme \(P\).\\
3.a. Soit \(Q=\alpha_{0}+\alpha_{1} X+\cdots+\alpha_{n-1} X^{n-1}\) un polynôme non nul et de degré inférieur ou égal à \(n-1\). On note \(Q(f)\) l'endomorphisme de \(\mathbb{C}^{n}\) défini par \(Q(f)=\alpha_{0}\) id \(+\alpha_{1} f+\cdots+\alpha_{n-1} f^{n-1}\). Calculer \(Q(f)\left(e_{1}\right)\).\\
b. En déduire qu'il n'existe pas de polynôme non nul, de degré inférieur ou égal à \(n-1\) et annulateur de \(f\).\\
c. Soit \(\lambda\) une racine du polynôme \(P\).

Il existe donc un unique polynôme \(R \in \mathbb{C}[X]\) tel que \(P=(X-\lambda) R\).\\
Vérifier que \((f-\lambda \mathrm{id}) \circ R(f)=\tilde{0}\), où \(\tilde{0}\) est l'endomorphisme nul de \(\mathbb{C}^{n}\).\\
d. Conclure que toutes les racines du polynôme \(P\) sont des valeurs propres de \(C\).\\
4.a. Montrer que, pour tout nombre complexe \(x\), la matrice \(\left(C-x \mathrm{I}_{n}\right)\) est de rang supérieur ou égal à \(n-1\). En déduire que chaque sous-espace propre de \(C\) est de dimension 1 .\\
b. En déduire que \(C\) est diagonalisable si et seulement si \(P\) admet \(n\) racines deux à deux distinctes.\\
5.a. Application 2 : Montrer que la matrice \(A_{1}=\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)\) de \(\mathcal{M}_{4}(\mathbb{C})\) est diagonalisable.\\
b. Application 3 : Montrer que la matrice \(A_{2}=\left(\begin{array}{rrrr}0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & -8 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right)\) de \(\mathcal{M}_{4}(\mathbb{C})\) n'est pas diagonalisable.\\
6. On note \(B={ }^{\mathrm{t}} C\) la matrice transposée de \(C\).\\
a. Montrer que, pour tout nombre complexe \(t\), la matrice \(\left(B-t \mathrm{I}_{n}\right)\) est inversible si et seulement si la matrice \(\left(C-t \mathrm{I}_{n}\right)\) est inversible.\\
b. En déduire que les matrices \(B\) et \(C\) ont les mêmes valeurs propres.\\
c. Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(B\). Déterminer une base du sous-espace propre de \(B\) associé à \(\lambda\).\\
d. On suppose que le polynôme \(P\) admet \(n\) racines \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\) deux à deux distinctes. Montrer que \(B\) est diagonalisable et en déduire que la matrice \(V=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1 \\ \lambda_{1} & \lambda_{2} & \cdots & \lambda_{n} \\ \lambda_{1}^{2} & \lambda_{2}^{2} & \cdots & \lambda_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \lambda_{1}^{n-1} & \lambda_{2}^{n-1} & \cdots & \lambda_{n}^{n-1}\end{array}\right)\) est inversible.\\
7. Soit \(E\) un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) et \(u\) un endomorphisme de \(E\) admettant \(n\) valeurs propres \(\mu_{1}, \ldots, \mu_{n}\) deux à deux distinctes.\\
L'endomorphisme \(u\) est donc diagonalisable et on note \(\mathcal{E}=\left(\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{n}\right)\) une base de \(E\) constituée de vecteurs propres de \(u\) respectivement associés à \(\mu_{1}, \ldots, \mu_{n}\).\\
a. Soit \(a=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\cdots+\varepsilon_{n}\). Montrer que la famille \(\mathcal{B}_{a}=\left(a, u(a), \ldots, u^{n-1}(a)\right)\) est une base de \(E\).\\
b. Montrer qu'il existe un polynôme \(P_{1}=X^{n}+b_{n-1} X^{n-1}+\cdots+b_{1} X+b_{0}\) tel que la matrice associée à \(u\) relativement à la base \(\mathcal{B}_{a}=\left(a, u(a), \ldots, u^{n-1}(a)\right)\) soit la matrice compagnon du polynôme \(P_{1}\).


\end{document}