\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\section*{BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES}
\section*{Concepteur : EM LYON}
\section*{Première épreuve (option scientifique)}
\section*{MATHÉMATIQUES}
Lundi 30 avril 2007 de 8 heures à 12 heures

Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{Premier problème}
On considère l'application

\[
f:\left[0 ;+\infty\left[\longrightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto f(x)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{\ln (1+x)}{x} & \text { si } x>0 \\
1 & \text { si } x=0
\end{array}\right.\right.\right.
\]

\section*{Partie I}
\section*{Étude de l'application \(f\)}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(f\) est continue sur \([0 ;+\infty[\).
  \item On considère l'application
\end{enumerate}

\[
A:\left[0 ;+\infty\left[\longrightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto A(x)=\frac{x}{1+x}-\ln (1+x) .\right.\right.
\]

a. Montrer que \(f\) est de classe \(C^{1}\) sur \(] 0 ;+\infty[\) et que, pour tout \(x \in] 0 ;+\infty\left[, f^{\prime}(x)=\frac{A(x)}{x^{2}}\right.\).\\
b. Montrer que \(f^{\prime}\) admet \(-\frac{1}{2}\) comme limite en 0 à droite.\\
c. Démontrer que \(f\) est de classe \(C^{1}\) sur \(\left[0 ;+\infty\left[\right.\right.\) et préciser \(f^{\prime}(0)\).\\
d. Dresser le tableau de variation de \(A\).

En déduire que \(f\) est strictement décroissante sur \([0 ;+\infty[\).\\
e. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).\\
3. On considère l'application

\[
B:\left[0 ;+\infty\left[\longrightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto B(x)=-\frac{3 x^{2}+2 x}{(1+x)^{2}}+2 \ln (1+x)\right.\right.
\]

a. Montrer que \(f\) est deux fois dérivable sur \(] 0 ;+\infty[\), et que, pour tout \(x \in] 0 ;+\infty\left[, f^{\prime \prime}(x)=\frac{B(x)}{x^{3}}\right.\).\\
b. Dresser le tableau de variation de \(B\).

En déduire que \(f\) est convexe sur \(] 0 ;+\infty[\).\\
4. Tracer l'allure de la courbe représentative de \(f\).

\section*{Partie II Un développement en série}
\begin{enumerate}
  \item Montrer, pour tout \(N \in \mathbb{N}\) et tout \(t \in[0 ; 1]\) :
\end{enumerate}

\[
\frac{1}{1+t}=\sum_{k=0}^{N}(-1)^{k} t^{k}+\frac{(-1)^{N+1} t^{N+1}}{1+t}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item En déduire, pour tout \(N \in \mathbb{N}\) et tout \(x \in[0 ; 1]\) :
\end{enumerate}

\[
\ln (1+x)=\sum_{k=0}^{N} \frac{(-1)^{k} x^{k+1}}{k+1}+J_{N}(x)
\]

où on a noté \(J_{N}(x)=\int_{0}^{x} \frac{(-1)^{N+1} t^{N+1}}{1+t} \mathrm{~d} t\).\\
3. Établir, pour tout \(N \in \mathbb{N}\) et tout \(x \in[0 ; 1]: \quad\left|J_{N}(x)\right| \leqslant \frac{x^{N+2}}{N+2}\).\\
4. En déduire que, pour tout \(x \in[0 ; 1]\), la série \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1} x^{n}}{n}\) converge et que :

\[
\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{n}}{n}
\]

\section*{Partie III}
\section*{Égalité d'une intégrale et d'une somme de série}
\begin{enumerate}
  \item Montrer, en utilisant le résultat de II.3., pour tout \(N \in \mathbb{N}\) et tout \(x \in[0 ; 1]\) :
\end{enumerate}

\[
\left|f(x)-\sum_{k=0}^{N} \frac{(-1)^{k} x^{k}}{k+1}\right| \leqslant \frac{x^{N+1}}{N+2}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Montrer que la série \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}\) converge et que : \(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}\).
  \item Montrer, pour tout \(N \in \mathbb{N}^{*}\) :
\end{enumerate}

\[
\left\{\begin{array}{l}
\sum_{n=1}^{2 N+1} \frac{1}{n^{2}}=\sum_{p=0}^{N} \frac{1}{(2 p+1)^{2}}+\sum_{p=1}^{N} \frac{1}{4 p^{2}} \\
\sum_{n=1}^{2 N+1} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}=\sum_{p=0}^{N} \frac{1}{(2 p+1)^{2}}-\sum_{p=1}^{N} \frac{1}{4 p^{2}}
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item On admet que \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\). Montrer : \(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi^{2}}{12}\).
\end{enumerate}

\section*{Partie IV}
\section*{Recherche d'extremum pour une fonction réelle de deux variables réelles}
On note \(F:] 0 ;+\infty\left[\longrightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.\)

\[
\text { et } G:] 0 ;+\infty\left[{ }^{2} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad(x, y) \longmapsto G(x, y)=F(x y)-F(x)-F(y) .\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(G\) est de classe \(C^{2}\) sur \(] 0 ;+\infty\left[{ }^{2}\right.\).
\end{enumerate}

Exprimer, pour tout \((x, y) \in] 0 ;+\infty\left[{ }^{2}\right.\), les dérivées partielles premières et secondes de \(G\) en \((x, y)\) en fonction de \(x, y, f(x), f(y), f(x y), f^{\prime}(x), f^{\prime}(y), f^{\prime}(x y)\).\\
2. Établir que \(G\) admet \((1,1)\) comme unique point critique.\\
3. Est-ce que \(G\) admet un extremum local ?

\section*{DEUXIÈME PROBLÈME}
On note \(n\) un nombre entier fixé supérieur ou égal \(2, E\) le sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}[\mathrm{X}]\) constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\) et \(\mathcal{B}=\left(1, \mathrm{X}, \ldots, \mathrm{X}^{n}\right)\) la base canonique de \(E\).

\section*{Partie I}
\section*{Étude d'un endomorphisme de \(E\)}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout polynôme \(P\) de \(E\), le polynôme \(\left(\left(\mathrm{X}^{2}-1\right) P\right)^{\prime \prime}\) est élément de \(E\), où \(\left(\left(\mathrm{X}^{2}-1\right) P\right)^{\prime \prime}\) désigne le polynôme dérivée seconde de \(\left(\mathrm{X}^{2}-1\right) P\).\\
On note \(\phi: E \longrightarrow E\) l'application qui, à tout polynôme \(P\) de \(E\), associe \(\phi(P)=\left(\left(\mathrm{X}^{2}-1\right) P\right)^{\prime \prime}\).
  \item Vérifier : \(\phi(1)=2, \phi(\mathrm{X})=6 \mathrm{X}\).
  \item Montrer que \(\phi\) est un endomorphisme de \(E\).
  \item Calculer \(\phi\left(\mathrm{X}^{k}\right)\) pour tout \(k \in\{0, \ldots, n\}\) et écrire la matrice \(A\) de \(\phi\) dans la base \(\mathcal{B}\).
  \item a. Montrer que \(\phi\) admet \(n+1\) valeurs propres deux à deux distinctes que l'on notera \(\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\) avec \(\lambda_{0}<\lambda_{1}<\cdots<\lambda_{n}\).\\
b. Est-ce que \(\phi\) est bijectif ?\\
c. Montrer que \(\phi\) est diagonalisable et déterminer, pour tout \(k \in\{0, \ldots, n\}\), la dimension du sousespace propre de \(\phi\) associé à \(\lambda_{k}\).
  \item Soient \(k \in\{0, \ldots, n\}\) et \(P\) un vecteur propre de \(\phi\) associé à la valeur propre \(\lambda_{k}\).\\
a. Montrer que le degré du polynôme \(P\) est égal à \(k\).\\
b. Montrer que le polynôme \(Q\) défini par \(Q(\mathrm{X})=P(-\mathrm{X})\) est un vecteur propre de \(\phi\) associé à \(\lambda_{k}\).
  \item En déduire qu'il existe une unique base \(\left(P_{0}, P_{1}, \ldots, P_{n}\right)\) de \(E\) constituée de vecteurs propres de \(\phi\) telle que, pour tout \(k \in\{0, \ldots, n\}, \quad P_{k}\) est un polynôme de degré \(k\), de coefficient dominant égal à 1 et vérifiant \(P_{k}(-\mathrm{X})=(-1)^{k} P_{k}(\mathrm{X})\).\\
Que peut-on en déduire sur la parité de \(P_{k}\) ?
  \item Calculer \(P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}\).
\end{enumerate}

\section*{Partie II}
\section*{Un produit scalaire sur \(E\)}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que l'application : \((P, Q) \longmapsto(P \mid Q)=\int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right) P(x) Q(x) \mathrm{d} x\) est un produit scalaire sur \(E\).
\end{enumerate}

On munit dorénavant \(E\) de ce produit scalaire noté (.|.).\\
2. a. À l'aide d'intégrations par parties, établir que \(\phi\) est un endomorphisme symétrique de \(E\).\\
b. Montrer que la base \(\left(P_{0}, P_{1}, \ldots, P_{n}\right)\) de \(E\) obtenue à la question \(\mathbf{I} .7\) est orthogonale.

Soit \(j \in\{1, \ldots, n\}\).\\
3. a. Montrer que pour tout polynôme \(S\) de degré inférieur ou égal à \(j-1\), on a : \(\left(S \mid P_{j}\right)=0\).\\
b. En considérant \(\left(1 \mid P_{j}\right)\), montrer que \(P_{j}\) ne garde pas un signe constant sur l'intervalle \(]-1 ; 1[\).\\
c. En déduire que \(P_{j}\) admet au moins, dans l'intervalle ] \(-1 ; 1[\), une racine d'ordre de multiplicité impair.\\
4. On note \(\left\{x_{1}, \ldots, x_{m}\right\}\) l'ensemble des racines d'ordre de multiplicité impair de \(P_{j}\) appartenant à l'intervalle ] \(-1 ; 1\left[\right.\) et \(S_{m}=\left(\mathrm{X}-x_{1}\right)\left(\mathrm{X}-x_{2}\right) \cdots\left(\mathrm{X}-x_{m}\right)\).\\
a. Justifier : \(m \leqslant j\).\\
b. Montrer que le polynôme \(S_{m} P_{j}\) (produit des polynômes \(S_{m}\) et \(P_{j}\) ) garde un signe constant sur l'intervalle ] - \(1 ; 1[\).\\
c. En considérant \(\left(S_{m} \mid P_{j}\right)\), montrer que \(m=j\).\\
d. En déduire que \(P_{j}\) admet \(j\) racines simples réelles toutes situées dans l'intervalle \(]-1 ; 1[\).


\end{document}