\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{bbold}

\title{Conception : EMLYON Business School }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{1 ère épreuve (OPTION SCIENTIFIQUE)}
\section*{MATHÉMATIQUES}
mardi 26 avril 2016, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{PROBLEME 1}
\section*{PARTIE I: Étude d'un exemple}
On considère, dans cette partie, les matrices de \(\mathbf{M}_{3}(\mathbb{R}): A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 0 & 0 \\ -5 & 9 & 0 \\ -5 & 5 & 4\end{array}\right)\) et \(I_{3}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\).

\begin{enumerate}
  \item Trouver, en fonction de \(I_{3}\) et de \(A\), deux matrices \(P_{1}\) et \(P_{2}\) de \(\mathbf{M}_{3}(\mathbb{R})\) telles que :
\end{enumerate}

\[
P_{1}+P_{2}=I_{3} \quad \text { et } \quad 4 P_{1}+9 P_{2}=A .
\]

Expliciter ensuite les coefficients de \(P_{1}\) et ceux de \(P_{2}\).\\
2. a. Calculer les matrices \(P_{1}^{2}, P_{1} P_{2}, P_{2} P_{1}\) et \(P_{2}^{2}\).\\
b. En déduire: \(\quad \forall k \in \mathbb{N}, A^{k}=4^{k} P_{1}+9^{k} P_{2}\).\\
3. Trouver au moins une matrice \(B\) de \(\mathbf{M}_{3}(\mathbb{R})\), dont on explicitera les coefficients, telle que \(B^{2}=A\).\\
4. Quelles sont les valeurs propres de \(A\) ?

Dans toute la suite du problème, \(E\) désigne un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie supérieure ou égale à 1 et \(f\) un endomorphisme de \(E\).\\
On note \(e\) l'endomorphisme identité de \(E\) qui, à chaque élément de \(E\), associe lui-même, et \(\widetilde{0}\) l'endomorphisme nul de \(E\) qui, à chaque élément de \(E\), associe l'élément nul de \(E\).\\
On suppose qu'il existe un entier \(m\) de \(\mathbb{N}^{*}\), des réels \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}\) deux à deux distincts et des endomorphismes \(p_{1}, \ldots, p_{m}\) de \(E\) tous différents de \(\widetilde{0}\), tels que : \(\quad \forall k \in \llbracket 0 ; m \rrbracket, f^{k}=\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i}^{k} p_{i}\).

Enfin, on considère les polynômes :

\[
N=\prod_{\ell=1}^{m}\left(\mathrm{X}-\lambda_{\ell}\right), \quad \text { et pour tout } i \text { de } \llbracket 1 ; m \rrbracket, \quad M_{i}=\prod_{\substack{1 \leqslant \ell \leqslant m \\ \ell \neq i}}\left(\mathrm{X}-\lambda_{\ell}\right) \quad \text { et } \quad L_{i}=\frac{1}{M_{i}\left(\lambda_{i}\right)} M_{i}
\]

On admet que, pour tous polynômes \(P\) et \(Q\) de \(\mathbb{R}[X]: \quad(P \times Q)(f)=P(f) \circ Q(f)\).\\
PARTIE II : Étude des puissances de \(f\)\\
5. Montrer, pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}_{m}[\mathrm{X}]: \quad P(f)=\sum_{i=1}^{m} P\left(\lambda_{i}\right) p_{i}\).\\
6. En déduire : \(\quad N(f)=\widetilde{0}\).\\
7. a. Montrer que, pour tout couple \((i, j)\) de \(\llbracket 1 ; m \rrbracket^{2}, L_{i}\left(\lambda_{j}\right)\) est égal à 1 sì \(i=j\) et égal à 0 si \(i \neq j\).\\
b. En déduire, pour tout \(i\) de \(\llbracket 1 ; m \rrbracket: \quad L_{i}(f)=p_{i}\).\\
8. a. Montrer : \(e=\sum_{i=1}^{m} p_{i}\).\\
b. En déduire que \(E\) est la somme des \(m\) sous-espaces vectoriels \(\operatorname{Im}\left(p_{1}\right), \ldots, \operatorname{Im}\left(p_{m}\right)\).\\
9. Soit \(i\) appartenant à \(\llbracket 1 ; m \rrbracket\).\\
a. Vérifier : \(N=M_{i}\left(\lambda_{i}\right)\left(\mathrm{X}-\lambda_{i}\right) L_{i}\).\\
b. En déduire, en utilisant le résultat de la question 6. : \(\quad \operatorname{Im}\left(p_{i}\right) \subset \operatorname{Ker}\left(f-\lambda_{i} e\right)\).\\
10. Déduire des questions précédentes que \(f\) est diagonalisable, que les valeurs propres de \(f\) sont les réels \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}\) et que, pour tout \(i\) de \(\llbracket 1 ; m \rrbracket\), le sous-espace propre de \(f\) associé à la valeur propre \(\lambda_{i}\) est \(\operatorname{Im}\left(p_{i}\right)\).\\
11. a. Montrer, pour tout couple \((i, j)\) de \(\llbracket 1 ; m \rrbracket^{2}\) tel \(i \neq j: \quad p_{i} \circ p_{j}=\widetilde{0}\).\\
b. En déduire, en utilisant le résultat de la question 8.a., pour tout \(i\) de \(\llbracket 1 ; m \rrbracket: \quad p_{i} \circ p_{i}=p_{i}\).\\
c. Établir, pour tout \(i\) de \(\llbracket 1 ; m \rrbracket\) : \(\quad p_{i} \circ f=\lambda_{i} p_{i}\).\\
12. Montrer : \(\forall k \in \mathbb{N}, f^{k}=\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i}^{k} p_{i}, \quad\) puis, pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}[\mathrm{X}]: \quad P(f)=\sum_{i=1}^{m} P\left(\lambda_{i}\right) p_{i}\).

\section*{PARTIE III : Intervention de produits scalaires}
On munit le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) d'un produit scalaire \(\langle.,\).\(\rangle .\)\\
On considère l'application \(\varphi\) de \(E \times E\) dans \(\mathbb{R}\) définie, pour tout \((x, y) \in E \times E\), par :

\[
\varphi(x, y)=\sum_{i=1}^{m}\left\langle p_{i}(x), p_{i}(y)\right\rangle
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{12}
  \item Montrer que \(\varphi\) est un produit scalaire sur \(E\).
\end{enumerate}

On remarquera qu'ainsi \(E\) est muni de deux produits scalaires, \(\langle.,\).\(\rangle et \varphi\).\\
14. Montrer que \(f\) est un endomorphisme symétrique de \(E\) pour le produit scalaire \(\varphi\). Quel résultat de la partie II peut-on alors retrouver sans calcul?\\
15. Démontrer que, pour tout \(i\) de \(\llbracket 1 ; m \rrbracket, p_{i}\) est le projecteur orthogonal sur \(\operatorname{Im}\left(p_{i}\right)\) pour le produit scalaire \(\varphi\).

\section*{PROBLEME 2}
PARTIE I : Étude d'une fonction définie par la somme d'une série\\
On s'intéresse dans cette partie, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\), à la série \(\sum_{n \in \mathbb{N}^{*}} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{x}}\).

\begin{enumerate}
  \item Justifier que, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}^{-}\), la série \(\sum_{n \in \mathbb{N}^{*}} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{x}}\) diverge.
  \item Soit \(x \in \mathbb{R}^{+*}\). On note, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}, u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k^{x}}\).\\
a. Montrer que les suites \(\left(u_{2 p}\right)_{p \in \mathbb{N}^{*}}\) et \(\left(u_{2 p-1}\right)_{p \in \mathbb{N}^{*}}\) sont adjacentes, puis en déduire qu'elles convergent vers une même limite notée \(S(x)\).\\
b. En déduire: \(\quad \forall \varepsilon>0, \exists n_{0} \in \mathbb{N}^{*} / \forall n \geqslant n_{0},\left|u_{n}-S(x)\right| \leqslant \varepsilon\).\\
c. Justifier alors que la série \(\sum_{n \in \mathbb{N}^{*}} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{x}}\) converge et que l'on a : \(\quad S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{x}}\).\\
d. Justifier : \(\forall p \in \mathbb{N}^{*}, u_{2 p} \leqslant S(x) \leqslant u_{2 p+1} \leqslant u_{2 p-1}\).\\
e. En déduire: \(\forall n \in \mathbb{N}^{*},\left|S(x)-u_{n}\right| \leqslant \frac{1}{(n+1)^{x}}\).
\end{enumerate}

On pourra séparer les cas \(n\) pair et \(n\) impair.\\
f. En déduire une fonction en Scilab qui, étant donnés deux réels \(x>0\) et \(\varepsilon>0\), renvoie une valeur approchée de \(S(x)\) à \(\varepsilon\) près.\\
3. Soient \(x \in \mathbb{R}^{+*}\) et \(p \in \mathbb{N}^{*}\). Montrer :

\[
\sum_{k=1}^{2 p} \frac{(-1)^{k+1}}{k^{x}}=\sum_{k=1}^{p} \frac{1}{(2 k-1)^{x}}-\frac{1}{2^{x}} \sum_{k=1}^{p} \frac{1}{k^{x}} \quad \text { puis }: \quad \sum_{k=1}^{2 p} \frac{(-1)^{k+1}}{k^{x}}=\sum_{k=1}^{2 p} \frac{1}{k^{x}}-\frac{1}{2^{x-1}} \sum_{k=1}^{p} \frac{1}{k^{x}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}, \quad v_{n}=\sum_{k=1}^{2 n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\).\\
a. Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Montrer, en utilisant la question 3. : \(\quad v_{n}=\sum_{k=n+1}^{2 n} \frac{1}{k}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}}\).\\
b. En déduire la convergence et la limite de la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\), puis la valeur de \(S(1)\).
  \item On admet que \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\). Déterminer la valeur de \(S(2)\).
\end{enumerate}

PARTIE II : Étude d'une fonction définie par une intégrale\\
On rappelle que la fonction \(\Gamma\) est définie sur \(] 0 ;+\infty[\) par : \(\quad \forall x \in] 0 ;+\infty\left[, \quad \Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty} t^{x-1} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t\right.\).\\
On rappelle également l'égalité suivante : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad \Gamma(n)=(n-1)\) !.\\
6. Soit \(x \in \mathbb{R}\). Montrer que l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} \frac{t^{x}}{1+\mathrm{e}^{t}} \mathrm{~d} t\) converge si et seulement si \(x>-1\).

On pose, pour tout réel \(x\) de \(]-1 ;+\infty\left[, I(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{t^{x}}{1+\mathrm{e}^{t}} \mathrm{~d} t\right.\).\\
7. Soit \(x \in]-1 ;+\infty\left[\right.\). On définit la fonction \(\left.g_{x}:\right] 0 ;+\infty\left[\longrightarrow \mathbb{R}, t \longmapsto \frac{t^{x}}{1+\mathrm{e}^{t}}\right.\).\\
a. Montrer : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall t \in \mathbb{R}^{+*}, \quad g_{x}(t)=(-1)^{n} g_{x}(t) \mathrm{e}^{-n t}+\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1} t^{x} \mathrm{e}^{-k t}\).\\
b. Justifier, pour tout \(k \in \mathbb{N}^{*}\), que l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} t^{x} \mathrm{e}^{-k t} \mathrm{~d} t\) converge et que l'on a:

\[
\int_{0}^{+\infty} t^{x} \mathrm{e}^{-k t} \mathrm{~d} t=\frac{1}{k^{x+1}} \Gamma(x+1)
\]

c. Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} g_{x}(t) \mathrm{e}^{-n t} \mathrm{~d} t\) converge, puis que la limite de \(\int_{0}^{+\infty} g_{x}(t) \mathrm{e}^{-n t} \mathrm{~d} t, \quad\) lorsque l'entier \(n\) tend vers \(+\infty\), est égale à 0.\\
d. En déduire la relation : \(\quad I(x)=S(x+1) \Gamma(x+1)\), où la fonction \(S\) a été définie dans la partie \(\mathbf{I}\).\\
8. En utilisant la partie I., déterminer la valeur de \(I(1)\).

\section*{PARTIE III : Étude d'une variable aléatoire}
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(\quad \forall t \in \mathbb{R}, \quad f(t)=\frac{\mathrm{e}^{t}}{\left(1+\mathrm{e}^{t}\right)^{2}}\).\\
9. Vérifier que la fonction \(f\) est paire.\\
10. Montrer que \(f\) est une densité d'une variable aléatoire réelle.

On considère une variable aléatoire réelle \(X\) à densité, de densité \(f\).\\
11. Déterminer la fonction de répartition de \(X\).\\
12. a. Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Montrer que l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} t^{n} f(t) \mathrm{d} t\) converge.

En déduire que \(X\) admet un moment d'ordre \(n\), que l'on note \(m_{n}(X)\).\\
b. Justifier : \(\forall p \in \mathbb{N}, m_{2 p+1}(X)=0\).\\
c. A l'aide d'une intégration par parties, montrer : \(\quad \forall p \in \mathbb{N}^{*}, \quad m_{2 p}(X)=4 p I(2 p-1)\).\\
13. En déduire l'existence et la valeur de l'espérance et de la variance de \(X\).\\
14. On considère une suite de variables aléatoires réelles \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) mutuellement indépendantes et de même densité \(f\).\\
On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}: \quad Y_{n}=\max \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) \quad\) et \(\quad Z_{n}=Y_{n}-\ln (n)\).\\
a. Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), déterminer la fonction de répartition de \(Y_{n}\) puis la fonction de répartition de \(Z_{n}\).\\
b. En déduire que la suite \(\left(Z_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge en loi vers une variable aléatoire réelle à densité dont on précisera une densité.


\end{document}