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\title{Concepteur : EMLYON Business School }

\author{Lundi 3 mai 2010 de 8 heures à 12 heures}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{\(1^{\text {ère }}\) épreuve (option scientifique) MATHÉMATIQUES }
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{PROBLÈME 1}
\section*{Définitions et notations}
\begin{itemize}
  \item \(p\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3 .
  \item On note \(\mathbf{M}_{p}(\mathbb{C})\) l'ensemble des matrices carrées d'ordre \(p\) à coefficients complexes, \(\mathbf{M}_{1, p}(\mathbb{R})\) l'ensemble des matrices-lignes à \(p\) colonnes à coefficients réels, \(\mathbf{M}_{p}(\mathbb{R})\) l'ensemble des matrices carrées d'ordre \(p\) à coefficients réels, \(\mathrm{I}_{p}\) la matrice diagonale de \(\mathbf{M}_{p}(\mathbb{C})\) et de \(\mathbf{M}_{p}(\mathbb{R})\) dont les coefficients diagonaux sont tous égaux à 1 .
  \item On note, pour toute matrice carrée \(A\) d'ordre \(p\) et tout \((i, j) \in\{1, \ldots, p\}^{2},(A)_{i, j}\) le coefficient de \(A\) situé à la ligne \(i\) et à la colonne \(j\).
  \item On note, pour toute matrice-ligne \(L\) de \(\mathbf{M}_{1, p}(\mathbb{R})\) et tout \(j \in\{1, \ldots, p\},(L)_{j}\) le coefficient de \(L\) situé à la colonne \(j\).
  \item On dit qu'une suite \(\left(A_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) de matrices de \(\mathbf{M}_{p}(\mathbb{R})\) converge vers une matrice \(A\) de \(\mathbf{M}_{p}(\mathbb{R})\), et on note \(A_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow} A\), si et seulement si : \(\forall(i, j) \in\{1, \ldots, p\}^{2}, \quad\left(A_{n}\right)_{i, j} \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow}(A)_{i, j}\).
  \item On dit qu'une suite \(\left(L_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) de matrices de \(\mathbf{M}_{1, p}(\mathbb{R})\) converge vers une matrice \(L\) de \(\mathbf{M}_{1, p}(\mathbb{R})\), et on note \(L_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow} L\), si et seulement si : \(\forall j \in\{1, \ldots, p\}, \quad\left(L_{n}\right)_{j} \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow}(L)_{j}\).
  \item On admet que, si la suite \(\left(A_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) de matrices de \(\mathbf{M}_{p}(\mathbb{R})\) converge vers la matrice \(A\) et si la suite \(\left(B_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) de matrices de \(\mathbf{M}_{p}(\mathbb{R})\) converge vers la matrice \(B\), alors la suite \(\left(A_{n} B_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) de matrices converge vers la matrice \(A B\).
  \item On admet que si la suite \(\left(A_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) de matrices de \(\mathbf{M}_{p}(\mathbb{R})\) converge vers la matrice \(A\) et si \(L\) est une matrice-ligne de \(\mathbf{M}_{1, p}(\mathbb{R})\), alors la suite \(\left(L A_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) de matrices converge vers la matrice \(L A\).
  \item On appelle matrice stochastique toute matrice \(A\) de \(\mathbf{M}_{p}(\mathbb{R})\) telle que : \(\left\{\begin{array}{l}\forall(i, j) \in\{1, \ldots, p\}^{2}, \quad(A)_{i, j} \geqslant 0 \\ \forall i \in\{1, \ldots, p\}, \sum_{j=1}^{p}(A)_{i, j}=1,\end{array}\right.\) et on note \(\mathcal{S} \mathcal{T}_{p}\) l'ensemble des matrices stochastiques de \(\mathbf{M}_{p}(\mathbb{R})\).
\end{itemize}

\section*{Partie I : Résultats généraux sur les matrices stochastiques - Illustrations}
\begin{enumerate}
  \item a. On note \(V\) la matrice-colonne à \(p\) lignes dont tous les coefficients sont égaux à 1 .
\end{enumerate}

Montrer, pour toute \(A \in \mathbf{M}_{p}(\mathbb{R}): A \in \mathcal{S} \mathcal{T}_{p} \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\forall(i, j) \in\{1, \ldots, p\}^{2}, \quad(A)_{i, j} \geqslant 0 \\ A V=V .\end{array}\right.\)\\
b. En déduire que toutes les matrices de \(\mathcal{S} \mathcal{T}_{p}\) ont une valeur propre commune.\\
2. Démontrer : \(\forall A, B \in \mathcal{S} \mathcal{T}_{p}, A B \in \mathcal{S} \mathcal{T}_{p}\).\\
3. On note : \(A_{1}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1 / 2 & 1 / 2 & 0 \\ 1 / 3 & 1 / 3 & 1 / 3\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ 0 & 1 / 2 & 1 / 2\end{array}\right), A_{3}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1 / 2 & 1 / 2 & 0 \\ 0 & 1 / 2 & 1 / 2\end{array}\right)\).\\
a. Justifier, sans calcul, que \(A_{1}\) est diagonalisable dans \(\mathbf{M}_{3}(\mathbb{R})\). Donner la dimension du sous-espace propre pour \(A_{1}\) associé à la valeur propre 1.\\
b. En utilisant éventuellement les matrices \(A_{2}\) et \(A_{3}\) :\\
(i) Montrer qu'il existe dans \(\mathcal{S T}_{3}\) au moins un élément non diagonalisable dans \(\mathbf{M}_{3}(\mathbb{C})\);\\
(ii) Justifier si l'affirmation suivante est vraie ou fausse : « Pour tout élément \(A\) de \(\mathcal{S} \mathcal{T}_{3}\), le sous-espace propre pour \(A\) associé à la valeur propre 1 est de dimension 1 ».\\
4. Soient \(A \in S \mathcal{T}_{p}\) et \(\lambda\) une valeur propre de \(A\) dans \(\mathbb{C}\).

On note \(X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{p}\end{array}\right)\) un vecteur propre pour \(A\) associé à la valeur propre \(\lambda\).\\
On note \(i\) un élément de \(\{1, \ldots, p\}\) tel que : \(\forall k \in\{1, \ldots, p\},\left|x_{k}\right| \leqslant\left|x_{i}\right|\).\\
a. Montrer : \(\left|\lambda x_{i}\right| \leqslant\left|x_{i}\right|\).\\
b. En déduire : \(|\lambda| \leqslant 1\).

\section*{Partie II : Suites de moyennes de puissances de matrices stochastiques}
Soit \(A \in \mathcal{S} \mathcal{T}_{p}\). On note \(A^{0}=\mathrm{I}_{p}\).

\begin{enumerate}
  \item a. Établir : \(\forall n \in \mathbb{N}, A^{n} \in \mathcal{S} \mathcal{T}_{p}\).\\
b. Montrer : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} A^{k} \in \mathcal{S} \mathcal{T}_{p}\).
\end{enumerate}

Dans la suite de cette partie II, on suppose qu'il existe \(r \in\{1, \ldots, p-1\}, P \in \mathbf{M}_{p}(\mathbb{R})\) inversible, \(D \in \mathbf{M}_{p}(\mathbb{R})\) diagonale dont les coefficients diagonaux \((D)_{i, i}\) sont égaux à 1 si \(i \leqslant r\) et distincts de 1 si \(i \geqslant r+1\), tels que : \(A=P D P^{-1}\).\\
On note, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}: M_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} D^{k}\) et \(B_{n}=P M_{n} P^{-1}\).

On note \(\Delta\) la matrice de \(\mathbf{M}_{p}(\mathbb{R})\) diagonale dont les coefficients diagonaux ( \(\left.\Delta\right)_{i, i}\) sont égaux à 1 si \(i \leqslant r\) et nuls sinon, et on note \(B=P \Delta P^{-1}\).\\
2. Démontrer, pour tout \(x \in \mathbb{R}\) fixé tel que \(|x| \leqslant 1: \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} x^{k} \underset{n \longrightarrow+\infty}{\longrightarrow}\left\{\begin{array}{lll}1 & \text { si } & x=1 \\ 0 & \text { si } & x \neq 1\end{array}\right.\).\\
3. Montrer : \(M_{n} \xrightarrow[n \longrightarrow+\infty]{ } \Delta\) et en déduire : \(B_{n} \xrightarrow[n \longrightarrow+\infty]{ } B\).\\
4. a. Montrer : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, B_{n} \in \mathcal{S} \mathcal{T}_{p}\).\\
b. En déduire : \(B \in \mathcal{S} \mathcal{T}_{p}\).

\section*{Partie III : Aspect probabiliste}
On dispose d'un objet noté \(T\) et de trois urnes numérotées 1 , 2 et 3 .\\
À chaque instant \(n(n \in \mathbb{N}), T\) est dans une des trois urnes et une seule.\\
On note, pour tout \(n \in \mathbb{N}, X_{n}\) la variable aléatoire égale au numéro de l'urne dans laquelle se trouve l'objet à l'instant \(n\) et \(L_{n}\) la matrice suivante de \(\mathbf{M}_{1,3}(\mathbb{R}): L_{n}=\left(\mathrm{P}\left(X_{n}=1\right) \mathrm{P}\left(X_{n}=2\right) \mathrm{P}\left(X_{n}=3\right)\right)\).\\
On suppose connues la loi de \(X_{0}\) et la matrice \(A\) de \(\mathbf{M}_{3}(\mathbb{R})\) définie par :

\[
\forall(i, j) \in\{1,2,3\}^{2}, \quad(A)_{i, j}=\mathrm{P}_{\left(X_{0}=i\right)}\left(X_{1}=j\right)
\]

On suppose: \(\forall n \in \mathbb{N}, \forall(i, j) \in\{1,2,3\}^{2}, \quad \mathrm{P}_{\left(X_{n}=i\right)}\left(X_{n+1}=j\right)=\mathrm{P}_{\left(X_{0}=i\right)}\left(X_{1}=j\right)\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer : \(A \in \mathcal{S} \mathcal{T}_{3}\).
  \item Montrer : \(\forall n \in \mathbb{N}, L_{n+1}=L_{n} A\) puis : \(\forall n \in \mathbb{N}, L_{n}=L_{0} A^{n}\).
\end{enumerate}

On suppose dorénavant \(A=A_{1}\), définie dans la partie I.3, et on note \(D_{1}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 / 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 / 3\end{array}\right)\).\\
3. Déterminer une matrice \(P_{1} \in \mathrm{M}_{3}(\mathbb{R})\), inversible et à coefficients diagonaux tous égaux à 1 , telle que \(A_{1}=P_{1} D_{1} P_{1}^{-1}\) et calculer \(P_{1}^{-1}\).\\
4. Déterminer la limite de la suite \(\left(D_{1}^{n}\right)_{n} \geqslant 1\), puis la limite de la suite \(\left(A_{1}^{n}\right)_{n \geqslant 1}\).\\
5. Déterminer la limite de la suite \(\left(L_{n}\right)_{n \geqslant 1}\). Expliquer ce résultat par des arguments probabilistes.

\section*{PROBLÈME 2}
Dans tout le problème, \(J\) désigne l'intervalle ] \(-1 ;+\infty[\).\\
Le but du problème est l'étude de l'application \(f\) définie, pour tout \(x\) de \(J\), par : \(f(x)=\int_{0}^{1} \frac{t^{x}}{1+t} \mathrm{~d} t\).

\section*{Préliminaires}
\begin{enumerate}
  \item Justifier la convergence des séries numériques suivantes :
\end{enumerate}

\[
\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n^{2}}, \quad \sum_{k \geqslant 0} \frac{1}{(2 k+1)^{2}}, \quad \sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item En admettant que \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\), montrer : \(\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2 k+1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}\).
  \item En déduire : \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}=-\frac{\pi^{2}}{12}\).
\end{enumerate}

\section*{Partie I : Éléments d'étude de \(f\)}
\begin{enumerate}
  \item Justifier, pour tout \(x \in J\), la convergence de l'intégrale \(\int_{0}^{1} \frac{t^{x}}{1+t} \mathrm{~d} t\).
  \item Calculer \(f(0)\) et \(f(1)\).
  \item Montrer : \(\forall x \in J, 0 \leqslant f(x) \leqslant \frac{1}{x+1}\), et en déduire : \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0\).
  \item a. Montrer : \(\left.\left.\forall(x, y) \in J^{2}, \forall t \in\right] 0 ; 1\right],\left(x \leqslant y \Longrightarrow t^{x} \geqslant t^{y}\right)\).\\
b. En déduire que \(f\) est décroissante sur \(J\).
  \item Montrer : \(\forall x \in J, f(x)+f(x+1)=\frac{1}{x+1}\).
  \item Déduire des résultats précédents : \(f(x) \underset{x \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{1}{2 x}\).
  \item Soit \(x \in J\).\\
a. Montrer : \(\forall n \in \mathbb{N}, f(x)=(-1)^{n+1} f(n+1+x)+\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k+1+x}\).\\
b. En déduire que la série numérique \(\sum_{k \geqslant 0} \frac{(-1)^{k}}{k+1+x}\) converge et que \(f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{k}}{k+1+x}\).
  \item a. Montrer : \(\forall(x, y) \in J^{2}, \forall k \in \mathbb{N}^{*},\left|\frac{1}{k+1+x}-\frac{1}{k+1+y}\right| \leqslant|x-y| \frac{1}{k^{2}}\), puis : \(\forall(x, y) \in J^{2},|f(x)-f(y)| \leqslant|x-y|\left(\frac{1}{(x+1)(y+1)}+\frac{\pi^{2}}{6}\right)\).\\
b. En déduire que \(f\) est continue sur \(J\).
  \item Montrer : \(f(x) \underset{x \rightarrow-1}{\sim} \frac{1}{x+1}\). En déduire la limite de \(f\) en -1 .
\end{enumerate}

\section*{Partie II : Dérivabilité de \(f\)}
On note, pour tout \(k \in \mathbb{N}, g_{k}\) l'application de classe \(C^{2}\) de \(J\) dans \(\mathbb{R}\) définie pour tout \(x\) de \(J\) par :

\[
g_{k}(x)=\frac{(-1)^{k}}{k+1+x}
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer : \(\forall(x, y) \in J^{2}, \quad \forall k \in \mathbb{N}^{*}, \quad\left|g_{k}(x)-g_{k}(y)-(x-y) g_{k}^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{|x-y|^{2}}{k^{3}}\).
  \item a. Justifier la convergence des séries \(\sum_{k \geqslant 1} \frac{1}{k^{3}}\) et \(\sum_{k \geqslant 0} g_{k}^{\prime}(x)\), pour tout \(x \in J\).\\
b. En déduire que \(f\) est dérivable sur \(J\) et que : \(\forall x \in J, \quad f^{\prime}(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(k+1+x)^{2}}\).\\
c. Déterminer \(f^{\prime}(0)\).
  \item Tracer l'allure de la courbe représentative de \(f\). On donne la valeur approchée : \(\ln 2 \approx 0,69\).
\end{enumerate}

\end{document}