\documentclass[10pt]{article}
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\title{Conception : emlyon business school }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{OPTION SCIENTIFIQUE}
\section*{MATHÉMATIQUES}
Mercredi 4 Mai 2022, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{PROBLĖME 1}
\section*{Notations et rappels}
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 2 .\\
On note \(\mathfrak{B}=\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^{n}\).\\
L'espace vectoriel \(\mathbb{R}^{n}\) est muni du produit scalaire canonique, noté \(\langle\cdot, \cdot\rangle\), défini par :

\[
\text { pour tous } x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \text { et } y=\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right) \text { de } \mathbb{R}^{n}, \quad\langle x, y\rangle=\sum_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}
\]

On confond les ensembles \(\mathcal{M}_{1}(\mathbb{R})\) et \(\mathbb{R}\). Ainsi, pour tous \(x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\) et \(y=\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)\) de \(\mathbb{R}^{n}\), on a, en notant \(X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)\) et \(Y=\left(\begin{array}{c}y_{1} \\ \vdots \\ y_{n}\end{array}\right): \quad\langle x, y\rangle={ }^{\mathrm{t}} X Y\).\\
Pour tous réels \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\), on note \(\operatorname{Diag}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right)\) la matrice diagonale de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) dont les coefficients diagonaux sont égaux à \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\).\\
Enfin, on rappelle qu'une matrice \(P\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) est orthogonale lorsque \(P\) est inversible et que \(P^{-1}={ }^{\mathrm{t}} P\).

\section*{PARTIE A: Mise en place d'un exemple}
On considère les matrices \(A\) et \(B\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) suivantes:

\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1
\end{array}\right) \quad \text { et } \quad B={ }^{\mathrm{t}} A A
\]

\begin{enumerate}
  \item a. La matrice \(A\) est-elle inversible? Déterminer le rang de \(A\).\\
b. Calculer les matrices \(A^{2}\) et \(A^{3}\) et vérifier : \(A^{3}-A^{2}+A=0\).\\
c. En déduire les valeurs propres réelles de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable dans \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) ?
  \item a. Justifier que la matrice \(B\) est diagonalisable.\\
b. On pose : \(\quad R=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{ccc}-1 & \sqrt{3} & \sqrt{2} \\ 1 & \sqrt{3} & -\sqrt{2} \\ 2 & 0 & \sqrt{2}\end{array}\right)\).\\
i. Vérifier que la matrice \(R\) est orthogonale.\\
ii. Montrer que la matrice \({ }^{\mathrm{t}} R B R\) est diagonale.
\end{enumerate}

Dans toute la suite du problème, \(M\) désigne une matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) et on pose \(r=\operatorname{rg}(M)\).\\
On note \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{n}\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}\) est la matrice \(M\).

\section*{PARTIE B : Valeurs singulières d'une matrice}
On note \(g\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{n}\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}\) est la matrice \({ }^{\mathrm{t}} M\) et \(h=g \circ f\).\\
3. Montrer : \(\quad \forall x, y \in \mathbb{R}^{n}, \quad\langle x, g(y)\rangle=\langle f(x), y\rangle \quad\) et \(\quad \forall x \in \mathbb{R}^{n}, \quad\langle x, h(x)\rangle=\|f(x)\|^{2}\).\\
4. a. Soit \(x\) appartenant à \(\operatorname{Ker}(h)\). En calculant \(\langle x, h(x)\rangle\), montrer que \(x\) appartient à \(\operatorname{Ker}(f)\).\\
b. En déduire: \(\quad \operatorname{Ker}(h)=\operatorname{Ker}(f) \quad\) puis \(\quad \operatorname{rg}(h)=r\).\\
5. a. Justifier que l'endomorphisme \(h\) est diagonalisable et qu'il existe une base orthonormée \(\mathfrak{B}_{1}=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots, \varepsilon_{n}\right)\) de \(\mathbb{R}^{n}\) constituée de vecteurs propres de \(h\).\\
b. Montrer que les valeurs propres de \(h\) sont positives ou nulles.

On note \(P\) la matrice de passage de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{B}_{1}\).\\
6. Justifier que la matrice \(P\) est orthogonale et montrer qu'il existe des réels \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}\) positifs ou nuls tels que: \(\quad{ }^{\mathrm{t}} M M=P D^{\mathrm{t}} P\) avec \(D=\operatorname{Diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}\right)\).

Les réels \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}\) étant positifs ou nuls, on pose, pour tout \(i\) de \(\llbracket 1 ; n \rrbracket, \sigma_{i}=\sqrt{\lambda_{i}}\).\\
Les réels \(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \ldots, \sigma_{n}\) sont appelés les valeurs singulières de la matrice \(M\).\\
7. Dans cette question uniquement, on suppose que la matrice \(M\) est symétrique.

Déterminer, dans ce cas, les valeurs singulières de \(M\) en fonction de ses valeurs propres.\\
8. Justifier que la matrice \(D\) admet exactement \(r\) coefficients diagonaux non nuls.

Dans toute la suite, on suppose que les réels \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r}\) sont non nuls et donc que les réels \(\lambda_{r+1}, \ldots, \lambda_{n}\) sont nuls.\\
9. a. Pour tout \(i\) de \(\llbracket 1 ; r \rrbracket\), justifier que \(f\left(\varepsilon_{i}\right)\) est non nul et calculer \(\left\|f\left(\varepsilon_{i}\right)\right\|\).\\
b. On pose, pour tout \(i\) de \(\llbracket 1 ; r \rrbracket, \quad u_{i}=\frac{1}{\left\|f\left(\varepsilon_{i}\right)\right\|} f\left(\varepsilon_{i}\right)\).

Montrer que la famille ( \(u_{1}, \ldots, u_{r}\) ) est une famille orthonormée.\\
c. En déduire qu'il existe une base orthonormée \(\mathcal{B}_{2}\) de \(\mathbb{R}^{n}\) telle que la matrice de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}_{1}\) (au départ) et la base \(\mathcal{B}_{2}\) (à l'arrivée) est :

\[
\operatorname{Diag}\left(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \ldots, \sigma_{n}\right)=\operatorname{Diag}\left(\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{r}, 0, \ldots, 0\right)
\]

On note \(Q\) la matrice de passage de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{B}_{2}\) et \(\Delta\) la matrice \(\operatorname{Diag}\left(\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{r}, 0, \ldots, 0\right)\).\\
10. Justifier que la matrice \(Q\) est orthogonale et, en calculant de deux façons différentes la matrice de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}\) (au départ) et la base \(\mathcal{B}_{2}\) (à l'arrivée), montrer : \(\quad M=Q \Delta^{\mathrm{t}} P\).

\section*{11. Retour sur l'exemple :}
Déterminer deux matrices orthogonales \(P_{1}\) et \(Q_{1}\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) et une matrice diagonale \(\Delta_{1}\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) telles que: \(\quad A=Q_{1} \Delta_{1}{ }^{\mathrm{t}} P_{1}\).

\section*{PARTIE C : Pseudo-inverse d'une matrice et application}
On reprend les notations de la partie \(B\).\\
Il existe donc deux matrices orthogonales \(P\) et \(Q\) de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) et des réels strictement positifs \(\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{r}\) tels que :

\[
M=Q \Delta{ }^{\mathrm{t}} P \quad \text { avec } \quad \Delta=\operatorname{Diag}\left(\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{r}, 0, \ldots, 0\right) .
\]

On définit la matrice \(M^{+}\)de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) par : \(\quad M^{+}=P \operatorname{Diag}\left(\frac{1}{\sigma_{1}}, \ldots, \frac{1}{\sigma_{r}}, 0, \ldots, 0\right){ }^{\mathrm{t}} Q\).\\
La matrice \(M^{+}\)est appelée la matrice pseudo-inverse de \(M\).\\
On note \(f^{+}\)l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{n}\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}\) est la matrice \(M^{+}\)et \(p=f \circ f^{+}\).\\
12. Justifier que, si \(M\) est inversible, alors \(M^{-1}=M^{+}\).\\
13. a. Simplifier le produit \(M M^{+}\).\\
b. Montrer que \(p\) est un projecteur orthogonal.\\
c. Montrer : \(\quad \operatorname{rg}\left(M M^{+}\right)=r \quad\) puis en déduire : \(\quad \operatorname{Im}(p)=\operatorname{Im}(f)\).\\
14. Application : Soit \(y \in \mathbb{R}^{n} \backslash \operatorname{Im}(f)\).

Il n'existe donc pas de vecteur \(x\) de \(\mathbb{R}^{n}\) tel que \(f(x)=y\).\\
On cherche alors à déterminer un vecteur \(x^{*}\) de \(\mathbb{R}^{n}\) tel que : \(\quad\left\|y-f\left(x^{*}\right)\right\|=\min _{x \in \mathbb{R}^{n}}\|y-f(x)\|\).\\
a. Justifier : \(\quad \forall x \in \mathbb{R}^{n},\|y-p(y)\| \leqslant\|y-f(x)\|\).\\
b. Proposer un vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\) répondant au problème posé.

Montrer que, lorsque \(r<n\), il existe au moins deux vecteurs distincts de \(\mathbb{R}^{n}\) répondant au problème posé.\\
15. Retour sur l'exemple: On note \(f_{1}\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) est la matrice \(A\) et on considère \(y=(1,1,1)\).\\
a. Déterminer \(\operatorname{Im}\left(f_{1}\right)\) et vérifier que \(y\) n'appartient pas à \(\operatorname{Im}\left(f_{1}\right)\).\\
b. Montrer: \(\forall x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3},\left\|y-f_{1}(x)\right\|^{2}=\left(x_{2}+x_{3}-1\right)^{2}+\left(x_{1}-x_{3}+1\right)^{2}+1\).\\
c. En déduire deux vecteurs distincts \(x^{*}\) et \(z^{*}\) de \(\mathbb{R}^{3}\) tels que :

\[
\left\|y-f_{1}\left(x^{*}\right)\right\|=\left\|y-f_{1}\left(z^{*}\right)\right\|=\min _{x \in \mathbb{R}^{3}}\left\|y-f_{1}(x)\right\| .
\]

\section*{PROBLÈME 2}
Ce problème est constitué de trois parties. Les parties \(B\) et \(C\) sont indépendantes l'une de l'autre mais utilisent certains résultats de la partie \(A\).

On rappelle que, pour tout \((k, n)\) de \(\mathbb{N}^{2}\) tel que \(k \leqslant n: \quad\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\).\\
Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), on note \(c_{n}\) le réel, appelé le nombre de Catalan d'ordre \(n\), défini par :

\[
c_{n}=\frac{1}{n+1}\binom{2 n}{n}
\]

\section*{PARTIE A : Quelques propriétés sur les nombres de Catalan}
\begin{enumerate}
  \item Calculer les réels \(c_{0}, c_{1}\) et \(c_{2}\).
  \item a. Montrer : \(\quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad c_{n}=\binom{2 n}{n}-\binom{2 n}{n+1}\).\\
b. En déduire que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}, c_{n}\) est un entier naturel non nul.
  \item Montrer : \(\quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad c_{n+1}=\frac{2(2 n+1)}{n+2} c_{n}\).
  \item Écrire une fonction Scilab d'en-tête function \(\mathrm{c}=\) catalan(n) qui, prenant en entrée un entier \(n\) de \(\mathbb{N}\), renvoie la valeur de \(c_{n}\).
  \item a. Montrer que la suite \(\left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est croissante.\\
b. À l'aide d'un raisonnement par l'absurde, montrer que la suite \(\left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) diverge vers \(+\infty\).
  \item a. Montrer : \(\quad \forall k \in \mathbb{N}^{*}, 4\left(\frac{k}{k+1}\right)^{3 / 2} \leqslant \frac{c_{k+1}}{c_{k}} \leqslant 4\left(\frac{k+1}{k+2}\right)^{3 / 2}\).\\
b. En déduire : \(\quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \frac{1}{4} \frac{4^{n}}{n \sqrt{n}} \leqslant c_{n} \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{4^{n}}{n \sqrt{n}}\).
  \item On note, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}: \quad S_{n}=\sum_{k=0}^{n} c_{k} c_{n-k} \quad\) et \(\quad T_{n}=\sum_{k=0}^{n} k c_{k} c_{n-k}\).\\
a. Montrer : \(\quad \forall n \in \mathbb{N}, T_{n}=\frac{n}{2} S_{n}\)\\
(on pourra effectuer le changement d'indice \(i=n-k\) dans la somme définissant \(T_{n}\) ).\\
b. Montrer à l'aide de l'égalité de la question 3. \(\forall n \in \mathbb{N}, T_{n+1}+S_{n+1}=c_{n+1}+4 T_{n}+2 S_{n}\).\\
c. En déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence : \(\quad \forall n \in \mathbb{N}, S_{n}=c_{n+1}\).
\end{enumerate}

On a donc montré : \(\quad \forall n \in \mathbb{N}, c_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} c_{k} c_{n-k}\).\\
8. a. Montrer que, pour tout \(x\) de \(\left[-\frac{1}{4} ; \frac{1}{4}\right]\), la série \(\sum_{n \geqslant 0} c_{n} x^{n}\) converge.

On pose, pour tout \(x\) de \(\left[-\frac{1}{4} ; \frac{1}{4}\right]: \quad f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} c_{n} x^{n} \quad\) et \(\quad g(x)=2 x f(x)\).\\
On admet que la fonction \(f\) est continue sur \(\left[-\frac{1}{4} ; \frac{1}{4}\right]\).\\
b. Soit \(x\) appartenant à \(\left[-\frac{1}{4} ; \frac{1}{4}\right]\).

En remarquant que, pour tout \(N\) de \(\mathbb{N},\left(\sum_{i=0}^{N} c_{i} x^{i}\right)\left(\sum_{j=0}^{N} c_{j} x^{j}\right)=\sum_{n=0}^{2 N}\left(\sum_{k=0}^{n} c_{k} c_{n-k}\right) x^{n}\), montrer : \(\quad(f(x))^{2}=\sum_{n=1}^{+\infty} c_{n} x^{n-1}\).\\
c. En déduire : \(\quad \forall x \in\left[-\frac{1}{4} ; \frac{1}{4}\right],(g(x))^{2}=2 g(x)-4 x\).\\
d. Montrer qu'il existe une fonction \(\varepsilon\) définie sur \(\left[-\frac{1}{4} ; \frac{1}{4}\right]\) et à valeurs dans \(\{-1 ; 1\}\) telle que :

\[
\forall x \in\left[-\frac{1}{4} ; \frac{1}{4}\right], \quad g(x)=1+\varepsilon(x) \sqrt{1-4 x}
\]

Montrer ensuite que la fonction \(\varepsilon\) est continue sur \(\left[-\frac{1}{4} ; \frac{1}{4}[\right.\).\\
e. En déduire : \(\quad \forall x \in\left[-\frac{1}{4} ; \frac{1}{4}\right], g(x)=1-\sqrt{1-4 x}\).

\section*{PARTIE B : Loi du demi-cercle}
On considère la fonction \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad \varphi(x)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{1}{2 \pi} \sqrt{4-x^{2}} & \text { si } x \in[-2 ; 2] \\
0 & \text { sinon }
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{8}
  \item a. Montrer : \(\quad \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\cos (t))^{2} \mathrm{~d} t=\frac{\pi}{2}\).\\
b. En déduire, à l'aide du changement de variable \(x=2 \sin (t)\), la valeur de \(\int_{-2}^{2} \varphi(x) \mathrm{d} x\).
  \item Montrer que \(\varphi\) est une densité d'une variable aléatoire réelle.
\end{enumerate}

On considère une variable aléatoire réelle \(X\) de densité \(\varphi\), définie sur un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P}\) ).\\
11. a. Justifier que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}, X\) admet un moment d'ordre \(n\) et que l'on a:

\[
\forall n \in \mathbb{N}, \quad \mathbf{E}\left(X^{2 n+1}\right)=0 \quad \text { et } \quad \mathbf{E}\left(X^{2 n}\right)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2} x^{2 n} \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{~d} x
\]

b. On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}: \quad u_{n}=\mathbf{E}\left(X^{2 n}\right)\).\\
i. Calculer \(u_{0}\).\\
ii. À l'aide d'une intégration par parties, montrer : \(\quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1}=\frac{2 n+1}{3}\left(4 u_{n}-u_{n+1}\right)\).\\
iii. En déduire : \(\quad \forall n \in \mathbb{N}, u_{n}=c_{n}\).

\section*{PARTIE C : Étude d'une expérience aléatoire}
Soit \(p\) un réel appartenant à \(] 0 ; 1[\).\\
On considère une pièce qui amène Pile avec la probabilité \(p\) et Face avec la probabilité \(1-p\) avec laquelle on effectue une succession de lancers indépendants.

On modélise cette expérience par un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P}\) ).\\
On définit la variable aléatoire \(T\) égale au nombre de lancers effectués lorsque, pour la première fois, on obtient le même nombre de Pile que de Face, et égale à 0 si un tel événement ne se réalise pas.

Par exemple, si on obtient successivement \(P-P-F-P-F-F-P-F-\cdots\) (où \(P\) désigne Pile et \(F\) désigne Face), alors la variable aléatoire \(T\) est égale à 6 .\\
12. a. Écrire une fonction Scilab, d'en-tête function \(T=\operatorname{simule}(p)\) qui prend en argument le réel \(p\), qui simule au plus \(10^{4}\) lancers de la pièce et qui renvoie la valeur de \(T\) en convenant que si, sur les \(10^{4}\) lancers, le nombre de Pile obtenus n'a jamais été égal au nombre de Face, alors \(T\) prend la valeur 0 .\\
b. On exécute le script Scilab suivant :

\begin{verbatim}
for i = 1 : 3
    L = zeros (1,3)
    for j = 1 : 3 et on obtient les résultats suivants :
        m = 0
        for k = 1 : 1000
            m = m + simule(i/4)
        end
        L(j) = m/1000
    end
    disp(L)
end
\end{verbatim}

Qu'affiche le script? Comment peut-on interpréter ces différents résultats?\\
13. Justifier : \(\forall n \in \mathbb{N}, \quad \mathbf{P}(T=2 n+1)=0\).\\
14. On note, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}, D_{n}\) l'ensemble des résultats possibles de ( \(2 n\) ) lancers de la pièce pour lesquels : - à l'issue du ( \(2 n\) )-ième lancer, le nombre de Pile est égal au nombre de Face;

\begin{itemize}
  \item le nombre de Pile est toujours strictement supérieur au nombre de Face tout au long des ( \(2 n-1\) ) premiers lancers;\\
et on pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}, \quad d_{n}=\operatorname{Card}\left(D_{n}\right)\).\\
On note, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}, E_{n}\) l'ensemble des résultats possibles de ( \(2 n\) ) lancers de la pièce pour lesquels : - à l'issue du ( \(2 n\) )-ième lancer, le nombre de Pile est égal au nombre de Face;
  \item le nombre de Pile est toujours supérieur ou égal au nombre de Face tout au long des \((2 n-1)\) premiers lancers;\\
et on pose \(\quad e_{0}=1 \quad\) et, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}, \quad e_{n}=\operatorname{Card}\left(E_{n}\right)\).\\
Par exemple, \(\quad D_{3}=\{P-P-P-F-F-F, P-P-F-P-F-F\}\)
\end{itemize}

\[
\text { et } \quad E_{3}=\{P-F-P-F-P-F, P-F-P-P-F-F, P-P-F-F-P-F, P-P-F-P-F-F, P-P-P-F-F-F\} ;
\]

ainsi \(\quad d_{3}=3 \quad\) et \(\quad e_{3}=5\).\\
a. Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). En remarquant que tout résultat de \(D_{n}\) commence nécessairement par un Pile et se termine par un Face, justifier : \(\quad d_{n}=e_{n-1}\).\\
b. i. Montrer : \(\quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}, e_{n}=\sum_{k=1}^{n} d_{k} e_{n-k}\).\\
ii. En déduire : \(\quad \forall n \in \mathbb{N}, e_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} e_{k} e_{n-k}\).\\
iii. Montrer alors: \(\forall n \in \mathbb{N}, e_{n}=c_{n}\) où \(c_{n}\) est le nombre de Catalan d'ordre \(n\).\\
c. En déduire: \(\quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad \mathbf{P}(T=2 n)=2 c_{n-1} p^{n}(1-p)^{n}\).\\
15. a. Montrer que, pour tout \(x\) de \([-1 ; 1]\), la série \(\sum_{n \geqslant 0} \mathbf{P}(T=n) x^{n}\) converge.

On pose, pour tout \(x\) de \([-1 ; 1]: \quad G_{T}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbf{P}(T=n) x^{n}\).\\
b. Montrer : \(\quad p(1-p) \leqslant \frac{1}{4} \quad\) et \(\quad\left(p(1-p)=\frac{1}{4} \quad \Longleftrightarrow p=\frac{1}{2}\right)\).\\
c. Montrer : \(\quad \forall x \in[-1 ; 1], \quad G_{T}(x)=\mathbf{P}(T=0)+g\left(p(1-p) x^{2}\right)\), où \(g\) est la fonction définie dans la question A.8.\\
d. En utilisant la valeur de \(G_{T}(1)\), montrer : \(\quad \mathbf{P}(T=0)=|2 p-1|\). Interpréter ce résultat lorsque \(p=\frac{1}{2}\).\\
16. En utilisant le résultat de la question A.6.b, montrer :\\
a. si \(p \neq \frac{1}{2}\), alors la variable aléatoire \(T\) admet une espérance.\\
b. si \(p=\frac{1}{2}\), alors la variable aléatoire \(T\) n'admet pas d'espérance.

\section*{- FIN -}

\end{document}