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\begin{document}
\section*{Conception : EMLYON Business School}
\section*{\(1^{\text {ère }}\) épreuve (option scientifique)}
\section*{MATHÉMATIQUES}
Mardi 28 avril 2015 de 8 heures à 12 heures\\
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{PROBLÈME 1}
Dans tout le problème, on confond polynôme et application polynomiale de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).\\
On note, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}, \mathbb{R}_{k}[\mathrm{X}]\) le sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}[\mathrm{X}]\) formé des polynômes de degré inférieur ou égal à \(k\).

On définit l'ensemble \(E=\left\{P \in \mathbb{R}_{4}[\mathrm{X}] ; P(0)=P(4)=0\right\}\) et le polynôme \(W=\mathrm{X}(\mathrm{X}-4)\).

\section*{Partie I: Étude d'endomorphismes}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel \(\mathbb{R}_{4}[\mathrm{X}]\).
\end{enumerate}

Pour tout polynôme \(Q\) de \(\mathbb{R}_{2}[\mathrm{X}]\), on note \(\phi(Q)=W Q\).\\
2. Montrer que l'application \(\phi: Q \longmapsto W Q\) est un isomorphisme de \(\mathbb{R}_{2}[\mathrm{X}]\) sur \(E\).\\
3. En déduire une base de \(E\) et la dimension de \(E\).

Pour tout polynôme \(Q\) de \(\mathbb{R}_{2}[\mathrm{X}]\), on considère le polynôme \(\Delta(Q)\) défini par :

\[
\Delta(Q)=Q(\mathrm{X}+1)-Q(\mathrm{X}) .
\]

Ainsi, par exemple, si \(Q=\mathrm{X}^{2}-3 \mathrm{X}+5\), alors

\[
\Delta(Q)=\left((\mathrm{X}+1)^{2}-3(\mathrm{X}+1)+5\right)-\left(\mathrm{X}^{2}-3 \mathrm{X}+5\right)=2 \mathrm{X}-2 .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item a. Montrer que l'application \(\Delta\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_{2}[\mathrm{X}]\).\\
b. Déterminer, pour tout polynôme \(Q\) de \(\mathbb{R}_{2}[\mathrm{X}]\), le degré de \(\Delta(Q)\) en fonction du degré de \(Q\).\\
c. Déterminer le noyau et l'image de △ .\\
d. Établir : \(\Delta \circ \Delta \circ \Delta=0\).
\end{enumerate}

On définit l'endomorphisme \(f\) de \(E\) suivant : \(\quad f=\phi \circ \Delta \circ \phi^{-1}, \quad\) où \(\phi^{-1}\) désigne l'application réciproque de l'application \(\phi\).\\
5. a. Montrer : \(\quad f \circ f \circ f=0\).\\
b. Déterminer une base du noyau de \(f\) et une base de l'image de \(f\).\\
c. Démontrer que \(f\) admet une valeur propre et une seule et déterminer celle-ci. Donner une base et la dimension du sous-espace propre pour \(f\) associé à cette valeur propre.\\
d. Est-ce que \(f\) est diagonalisable ?

\section*{PARTIE II : Étude d'un produit scalaire}
On considère l'application \(\langle\cdot, \cdot\rangle\) de \(\mathbb{R}_{4}[\mathrm{X}] \times \mathbb{R}_{4}[\mathrm{X}]\) dans \(\mathbb{R}\) définie par :

\[
\forall\left(P_{1}, P_{2}\right) \in \mathbb{R}_{4}[\mathrm{X}] \times \mathbb{R}_{4}[\mathrm{X}], \quad\left\langle P_{1}, P_{2}\right\rangle=\sum_{k=0}^{4} P_{1}(k) P_{2}(k)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Montrer que \(\langle\cdot, \cdot\rangle\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}_{4}[\mathrm{X}]\).
\end{enumerate}

On munit dorénavant \(\mathbb{R}_{4}[X]\) de ce produit scalaire \(\langle\cdot, \cdot\rangle\) et de la norme associée \(\|\).\(\| .\)\\
On considère les trois polynômes suivants :

\[
L_{1}=(\mathrm{X}-2)(\mathrm{X}-3), \quad L_{2}=(\mathrm{X}-1)(\mathrm{X}-3), \quad L_{3}=(\mathrm{X}-1)(\mathrm{X}-2) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item Montrer que la famille ( \(L_{1}, L_{2}, L_{3}\) ) est une base de \(\mathbb{R}_{2}[\mathrm{X}]\).
  \item a. Exprimer, pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}_{2}[\mathrm{X}]\), les coordonnées de \(P\) dans la base ( \(L_{1}, L_{2}, L_{3}\) ) en fonction de \(P(1), P(2), P(3)\).\\
b. Exprimer \(\Delta\left(L_{1}\right), \Delta\left(L_{2}\right), \Delta\left(L_{3}\right)\) sur la base \(\left(L_{1}, L_{2}, L_{3}\right)\) de \(\mathbb{R}_{2}[\mathrm{X}]\) et en déduire que la matrice de l'endomorphisme \(\Delta\) dans la base \(\left(L_{1}, L_{2}, L_{3}\right)\) de \(\mathbb{R}_{2}[\mathrm{X}]\) est \(\left(\begin{array}{ccc}-1 & -1 / 2 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \\ 1 & 3 / 2 & 2\end{array}\right)\).\\
On note, pour tout \(i\) de \(\{1,2,3\}, \quad M_{i}=W L_{i}\).
  \item a. Montrer que, pour tout \(i\) de \(\{1,2,3\}, M_{i}(i)\) est non nul.
\end{enumerate}

On note alors, pour tout \(i\) de \(\{1,2,3\}, \quad N_{i}=\frac{1}{M_{i}(i)} M_{i}\).\\
b. Montrer que ( \(N_{1}, N_{2}, N_{3}\) ) est une base orthonormée du sous-espace vectoriel \(E\) de \(\mathbb{R}_{4}[X]\).\\
10. Déterminer la matrice de l'application linéaire \(\phi\) dans les bases ( \(L_{1}, L_{2}, L_{3}\) ) de \(\mathbb{R}_{2}[\mathrm{X}]\) et \(\left(N_{1}, N_{2}, N_{3}\right)\) de \(E\).\\
11. Déterminer la matrice de l'endomorphisme \(f\) dans la base ( \(N_{1}, N_{2}, N_{3}\) ) de \(E\).\\
12. On note, pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}_{4}[\mathrm{X}]: \quad u(P)=\sum_{i=1}^{3} P(i) N_{i}\).\\
a. Montrer que \(u\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_{4}[\mathrm{X}]\).\\
b. Montrer : \(\quad \forall P \in \mathbb{R}_{4}[\mathrm{X}], \quad \forall j \in\{1,2,3\}, \quad\left\langle P-u(P), N_{j}\right\rangle=0\).\\
c. En déduire que \(u\) est la projection orthogonale sur \(E\).\\
d. Déterminer le projeté orthogonal de \(Q=\mathrm{X}^{2}(\mathrm{X}-2)(\mathrm{X}-3)\) sur \(E\).

\section*{PROBLÈME 2}
Dans tout le problème, on note \(E\) l'ensemble des fonctions \(u: \mathbb{R}^{+} \longrightarrow \mathbb{R}\) continues sur \(\mathbb{R}^{+}\)vérifiant :

\[
\text { il existe } p \in \mathbb{N} \text { tel que : } \quad \lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{u(t)}{t^{p}}=0 \text {. }
\]

On remarquera que l'entier \(p\) dépend a priori de la fonction \(u\) considérée.

\section*{Partie I: Définition de la transformée de Laplace}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel du \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel des fonctions définies sur \(\mathbb{R}^{+}\)et à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
  \item Soit \(u\) un élément de \(E\).
\end{enumerate}

Montrer, pour tout \(x \in] 0 ;+\infty\left[: \quad \lim _{t \rightarrow+\infty} t^{2} u(t) \mathrm{e}^{-x t}=0\right.\).\\
En déduire que, pour tout \(x \in] 0 ;+\infty\left[\right.\), l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} u(t) \mathrm{e}^{-x t} \mathrm{~d} t\) est convergente.\\
Dans toute la suite du problème, pour tout élément \(u\) de \(E\), on définit la fonction \(L(u)\) sur \(] 0 ;+\infty[\) par :

\[
\forall x \in] 0 ;+\infty\left[, \quad L(u)(x)=\int_{0}^{+\infty} u(t) \mathrm{e}^{-x t} \mathrm{~d} t\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Montrer, pour tout \(\alpha \in \mathbb{R}\) et pour tout \((u, v) \in E^{2}: \quad L(\alpha u+v)=\alpha L(u)+L(v)\).
\end{enumerate}

\section*{Partie II : Quelques exemples}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Soit \(a \in \mathbb{R}^{+*}\) fixé. On considère, pour tout \(i\) de \(\{0,1,2\}\), la fonction \(v_{i}: \mathbb{R}^{+} \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par :
\end{enumerate}

\[
\forall t \in \mathbb{R}^{+}, \quad v_{i}(t)=t^{i} \mathrm{e}^{-a t}
\]

Pour tout \(i\) de \(\{0,1,2\}\), montrer que la fonction \(v_{i}\) appartient à \(E\) et, en utilisant par exemple des résultats sur la loi exponentielle, calculer, pour tout \(x \in] 0 ;+\infty\left[, L\left(v_{i}\right)(x)\right.\).\\
5. Soit \(n \in \mathbb{N}\) fixé. On considère la fonction \(w_{n}: \mathbb{R}^{+} \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par : \(\quad \forall t \in \mathbb{R}^{+}, \quad w_{n}(t)=t^{n}\).

Montrer que la fonction \(w_{n}\) appartient à \(E\) et montrer, pour tout \(\left.x \in\right] 0 ;+\infty\left[: \quad L\left(w_{n}\right)(x)=\frac{n!}{x^{n+1}}\right.\).

\section*{Partie III : Propriétés des transformées de Laplace}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Limite de \(L(u)\) en \(+\infty\)
\end{enumerate}

Soit \(u\) un élément de \(E\). Justifier qu'il existe \(p \in \mathbb{N}\) et \(A, M \in \mathbb{R}^{+}\)tels que :

\[
\forall t \in\left[A ;+\infty\left[, \quad|u(t)| \leqslant t^{p} \quad \text { et } \quad \forall t \in[0 ; A], \quad|u(t)| \leqslant M .\right.\right.
\]

Établir : \(\quad \forall t \in \mathbb{R}^{+},|u(t)| \leqslant M+t^{p}\). En déduire : \(\quad \lim _{x \rightarrow+\infty} L(u)(x)=0\).\\
7. Limite de \(L(u)\) en 0

Soit \(u\) un élément de \(E\) tel que l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} u(s) \mathrm{d} s\) converge.\\
On note, pour tout \(t\) de \(\mathbb{R}^{+}, R(t)=\int_{t}^{+\infty} u(s) \mathrm{d} s\).\\
a. Déterminer la limite en \(+\infty\) de \(R\). Montrer que \(R\) appartient à \(E\).\\
b. Montrer que \(R\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}^{+}\)et : \(\quad \forall t \in \mathbb{R}^{+}, \quad R^{\prime}(t)=-u(t)\).\\
c. En déduire : \(\forall x \in] 0 ;+\infty[, L(u)(x)=R(0)-x L(R)(x)\).\\
d. Soit \(\varepsilon \in] 0 ;+\infty\) [. Justifier qu'il existe \(B \in\left[0 ;+\infty\left[\right.\right.\) tel que : \(\quad \forall t \in\left[B ;+\infty\left[, \quad|R(t)| \leqslant \frac{\varepsilon}{2}\right.\right.\). En déduire : \(\quad \forall x \in] 0 ;+\infty\left[, \quad|L(u)(x)-R(0)| \leqslant x \int_{0}^{B}|R(t)| \mathrm{d} t+\frac{\varepsilon}{2}\right.\).\\
e. Conclure : \(\lim _{x \rightarrow 0} L(u)(x)=\int_{0}^{+\infty} u(t) \mathrm{d} t\).

\section*{8. Transformée de Laplace d'une dérivée}
Soit \(u: \mathbb{R}^{+} \longrightarrow \mathbb{R}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}^{+}\)telle que \(u^{\prime} \in E\).\\
a. Montrer qu'il existe \(p \in \mathbb{N}\) et \(A \in\left[0 ;+\infty\left[\right.\right.\) tels que : \(\quad \forall t \in\left[A ;+\infty\left[, \quad|u(t)| \leqslant|u(A)|+\frac{t^{p+1}}{p+1}\right.\right.\).\\
b. En déduire que \(u\) appartient à \(E\).\\
c. Établir : \(\forall x \in] 0 ;+\infty\left[, \quad L\left(u^{\prime}\right)(x)=-u(0)+x L(u)(x)\right.\).

\section*{9. Dérivée puis dérivée \(n\)-ième d'une transformée de Laplace}
Soit \(u\) un élément de \(E\). On considère, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), la fonction \(u_{n}: \mathbb{R}^{+} \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par :

\[
\forall t \in \mathbb{R}^{+}, \quad u_{n}(t)=t^{n} u(t)
\]

a. Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), la fonction \(u_{n}\) appartient à \(E\).\\
b. Montrer : \(\forall a \in \mathbb{R},\left|\mathrm{e}^{a}-1-a\right| \leqslant \frac{a^{2}}{2} \mathrm{e}^{|a|}\).\\
c. Soient \(x \in] 0 ;+\infty\left[\right.\) et \(h \in \mathbb{R}^{*}\) tel que \(|h| \leqslant \frac{x}{2}\).

Montrer : \(\quad \forall t \in\left[0 ;+\infty\left[, \quad\left|\frac{\mathrm{e}^{-(x+h) t}-\mathrm{e}^{-x t}}{h}+t \mathrm{e}^{-x t}\right| \leqslant|h| \frac{t^{2}}{2} \mathrm{e}^{-x t / 2}\right.\right.\).\\
En déduire : \(\quad\left|\frac{L(u)(x+h)-L(u)(x)}{h}+L\left(u_{1}\right)(x)\right| \leqslant \frac{|h|}{2} \int_{0}^{+\infty} t^{2}|u(t)| \mathrm{e}^{-x t / 2} \mathrm{~d} t\).\\
d. Montrer que \(L(u)\) est dérivable sur \(] 0 ;+\infty\left[\right.\) et exprimer \((L(u))^{\prime}\) à l'aide de \(L\left(u_{1}\right)\).\\
e. Montrer que \(L(u)\) est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(] 0 ;+\infty\left[\right.\) et exprimer, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*},(L(u))^{(n)}\) à l'aide de \(L\left(u_{n}\right)\).

\section*{Partie IV: Application à la résolution d'une équation fonctionnelle}
Dans cette partie, on cherche à déterminer une fonction \(u: \mathbb{R}^{+} \longrightarrow \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{+}\)vérifiant :

\[
\forall t \in \mathbb{R}^{+}, \quad u^{\prime \prime}(t)+5 u^{\prime}(t)+6 u(t)=\mathrm{e}^{-t} \quad \text { et } \quad u(0)=1 \quad \text { et } \quad u^{\prime}(0)=-2 .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{9}
  \item On suppose qu'il existe une fonction \(u: \mathbb{R}^{+} \longrightarrow \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{+}\), solution du problème et telle que \(u^{\prime \prime} \in E\).\\
a. Montrer que \(u\) appartient à \(E\) et : \(\quad \forall x \in] 0 ;+\infty\left[, \quad L\left(u^{\prime \prime}\right)(x)=-x u(0)-u^{\prime}(0)+x^{2} L(u)(x)\right.\).\\
b. En déduire: \(\quad \forall x \in] 0 ;+\infty\left[, \quad\left(x^{2}+5 x+6\right) L(u)(x)=\frac{1}{x+1}+3+x\right.\), puis : \(\quad \forall x \in] 0 ;+\infty\left[, \quad L(u)(x)=\frac{1}{2} \frac{1}{x+1}+\frac{1}{2} \frac{1}{x+3}\right.\).
  \item En déduire une fonction \(u: \mathbb{R}^{+} \longrightarrow \mathbb{R}\) solution du problème posé.
\end{enumerate}

\section*{- FIN -}

\end{document}