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\title{D Code épreuve : 295 \\
 BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{Concepteur : EMLYON Business School}
\(1^{\text {ère }}\) épreuve (option scientifique)

\section*{MATHÉMATIQUES}
Lundi 30 avril 2012 de 8 heures à 12 heures\\
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
lls ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{PROBLÈME 1}
Dans tout le problème, \(n\) est un entier tel que \(n \geqslant 2\).\\
On confond polynôme de \(\mathbb{R}[\mathrm{X}]\) et fonction polynomiale sur \(\mathbb{R}\) ou sur \([0 ;+\infty[\) ou sur \(] 0 ;+\infty[\).\\
On note \(\mathbb{R}_{n-1}[\mathrm{X}]\) le sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}[\mathrm{X}]\) formé des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n-1\).

\section*{Partie I: Interpolation polynomiale}
Soient \(a_{1}, \ldots, a_{n}\) des réels deux à deux distincts. On note

\[
\varphi: \mathbb{R}_{n-1}[\mathrm{X}] \longrightarrow \mathbb{R}^{n}, \quad P \longmapsto \varphi(P)=\left(P\left(a_{1}\right), \ldots, P\left(a_{n}\right)\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(\varphi\) est un isomorphisme.
  \item En déduire que, pour tout \(\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}\), il existe \(P \in \mathbb{R}_{n-1}[\mathrm{X}]\) unique tel que :
\end{enumerate}

\[
\forall i \in\{1, \ldots, n\}, \quad P\left(a_{i}\right)=b_{i} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Exemple :
\end{enumerate}

Déterminer le polynôme \(P_{0}\) de \(\mathbb{R}_{3}[\mathrm{X}]\) tel que :

\[
P_{0}(0)=1, \quad P_{0}(1)=3, \quad P_{0}(2)=11, \quad P_{0}(3)=31 .
\]

\section*{Partie II : Polynômes spéciaux}
On considère l'ensemble \(E\) des polynômes \(P\) de \(\mathbb{R}[\mathrm{X}]\) tels que :

\[
\forall x \in] 0 ;+\infty\left[, \quad\left(P(x)>0 \text { et } P^{\prime}(x)>0\right) .\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Donner un exemple d'élément de \(E\).
  \item Montrer que \(E\) est stable par multiplication par un réel strictement positif, par addition et par multiplication, c'est-à-dire que, pour tout \(\alpha \in] 0 ;+\infty[\) et tous \(P, Q \in E\), on a :
\end{enumerate}

\[
\alpha P \in E, \quad P+Q \in E, \quad P Q \in E .
\]

Est-ce que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}[\mathrm{X}]\) ?\\
3. Soit \(P \in E\). On note \(P_{1}: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto \int_{0}^{x} P(t) \mathrm{d} t\).

Montrer : \(P_{1} \in E\).\\
4. Soit \(P \in E\). Montrer : \(\forall x \in[0 ;+\infty[, \quad P(x) \geqslant P(0)\).

Pour tout \(P \in E\), on note \(\widetilde{P}:[0 ;+\infty[\longrightarrow[P(0) ;+\infty[, x \longmapsto \widetilde{P}(x)=P(x)\).\\
5. Montrer que l'application \(\widetilde{P}\) est bijective.\\
6. Si, de plus, \(P\) est de degré au moins 2 , est-ce que l'application réciproque \(\widetilde{P}^{-1}\) de \(\widetilde{P}\) est une application polynomiale?

\section*{Partie III : Matrices symétriques positives}
On note \(\mathbf{S}_{n}^{+}\)l'ensemble des matrices symétriques \(A\) de \(\mathbf{M}_{n}(\mathbb{R})\) telles que :

\[
\forall U \in \mathbf{M}_{n, 1}(\mathbb{R}), \quad{ }^{\mathrm{t}} U A U \geqslant 0 .
\]

Soit \(A\) une matrice symétrique de \(\mathbf{M}_{n}(\mathbb{R})\).

\begin{enumerate}
  \item La matrice \(A\) est-elle diagonalisable dans \(\mathrm{M}_{n}(\mathbb{R})\) ? Justifier.
  \item a. Montrer que si \(A\) est dans \(\mathbf{S}_{n}^{+}\), alors toutes les valeurs propres de \(A\) sont dans \([0 ;+\infty[\).\\
b. Réciproquement, montrer que si toutes les valeurs propres de \(A\) sont dans \([0 ;+\infty[\), alors \(A\) est dans \(\mathbf{S}_{n}^{+}\).
\end{enumerate}

\section*{Partie IV: Matrice symétrique positive solution d'une équation polynomiale spéciale}
Soit \(P \in E\) de degré \(n-1\) (l'ensemble \(E\) a été défini dans la partie II), et soit \(A \in \mathbf{S}_{n}^{+}\)admettant \(n\) valeurs propres deux à deux distinctes, notées \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\), appartenant toutes à \([P(0) ;+\infty[\).\\
On note \(D\) la matrice diagonale de \(\mathbf{M}_{n}(\mathbb{R})\) dont les termes diagonaux sont successivement \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\), et \(Q\) une matrice inversible de \(\mathbf{M}_{n}(\mathbb{R})\) telle que \(A=Q D Q^{-1}\).\\
On se propose de résoudre l'équation \(P(S)=A\), d'inconnue \(S \in \mathbf{S}_{n}^{+}\).

\begin{enumerate}
  \item On suppose que l'équation \(P(S)=A\) a une solution dans \(\mathbf{S}_{n}^{+}\).
\end{enumerate}

Soit \(S\) appartenant à \(\mathbf{S}_{n}^{+}\)telle que \(P(S)=A\). On note \(\Delta=Q^{-1} S Q\).\\
a. Montrer que \(S A=A S\) et en déduire que \(\Delta D=D \Delta\).\\
b. Démontrer que \(\Delta\) est diagonale et que les éléments diagonaux de \(\Delta\) sont tous positifs ou nuls.\\
2. Établir que l'équation \(P(S)=A\), d'inconnue \(S \in \mathbf{S}_{n}^{+}\), admet une solution et une seule, et que celleci est \(Q \Delta Q^{-1}\), où \(\Delta\) est une matrice diagonale que l'on exprimera à l'aide de \(\widetilde{P}^{-1}\left(\lambda_{1}\right), \ldots, \widetilde{P}^{-1}\left(\lambda_{n}\right)\), où \(\widetilde{P}\) a été définie dans la partie II.\\
3. Exemple:

On prend ici \(n=4, \quad P=\mathrm{X}^{3}+\mathrm{X}+1\) et \(A=\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 21 & 10 \\ 0 & 0 & 10 & 21\end{array}\right)\).\\
a. Vérifier \(P \in E\).\\
b. Déterminer les valeurs propres de \(A\) et montrer : \(A \in \mathbf{S}_{4}^{+}\).\\
c. Déterminer une matrice diagonale \(D\) et une matrice orthogonale \(Q\) telles que \(A=Q D Q^{-1}\).\\
d. Résoudre l'équation \(P(S)=A\), d'inconnue \(S \in \mathrm{~S}_{4}^{+}\).

\section*{PROBLÈME 2}
\section*{Partie I: Formule de Stirling}
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on définit \(W_{n}=\int_{0}^{\pi / 2}(\cos t)^{n} \mathrm{~d} t\).

\begin{enumerate}
  \item Calculer \(W_{0}\) et \(W_{1}\).
  \item a. Montrer que la suite \(\left(W_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est décroissante.\\
b. Montrer, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 0: \quad W_{n}>0\).
  \item a. Montrer, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 0: \quad(n+2) W_{n+2}=(n+1) W_{n}\).\\
b. En déduire, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 0:(n+1) W_{n+1} W_{n}=W_{1} W_{0}\).
  \item a. Montrer, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 0: W_{n} \geqslant W_{n+1} \geqslant \frac{n+1}{n+2} W_{n}\).\\
b. En déduire : \(\quad W_{n+1} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} W_{n}\), puis : \(\quad W_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \sqrt{\frac{\pi}{2 n}}\).
  \item Montrer, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 0: W_{2 n}=\frac{(2 n)!}{2^{2 n}(n!)^{2}} \frac{\pi}{2}\).
\end{enumerate}

On note, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 1: \quad A_{n}=\frac{1}{n!} n^{n} \mathrm{e}^{-n} \sqrt{n}\).\\
On note, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 2: \quad a_{n}=-1-\left(n-\frac{1}{2}\right) \ln \left(1-\frac{1}{n}\right)\).\\
6. Montrer que la série \(\sum_{n \geqslant 2} a_{n}\) converge.\\
7. Montrer, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 2: a_{n}=\ln \left(A_{n}\right)-\ln \left(A_{n-1}\right)\).\\
8. En déduire que la suite \(\left(A_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge et que sa limite \(\ell\) est strictement positive.\\
9. a. Justifier : \(n!\underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{1}{\ell} n^{n} \mathrm{e}^{-n} \sqrt{n}\).\\
b. En utilisant l'expression de \(W_{2 n}\) à l'aide de factorielles, en déduire la valeur de \(\ell\) et l'équivalent suivant :

\[
n!\underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} n^{n} \mathrm{e}^{-n} \sqrt{2 \pi n}
\]

\section*{Partie II : Étude de variables aléatoires}
Soit un réel \(a\) strictement positif et la fonction \(f_{a}: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout réel \(x\), par :

\[
\begin{cases}f_{a}(x)=0 & \text { si } x \leqslant 0 \\ f_{a}(x)=\frac{x}{a^{2}} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2 a^{2}}} & \text { si } x>0\end{cases}
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(f_{a}\) est une densité.
\end{enumerate}

On considère une variable aléatoire \(X\) admettant \(f_{a}\) comme densité.\\
2. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(X\).\\
3. Montrer que la variable aléatoire \(X\) admet une espérance \(\mathrm{E}(X)\) et calculer \(\mathrm{E}(X)\).\\
4. Montrer que la variable aléatoire \(X\) admet une variance \(\mathrm{V}(X)\) et calculer \(\mathrm{V}(X)\).\\
5. a. On considère une variable aléatoire \(V\) suivant la loi uniforme sur l'intervalle \(] 0 ; 1]\). Montrer que la variable aléatoire \(Z=a \sqrt{-2 \ln (V)}\) suit la même loi que la variable aléatoire \(X\).\\
b. En déduire un programme en langage Pascal, utilisant le générateur aléatoire Pascal, simulant la variable aléatoire \(X\), le réel \(a\) strictement positif étant entré par l'utilisateur.

Pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 2\), on considère une urne \(\mathrm{U}_{n}\) contenant \(n\) boules numérotées de 1 à \(n\). On effectue, dans \(\mathrm{U}_{n}\), des tirages d'une boule avec remise. On suppose que tous les tirages dans \(\mathrm{U}_{n}\) sont équiprobables. On s'arrête dès que l'on obtient une boule déjà obtenue.

On note \(T_{n}\) la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.\\
6. Justifier : \(\mathrm{P}\left(T_{n}>n+1\right)=0\).\\
7. Déterminer, pour tout entier \(k\) tel que \(k \leqslant n: \quad \mathrm{P}\left(T_{n}>k\right)\).

On considère la variable aléatoire \(Y_{n}=\frac{T_{n}}{\sqrt{n}}\). On se propose d'étudier la convergence en loi de la suite de variables aléatoires \(\left(Y_{n}\right)_{n \geqslant 2}\).

Soit \(y \in\left[0 ;+\infty\left[\right.\right.\). On note \(k_{n}\) l'entier naturel égal à la partie entière de \(y \sqrt{n}\).\\
On a donc : \(\quad k_{n} \leqslant y \sqrt{n}<1+k_{n}\).\\
8. Justifier : \(\mathrm{P}\left(Y_{n}>y\right)=\mathrm{P}\left(T_{n}>k_{n}\right)\).\\
9. En utilisant I 9.b., montrer : \(\mathrm{P}\left(Y_{n}>y\right) \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \mathrm{e}^{-k_{n}}\left(1-\frac{k_{n}}{n}\right)^{k_{n}-n}\).\\
10. a. Déterminer le développement limité d'ordre 2 de \(t \longmapsto-t+(t-1) \ln (1-t)\) en 0 .\\
b. En déduire : \(\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(-k_{n}+\left(k_{n}-n\right) \ln \left(1-\frac{k_{n}}{n}\right)\right)=-\frac{y^{2}}{2}\).\\
11. Montrer que la suite de variables aléatoires \(\left(Y_{n}\right)_{n \geqslant 2}\) converge en loi vers une variable aléatoire à densité dont on précisera une densité.


\end{document}