\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
EML \(\_\_\_\_\) MATS

\section*{Concepteur : EMLYON Business School}
\section*{Première épreuve (option scientifique) MATHÉMATIQUES}
\section*{Lundi 27 avril 2009 de 8 heures à 12 heures}
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{PROBLÈME 1}
Partie I - Calcul d'une intégrale\\
On note \((a, b)\) un couple de réels strictement positifs.

\begin{enumerate}
  \item Montrer que l'intégrale impropre \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e}^{-b x}}{x} \mathrm{~d} x\) converge.
  \item a. Établir, pour tout \((\varepsilon, X)\) appartenant à \(] 0 ;+\infty\left[{ }^{2}\right.\) tel que \(\varepsilon \leqslant X\) :
\end{enumerate}

\[
\int_{\varepsilon}^{X} \frac{\mathrm{e}^{-a x}}{x} \mathrm{~d} x=\int_{a \varepsilon}^{a X} \frac{\mathrm{e}^{-y}}{y} \mathrm{~d} y \quad \text { et } \quad \int_{\varepsilon}^{X} \frac{\mathrm{e}^{-b x}}{x} \mathrm{~d} x=\int_{b \varepsilon}^{b X} \frac{\mathrm{e}^{-y}}{y} \mathrm{~d} y
\]

(À cet effet, on pourra utiliser des changements de variable.)\\
b. En déduire, pour tout \((\varepsilon, X)\) appartenant à \(] 0 ;+\infty\left[{ }^{2}\right.\) tel que \(\varepsilon \leqslant X\) :

\[
\int_{\varepsilon}^{X} \frac{\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e}^{-b x}}{x} \mathrm{~d} x=\int_{a \varepsilon}^{b \varepsilon} \frac{\mathrm{e}^{-y}}{y} \mathrm{~d} y-\int_{a X}^{b X} \frac{\mathrm{e}^{-y}}{y} \mathrm{~d} y .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item a. Montrer que l'application \(h:\left[0 ;+\infty\left[\longrightarrow \mathbb{R}, y \longmapsto h(y)=\left\{\begin{array}{cll}\frac{1-\mathrm{e}^{-y}}{y} & \text { si } & y \neq 0 \\ 1 & \text { si } & y=0\end{array}\right.\right.\right.\) est continue sur \([0 ;+\infty[\).\\
b. En déduire : \(\int_{a \varepsilon}^{b \varepsilon} \frac{\mathrm{e}^{-y}}{y} \mathrm{~d} y \underset{\varepsilon \longrightarrow 0}{\longrightarrow} \ln \frac{b}{a}\).\\
c. Établir, pour tout \(X\) de \(] 0 ;+\infty\left[: \quad \int_{0}^{X} \frac{\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e}^{-b x}}{x} \mathrm{~d} x=\ln \frac{b}{a}-\int_{a X}^{b X} \frac{\mathrm{e}^{-y}}{y} \mathrm{~d} y\right.\).\\
d. En déduire : \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e}^{-b x}}{x} \mathrm{~d} x=\ln \frac{b}{a}\).
\end{enumerate}

\section*{Partie II - Étude d'un produit scalaire}
On note \(E\) l'ensemble des applications \(f:\left[0 ;+\infty\left[\longrightarrow \mathbb{R}\right.\right.\), bornées, de classe \(C^{1}\), telles que \(f(0)=0\).

\begin{enumerate}
  \item Démontrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel réel des applications de \([0 ;+\infty[\) dans \(\mathbb{R}\).
  \item On considère les applications \(f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}\) définies, pour tout \(x \in[0 ;+\infty[\), par :
\end{enumerate}

\[
f_{1}(x)=\sin x, \quad f_{2}(x)=\cos x, \quad f_{3}(x)=\mathrm{e}^{x}-1, \quad f_{4}(x)=1-\mathrm{e}^{-x}
\]

Pour chacune de ces applications, indiquer, en le justifiant, si elle est ou non un élément de \(E\).\\
3. a. Montrer, pour tout \(f \in E: \frac{f(x)}{x} \underset{x \longrightarrow 0}{\longrightarrow} f^{\prime}(0)\).\\
b. Montrer que, pour tout \((f, g) \in E^{2}\), l'intégrale impropre \(\int_{0}^{+\infty} \frac{f(x) g(x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x\) converge.

On note (.|.): \(E^{2} \longrightarrow \mathbb{R},(f, g) \longmapsto(f \mid g)=\int_{0}^{+\infty} \frac{f(x) g(x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x\).\\
4. Établir que (.|.) est un produit scalaire sur \(E\).\\
5. Démontrer, pour tout \((f, g) \in E^{2}:(f \mid g)=\int_{0}^{+\infty} \frac{f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x)}{x} \mathrm{~d} x\).\\
(À cet effet, on pourra commencer par effectuer une intégration par parties sur un segment.)\\
6. On note, pour tout \(\alpha \in] 0 ;+\infty\left[, u_{\alpha}:[0 ;+\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\right.\), définie, pour tout \(x \in[0 ;+\infty[\), par :

\[
u_{\alpha}(x)=1-\mathrm{e}^{-\alpha x}
\]

a. Vérifier : \(\forall \alpha \in] 0 ;+\infty\left[, \quad u_{\alpha} \in E\right.\).\\
b. Calculer, pour tout \((\alpha, \beta) \in] 0 ;+\infty\left[{ }^{2}\right.\), le produit scalaire \(\left(u_{\alpha} \mid u_{\beta}\right)\).\\
(À cet effet, on pourra utiliser les résultats de II. 5 et I.3.d.)\\
c. Établir, pour tout \((\alpha, \beta) \in] 0 ;+\infty\left[{ }^{2}:\left(u_{\alpha} \mid u_{\beta}\right)>0\right.\).

\section*{Partie III - Étude de densités de variables aléatoires}
On note \(c\) un réel strictement positif.\\
On considère l'application \(v: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout réel \(x\), par :

\[
v(x)=\left\{\begin{array}{cc}
0 & \text { si } x \leqslant 0 \\
\frac{\mathrm{e}^{-c^{2} x}-\mathrm{e}^{-4 c^{2} x}}{x \ln 4} & \text { si } x>0
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(v\) est une densité d'une variable aléatoire réelle.
\end{enumerate}

Soit \(X\) une variable aléatoire réelle, à valeurs positives ou nulles, admettant \(v\) comme densité.\\
2. Montrer que \(X\) admet une espérance et calculer \(\mathrm{E}(X)\) en fonction de \(c\).\\
3. On note \(Y\) la variable aléatoire réelle définie par : \(Y=\sqrt{X}\).\\
a. Montrer que \(Y\) est une variable aléatoire réelle à densité et calculer une densité de \(Y\).\\
b. Montrer que la variable aléatoire réelle \(Y\) admet une espérance et une variance, et déterminer \(\mathrm{E}(Y)\) et \(\mathrm{V}(Y)\) en fonction de \(c\).

\section*{PROBLÈME 2}
\section*{Notations et définitions}
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 2 .

\begin{itemize}
  \item La matrice identité de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) est notée \(\mathrm{I}_{n}\) et la matrice nulle de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) est notée \(0_{n}\).
  \item Soit \(M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). On dit que \(M\) est nilpotente s'il existe un entier naturel non nul \(p\) tel que \(M^{p}=0_{n}\).
  \item Soient \(M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) et \(\lambda\) une valeur propre réelle de \(M\). On note \(\operatorname{SEP}(M, \lambda)\) le sous-espace propre de \(M\) associé à \(\lambda\).
  \item On dit qu'une matrice \(S\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) est symétrique positive lorsqu'elle est symétrique et vérifie :
\end{itemize}

\[
\forall X \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R}), \quad{ }^{t} X S X \geqslant 0
\]

\begin{itemize}
  \item Soient \(A, R \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). On dit que \(R\) est une racine carrée de \(A\) lorsqu'elle vérifie \(R^{2}=A\).
\end{itemize}

Le but de ce problème est d'étudier la notion de racine carrée d'une matrice dans quelques cas particuliers.

\section*{Partie I - Deux exemples}
\begin{enumerate}
  \item Soient \(\theta \in \mathbb{R}\) et \(R_{\theta}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta\end{array}\right)\).
\end{enumerate}

Calculer \(\left(R_{\theta}\right)^{2}\) et en déduire que la matrice \(\mathrm{I}_{2}\) admet une infinité de racines carrées.\\
2. Montrer que la matrice \(\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)\) n'admet pas de racine carrée.

\section*{Partie II - Racines carrées d'une matrice de la forme \(\mathrm{I}_{n}+N\) avec \(N\) nilpotente}
\begin{enumerate}
  \item Donner le développement limité à l'ordre 3 , au voisinage de 0 , de \(t \longmapsto \sqrt{1+t}\).
\end{enumerate}

On note \(\sqrt{1+t}=a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+a_{3} t^{3}+\underset{t \rightarrow 0}{o}\left(t^{3}\right)\) ce développement limité.\\
2. Montrer qu'il existe un polynôme \(Q\) de \(\mathbb{R}[\mathrm{X}]\) tel que :

\[
1+\mathrm{X}=\left(a_{0}+a_{1} \mathrm{X}+a_{2} \mathrm{X}^{2}+a_{3} \mathrm{X}^{3}\right)^{2}+\mathrm{X}^{4} Q(\mathrm{X})
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Soit \(N \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) vérifiant \(N^{4}=0_{n}\). Déduire de la question précédente une racine carrée de \(\mathrm{I}_{n}+N\).
\end{enumerate}

\section*{Partie III - Racines carrées d'une matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) admettant \(n\) valeurs propres strictement positives et deux à deux distinctes}
\begin{enumerate}
  \item Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de \(\mathbb{R}^{n}\) vérifiant \(f \circ g=g \circ f\). On suppose de plus que \(f\) admet \(n\) valeurs propres réelles deux à deux distinctes.\\
a. Montrer que chaque sous-espace propre de \(f\) est stable par \(g\).\\
b. En déduire que tout vecteur propre de \(f\) est vecteur propre de \(g\).\\
c. Justifier que \(f\) est diagonalisable.
\end{enumerate}

Montrer que, pour toute base \(\mathcal{B}\) de \(\mathbb{R}^{n}\) constituée de vecteurs propres de \(f\), la matrice associée à \(g\) relativement à la base \(\mathcal{B}\) est diagonale. En déduire que \(g\) est diagonalisable.\\
2. Soit \(A\) une matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) admettant \(n\) valeurs propres réelles strictement positives et deux à deux distinctes.\\
a. Justifier l'existence d'une matrice inversible \(P\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) telle que la matrice \(D=P^{-1} A P\) soit diagonale.\\
b. Donner un exemple de racine carrée de \(A\). (On l'exprimera à l'aide de \(P\) et des éléments diagonaux de \(D\).)\\
c. Soit \(R\) une racine carrée de \(A\). Vérifier que \(A R=R A\).

En déduire que la matrice \(P^{-1} R P\) est diagonale.\\
d. Établir que \(A\) admet exactement \(2^{n}\) racines carrées.

\section*{Partie IV - Racine carrée symétrique positive d'une matrice symétrique positive de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\)}
Soit \(S\) une matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) symétrique positive.

\begin{enumerate}
  \item Montrer que toutes les valeurs propres de \(S\) sont positives ou nulles.
  \item Justifier l'existence d'une matrice orthogonale \(P\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) telle que la matrice \(D=P^{-1} S P\) soit diagonale.
  \item Déterminer une racine carrée de \(S\) qui soit symétrique positive. (On l'exprimera à l'aide de \(P\) et des éléments diagonaux de \(D\).)
  \item On veut montrer que \(S\) admet une unique racine carrée symétrique positive.
\end{enumerate}

Soit \(R\) une matrice symétrique positive telle \(R^{2}=S\).\\
a. Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(R\). Montrer que \(\lambda^{2}\) est valeur propre de \(S\) et que les sous-espaces propres associés vérifient : \(\quad \operatorname{SEP}(R, \lambda) \subset \operatorname{SEP}\left(S, \lambda^{2}\right)\).\\
On note \(p\) le nombre de valeurs propres deux à deux distinctes de \(R\) et \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p}\) les \(p\) valeurs propres deux à deux distinctes de \(R\).\\
b. Justifier : \(\quad \bigoplus_{i=1}^{p} \operatorname{SEP}\left(R, \lambda_{i}\right) \subset \bigoplus_{i=1}^{p} \operatorname{SEP}\left(S, \lambda_{i}^{2}\right)\).\\
c. En déduire : \(\quad n=\sum_{i=1}^{p} \operatorname{dim}\left(\operatorname{SEP}\left(R, \lambda_{i}\right)\right) \leqslant \sum_{i=1}^{p} \operatorname{dim}\left(\operatorname{SEP}\left(S, \lambda_{i}^{2}\right)\right) \leqslant n\).\\
d. Montrer que \(\lambda_{1}^{2}, \ldots, \lambda_{p}^{2}\) sont les seules valeurs propres de \(S\) et que\\
\(\forall i \in\{1, \ldots, p\}, \quad \operatorname{SEP}\left(R, \lambda_{i}\right)=\operatorname{SEP}\left(S, \lambda_{i}^{2}\right)\).\\
e. Montrer que la matrice \(P^{-1} R P\) est diagonale.\\
f. En déduire que \(S\) admet une unique racine carrée symétrique positive.


\end{document}