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\author{Concepteur : EM LYON\\
Première épreuve (option scientifique)\\
MATHÉMATIQUES\\
Mardi 29 avril 2008 de 8 heures à 12 heures}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES}
Code sujet\\
295\\
EML \(\_\_\_\_\) MATS

Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée

\section*{PROBLÈME}
On confond polynôme et application polynomiale de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).\\
On note \(E\) l'ensemble des applications \(u: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) continues sur \(\mathbb{R}\) et telles que l'intégrale\\
\(\int_{-\infty}^{+\infty}(u(x))^{2} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x\) converge.\\
On note \(F\) le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel des applications polynomiales de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).\\
On note, pour tout \(n \in \mathbb{N}, F_{n}\) le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel des applications polynomiales de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) de degré inférieur ou égal à \(n\).

\section*{Préliminaire : Valeur de l'intégrale de Gauss}
En considérant une variable aléatoire suivant une loi normale, justifier :

\[
\forall m \in \mathbb{R}, \quad \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-(x-m)^{2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{\pi}
\]

\section*{Partie I : Un produit scalaire sur \(E\)}
\begin{enumerate}
  \item Établir, pour tout \((\alpha, \beta) \in\left[0 ;+\infty\left[2: \alpha \beta \leqslant \frac{1}{2}\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right)\right.\right.\).
  \item En déduire que, pour tout \((u, v) \in E^{2}\), l'intégrale \(\int_{-\infty}^{+\infty} u(x) v(x) \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x\) converge.
\end{enumerate}

On note (.|.) l'application de \(E^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) qui, à tout \((u, v) \in E^{2}\), associe \(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} u(x) v(x) \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x\). On notera la présence du facteur \(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\).\\
3. a. Démontrer que \(E\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.\\
b. Montrer que l'application (.|.) est un produit scalaire sur \(E\).\\
4. Démontrer : \(F \subset E\).

On note encore (.|.) la restriction à \(F\) ou à \(F_{n}\), pour \(n \in \mathbb{N}\), du produit scalaire (.|.) sur \(E\). On admet que cette restriction est encore un produit scalaire sur \(F\) ou sur \(F_{n}\).

On note \(\|\).\(\| la norme sur E\) associée au produit scalaire (.|.), définie, pour tout \(u \in E\), par :

\[
\|u\|=\sqrt{(u \mid u)}
\]

\section*{Partie II : Polynômes d'Hermite}
On note \(w\) l'application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), de classe \(C^{\infty}\), définie pour tout \(x \in \mathbb{R}\) par \(w(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}\). Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on note \(H_{n}\) l'application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie pour tout \(x \in \mathbb{R}\) par

\[
H_{n}(x)=(-1)^{n} \mathrm{e}^{x^{2}} w^{(n)}(x) \text {, où } w^{(n)} \text { désigne la dérivée } n \text {-ième de } w .
\]

En particulier : \(H_{0}(x)=1\).

\begin{enumerate}
  \item Calculer, pour tout \(x \in \mathbb{R}, H_{1}(x), H_{2}(x), H_{3}(x)\).
\end{enumerate}

Faire figurer les calculs sur la copie.\\
2. a. Montrer, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et tout \(x \in \mathbb{R}\) :

\[
H_{n+1}(x)=2 x H_{n}(x)-H_{n}^{\prime}(x)
\]

b. En déduire que, pour tout \(n \in \mathbb{N}, H_{n}\) est un polynôme de degré \(n\).\\
c. Contrôler alors les résultats obtenus en II. 1 et calculer \(H_{4}\).

Faire figurer les calculs sur la copie.\\
3. Déterminer, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), le coefficient du terme de plus haut degré de \(H_{n}\).\\
4. Montrer, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et tout \(x \in \mathbb{R}\) : \(H_{n}(-x)=(-1)^{n} H_{n}(x)\). Qu'en déduit-on, en terme de parité, pour l'application \(H_{n}\) ?

\section*{Partie III : Lien entre le produit scalaire et les polynômes d'Hermite}
\begin{enumerate}
  \item a. Montrer, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et tout \(P \in F\) :
\end{enumerate}

\[
\left(P^{\prime} \mid H_{n-1}\right)=\left(P \mid H_{n}\right),
\]

où (. .) est le produit scalaire sur \(F\) défini en I.4.\\
À cet effet, on pourra commencer par effectuer une intégration par parties sur un intervalle fermé borné.\\
b. En déduire, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et tout \(P \in F_{n-1}:\left(P \mid H_{n}\right)=0\).\\
c. En déduire que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), la famille \(\left(H_{0}, \ldots, H_{n}\right)\) est orthogonale dans \(F\).\\
2. Établir que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), la famille \(\left(H_{0}, \ldots, H_{n}\right)\) est une base de \(F_{n}\).\\
3. Soit \(n \in \mathbb{N}\).\\
a. Montrer : \(\left\|H_{n}\right\|^{2}=\left(H_{n}^{(n)} \mid H_{0}\right)\), où \(\|\).\(\| est définie en I.4.\)\\
b. En déduire la valeur de \(\left\|H_{n}\right\|\).

\section*{Partie IV : Un endomorphisme symétrique}
On note \(f, g, h\) les applications définies de \(F\) dans \(F\), pour tout \(P \in F\), par :

\[
f(P)=-P^{\prime \prime}+2 \times P^{\prime}+P, \quad g(P)=2 \times P-P^{\prime}, \quad h(P)=P^{\prime}
\]

Ainsi, par exemple, pour tout \(P \in F\) et tout \(x \in \mathbb{R}:(g(P))(x)=2 x P(x)-P^{\prime}(x)\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \(F\).
\end{enumerate}

On admet que \(g\) et \(h\) sont aussi des endomorphismes de \(F\), et on note \(\operatorname{Id}_{F}\) l'application identique de \(F\).\\
2. a. Établir : \(\quad g \circ h=f-\operatorname{Id}_{F}\) et \(h \circ g=f+\operatorname{Id}_{F}\).\\
b. En déduire : \(\quad f \circ g-g \circ f=2 g\).\\
3. Montrer que, pour tout \(\lambda \in \mathbb{R}\) et tout \(P \in F\), si \(f(P)=\lambda P\), alors \(f(g(P))=(\lambda+2) g(P)\).\\
4. a. Calculer \(f\left(H_{0}\right)\).\\
b. Calculer, pour tout \(k \in \mathbb{N}, g\left(H_{k}\right)\), et en déduire, pour tout \(k \in \mathbb{N}: \quad f\left(H_{k}\right)=(2 k+1) H_{k}\).\\
5. Établir, pour tout \((P, Q) \in F^{2}\) :

\[
\left(P^{\prime} \mid Q^{\prime}\right)=(f(P) \mid Q)-(P \mid Q)
\]

À cet effet, on pourra commencer par effectuer une intégration par parties sur un intervalle fermé borné.\\
6. Soit \(n \in \mathbb{N}\).\\
a. Montrer : \(\quad \forall P \in F_{n}, \quad f(P) \in F_{n}\).

On note \(f_{n}\) l'endomorphisme de \(F_{n}\) défini par:

\[
\forall P \in F_{n}, \quad f_{n}(P)=f(P) .
\]

b. Montrer que \(f_{n}\) est un endomorphisme symétrique de \(F_{n}\).\\
c. Donner une base orthonormale de \(F_{n}\) constituée de vecteurs propres de \(f_{n}\).

\section*{Partie V : Intervention d'exponentielles}
On note, pour tout \(a \in \mathbb{R}, \varphi_{a}\) l'application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), par : \(\varphi_{a}(x)=\mathrm{e}^{a x}\).

\begin{enumerate}
  \item Vérifier, pour tout \(a \in \mathbb{R}: \varphi_{a} \in E\).
  \item Montrer, pour tout \((a, b) \in \mathbb{R}^{2}:\left(\varphi_{a} \mid \varphi_{b}\right)=\mathrm{e}^{\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}}\).
  \item Déterminer la nature de la série \(\sum_{n \geqslant 1}\left\|\varphi_{\sqrt{\ln n}}\right\|^{-2}\).
  \item Montrer que la série \(\sum_{n \geqslant 0}\left\|\varphi_{\sqrt{n}}\right\|^{-2}\) converge et calculer sa somme.
\end{enumerate}

\section*{Partie VI: Une limite de probabilité conditionnelle}
Soit la fonction \(\Phi\) définie sur \(] 0 ;+\infty[\) par :

\[
\forall x \in] 0 ;+\infty\left[, \quad \Phi(x)=\int_{x}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(\Phi\) est de classe \(C^{1}\) sur \(] 0 ;+\infty\left[\right.\) et déterminer sa dérivée \(\Phi^{\prime}\).
  \item Soient \(G\) et \(K\) les fonctions définies sur \(] 0 ;+\infty[\) par :
\end{enumerate}

\[
\forall x \in] 0 ;+\infty\left[, \quad G(x)=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^{3}}\right) \frac{\mathrm{e}^{-x^{2}}}{2} \text { et } K(x)=\frac{\mathrm{e}^{-x^{2}}}{2 x} .\right.
\]

a. Déterminer les limites des fonctions \(\Phi, G\) et \(K\) en \(+\infty\).\\
b. Déterminer les sens de variation des fonctions \(G-\Phi\) et \(\Phi-K\).\\
c. En déduire : \(\quad \forall x \in] 0 ;+\infty[, G(x) \leqslant \Phi(x) \leqslant K(x)\).\\
d. Montrer :

\[
\Phi(x) \underset{x \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{\mathrm{e}^{-x^{2}}}{2 x}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Soit \(X\) une variable aléatoire normale d'espérance égale à 0 et d'écart-type égal à \(\frac{1}{\sqrt{2}}\).\\
a. Pour tout réel \(x\) strictement positif, exprimer la probabilité \(\mathrm{P}(X \leqslant x)\) à l'aide de la fonction \(\Phi\).\\
b. Soit \(c\) un réel strictement positif.
\end{enumerate}

Pour tout réel \(x\), on considère la probabilité conditionnelle \(\mathrm{P}_{(X>x)}(X \leqslant x+c)\).\\
Montrer :

\[
\lim _{x \rightarrow+\infty} \mathrm{P}_{(X>x)}(X \leqslant x+c)=1
\]


\end{document}