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\begin{document}
CONCOURS D'ADMISSION DE 2000

\section*{Option scientifique}
\section*{MATHEMATIQUES II}
Lundi 15 Mai 2000 de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

On considère un combat entre trois tireurs \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\), qui se déroule en une suite d'épreuves de la façon suivante, jusqu'à élimination d'au moins deux des trois tireurs :

\begin{itemize}
  \item Tous les tirs sont indépendants les uns des autres.
  \item Lorsque A tire, la probabilité pour qu'il atteigne son adversaire est égale à \(2 / 3\).
  \item Lorsque B tire, la probabilité pour qu'il atteigne son adversaire est égale à \(1 / 2\).
  \item Lorsque C tire, la probabilité pour qu'il atteigne son adversaire est égale à \(1 / 3\).
  \item Lorsque qu'un des tireurs est atteint, il est définitivement éliminé des épreuves suivantes.
  \item A chacune des épreuves, les tireurs non encore éliminés tirent simultanément et chacun d'eux vise le plus dangereux de ses rivaux non encore éliminés.\\
(Ainsi, à la première épreuve, \(A\) vise \(B\) tandis que \(B\) et \(C\) visent \(A\) ).\\
Pour tout nombre entier \(n \geq 1\), on considère les événements suivants :\\
\(\mathrm{ABC}_{n}\) : « à l'issue de la \(n^{\text {ième }}\) épreuve, \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) et C ne sont pas encore éliminés ».\\
\(\mathrm{AB}_{n} \quad\) : « à l'issue de la \(n^{\text {ième }}\) épreuve, seuls A et B ne sont pas encore éliminés ».\\
On définit de façon analogue les événements \(\mathrm{BC}_{n}\) et \(\mathrm{CA}_{n}\).\\
\(\mathrm{A}_{n} \quad:\) « à l'issue de la \(n^{\text {ième }}\) épreuve, seul A n'est pas éliminé ».\\
On définit de façon analogue les événements \(\mathrm{B}_{n}\) et \(\mathrm{C}_{n}\).\\
\(\varnothing_{n} \quad\) : « à l'issue de la \(n^{\text {ième }}\) épreuve, les trois tireurs sont éliminés ».\\
Enfin, \(\mathrm{ABC} \mathrm{C}_{0}\) est l'événement certain, \(\mathrm{AB}_{0}, \mathrm{BC}_{0}, \mathrm{CA}_{0}, \mathrm{~A}_{0}, \mathrm{~B}_{0}, \mathrm{C}_{0}, \varnothing_{0}\) l'événement impossible.
\end{itemize}

ESSEC BUSINESS SCHOOL\\
AVENUE BERNARD HIRSCH - B.P. 105\\
95021 CERGY PONTOISE CEDEX FRANCE\\
TEL. : 33 (0)1 34433000\\
FAX : 33 (0)1 34433111\\
WEB: \href{http://WWW.ESSEC.FR}{WWW.ESSEC.FR}

ETARLISSEMENT D'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR PRIVE RECONNU PAR L'ETAT. MEMRRE DE LA FESIC

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1111 \\
\hline
\begin{tabular}{l}
ESSEC BUSINESS SCHOOL \\
ETABLISSEMENTS PRIVES D'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR. ASSOCIATION LOI 1901. \\
\end{tabular} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

1

\section*{PARTIE I}
On détermine dans cette partie I les probabilités pour que A, B, C remportent le combat.\\
\(1^{\circ}\) ) Calcul de probabilités.\\
a) Exprimer, si U et V désignent deux événements quelconques d'un espace probabilisé donné, la probabilité \(p(\mathrm{U} \cup \mathrm{V})\) de l'événement \(\mathrm{U} \cup \mathrm{V}\) en fonction de \(p(\mathrm{U}), p(\mathrm{~V})\) et \(p(\mathrm{U} \cap \mathrm{V})\).\\
b) En déduire la probabilité pour qu'à une épreuve à laquelle participent \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\) :\\
(A rate son tir) et ( B ou C réussissent leur tir).\\
c) En déduire la probabilité pour qu'à une épreuve à laquelle participent \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\) :\\
(A réussit son tir) et ( B ou C réussissent leur tir).\\
\(2^{\circ}\) ) Détermination de probabilités conditionnelles\\
a) Montrer que l'événement \(\mathrm{AB}_{n}\) est impossible pour tout nombre entier naturel \(n\).

Dans la suite, on ne considérera donc que les événements \(\mathrm{ABC}_{n}, \mathrm{BC}_{n}, \mathrm{CA}_{n}, \mathrm{~A}_{n}, \mathrm{~B}_{n}, \mathrm{C}_{n}, \varnothing_{n}\).\\
b) Expliciter la probabilité conditionnelle \(p\left(\mathrm{ABC}_{n+1} / \mathrm{ABC}_{n}\right)\).\\
c) Expliciter \(p\left(\mathrm{BC}_{n+1} / \mathrm{ABC}_{n}\right)\) à l'aide de la question \(1^{\circ}\), puis donner \(p\left(\mathrm{CA}_{n+1} / \mathrm{ABC}_{n}\right)\).\\
d) Expliciter \(p\left(\mathrm{~A}_{n+1} / \mathrm{ABC}_{n}\right), p\left(\mathrm{~B}_{n+1} / \mathrm{ABC}_{n}\right)\) et \(p\left(\mathrm{C}_{n+1} / \mathrm{ABC}_{n}\right)\).\\
e) Expliciter \(p\left(\mathrm{~A}_{n+1} / \mathrm{CA}_{n}\right), p\left(\mathrm{~B}_{n+1} / \mathrm{BC}_{n}\right), p\left(\mathrm{C}_{n+1} / \mathrm{CA}_{n}\right)\) et \(p\left(\mathrm{C}_{n+1} / \mathrm{BC}_{n}\right)\).\\
f) Expliciter \(p\left(\varnothing_{n+1} / \mathrm{ABC}_{n}\right), p\left(\varnothing_{n+1} / \mathrm{BC}_{n}\right)\) et \(p\left(\varnothing_{n+1} / \mathrm{CA}_{n}\right)\).\\
\(3^{\circ}\) ) Nombre moyen d'épreuves à l'issue desquelles s'achève le combat\\
On note \(T\) la variable aléatoire indiquant le nombre d'épreuves à l'issue duquel cesse le combat, c'est à dire au delà duquel il ne reste qu'un tireur au plus.\\
a) Quelle est la probabilité de l'événement \(T=1\) ?\\
b) Soit \(n \geq 2\). Calculer la probabilité de l'événement suivant :

\[
\mathrm{ABC}_{1} \cap \mathrm{ABC}_{2} \cap \ldots A B C_{n-1} \cap \mathrm{ABC}_{n} .
\]

c) Soit \(n \geq 2\). Calculer la probabilité de la réunion des événements suivants pour \(0 \leq k \leq n-1\) :

\[
\mathrm{ABC}_{1} \cap \ldots \cap \mathrm{ABC}_{k} \cap \mathrm{CA}_{k+1} \cap \ldots \cap \mathrm{CA}_{n}
\]

(pour \(k=0\), il s'agit de l'événement \(\mathrm{CA}_{1} \cap \mathrm{CA}_{2} \cap \ldots \cap \mathrm{CA}_{n}\) ).\\
d) Soit \(n \geq 2\). Calculer la probabilité de la réunion des événements suivants pour \(0 \leq k \leq n-1\) :

\[
\mathrm{ABC}_{1} \cap \ldots \cap \mathrm{ABC}_{k} \cap \mathrm{BC}_{k+1} \cap \ldots \cap \mathrm{BC}_{n}
\]

(pour \(k=0\), il s'agit de l'événement \(\mathrm{BC}_{1} \cap \mathrm{BC}_{2} \cap \ldots \cap \mathrm{BC}_{n}\) ).\\
e) Soit \(n \geq 2\). Calculer la probabilité \(p(T>n)\) pour que le combat ne soit pas terminé à l'issue de la \(n^{\text {ième }}\) épreuve, et en déduire la probabilité \(p(T=n)\) (on vérifiera que cette formule redonne bien pour \(n=1\) le résultat obtenu à la question a).\\
f) Vérifier que la somme de la série de terme général \(p(T=n)\) (avec \(n \geq 1\) ) est égale à 1 , puis déterminer sous forme de fraction irréductible l'espérance \(E(T)\) de la variable aléatoire \(T\).\\
\(4^{\circ}\) ) Probabilités pour que \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\) remportent le combat\\
a) Montrer que l'événement « A remporte le combat à l'issue de la \(n^{\text {ième }}\) épreuve» est impossible si \(n=1\), et montrer qu'il est égal à la réunion des événements suivants si \(n \geq 2\) :

\[
\mathrm{ABC}_{1} \cap \ldots \cap \mathrm{ABC}_{k} \cap \mathrm{CA}_{k+1} \cap \ldots \cap \mathrm{CA}_{n-1} \cap \mathrm{~A}_{n} \text { pour } 0 \leq k \leq n-2
\]

(pour \(k=0\), il s'agit de l'événement \(\mathrm{CA}_{1} \cap \mathrm{CA}_{2} \cap \ldots \cap \mathrm{CA}_{n-1} \cap \mathrm{~A}_{n}\) ).\\
b) Calculer la probabilité pour que A remporte le combat à l'issue de la \(n^{\text {ième }}\) épreuve ( \(n \geq 2\) ).\\
c) En déduire la probabilité pour que A remporte le combat (c'est à dire pour qu'il ne soit pas éliminé à l'issue du combat).\\
d) Déterminer de même la probabilité pour que B remporte le combat.\\
e) Déterminer de même la probabilité pour que C remporte le combat.

\section*{PARTIE II}
Dans cette partie, on retrouve par des méthodes matricielles les probabilités pour que \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\) remportent le combat en n'utilisant que les résultats des questions \(\mathrm{I} .1^{\circ}\) et \(\mathrm{I} .2^{\circ}\).\\
\(1^{\circ}\) ) Expression de la matrice de transition \(M\)\\
a) On considère la matrice-colonne \(E_{n}\) à sept lignes dont les sept éléments sont dans cet ordre, du haut vers le bas, \(p\left(\mathrm{ABC}_{n}\right), p\left(\mathrm{BC}_{n}\right), p\left(\mathrm{CA}_{n}\right), p\left(\mathrm{~A}_{n}\right), p\left(\mathrm{~B}_{n}\right), p\left(\mathrm{C}_{n}\right), p\left(\varnothing_{n}\right)\).\\
Expliciter une matrice \(M\) carrée d'ordre 7 vérifiant pour tout nombre entier naturel \(n\) :

\[
E_{n+1}=M E_{n} .
\]

On vérifiera que la somme de chacune des sept colonnes de cette matrice \(M\) est égale à 1 .\\
b) En déduire \(E_{n}\) en fonction de \(n\), de \(M\) et \(E_{0}\).\\
\(2^{\circ}\) ) Calcul des puissances de la matrice \(M\)\\
a) On considère deux matrices carrées d'ordre 3 notées \(U^{\prime}, U^{\prime \prime}\) et deux matrices rectangulaires à 4 lignes et 3 colonnes notées \(V^{\prime}, V^{\prime \prime}\) et l'on forme les matrices carrées d'ordre 7 :

\[
M^{\prime}=\left[\begin{array}{ll}
U^{\prime} & O \\
V^{\prime} & I_{4}
\end{array}\right], \quad M^{\prime \prime}=\left[\begin{array}{ll}
U^{\prime \prime} & O \\
V^{\prime \prime} & I_{4}
\end{array}\right]
\]

où \(O\) désigne la matrice nulle à 3 lignes et 4 colonnes et \(I_{4}\) la matrice-identité d'ordre 4 . Vérifier à l'aide des règles du produit matriciel l'égalité suivante :

\[
M^{\prime} M^{\prime \prime}=\left[\begin{array}{cc}
U U^{\prime \prime} & O \\
V^{\prime} U^{\prime \prime}+V^{\prime \prime} & I_{4}
\end{array}\right] .
\]

b) Expliciter les matrices \(U\) et \(V\) telles que :

\[
M=\left[\begin{array}{cc}
U & O \\
V & I_{4}
\end{array}\right]
\]

c) Etablir enfin par récurrence sur \(n \geq 1\) l'égalité suivante :

\[
M^{n}=\left[\begin{array}{cc}
U^{n} & 0 \\
V+V U+\ldots+V U^{n-1} & I_{4}
\end{array}\right] .
\]

\(3^{\circ}\) ) Diagonalisation de la matrice \(U\)\\
a) Déterminer les valeurs propres \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\) de \(U\) avec \(\lambda_{1}<\lambda_{2}<\lambda_{3}\) et les vecteurs propres associés \(V_{1}, V_{2}, V_{3}\) tels que :

\begin{itemize}
  \item la première composante de \(V_{1}\) vaut 1 .
  \item la troisième composante de \(V_{2}\) vaut 1 .
  \item la deuxième composante de \(V_{3}\) vaut 1 .\\
b) On note \(P\) la matrice d'ordre 3 dont les vecteurs-colonnes sont, dans cet ordre, \(V_{1}, V_{2}, V_{3}\). Expliciter la matrice inverse \(P^{-1}\) et préciser la matrice \(D=P^{-1} U P\).\\
\(4{ }^{\circ}\) ) Calcul de la limite des puissances de la matrice \(M\)\\
a) Expliciter les matrices \(D^{n}\) et \(I_{3}+D+D^{2}+\ldots+D^{n-1}\).\\
b) On dit qu'une suite de matrices ( \(X_{n}\) ) à \(p\) lignes et \(q\) colonnes converge vers une matrice \(X\) à \(p\) lignes et \(q\) colonnes si chaque coefficient de la matrice \(X_{n}\) converge quand \(n\) tend vers \(+\infty\) vers le coefficient correspondant de la matrice \(X\).\\
On admettra (sous réserve d'existence) que la limite d'un produit est le produit des limites. Expliciter à l'aide des résultats précédents les limites des deux suites matricielles ( \(D^{n}\) ) et \(\left(I_{3}+D+D^{2}+\ldots+D^{n-1}\right)\), puis des trois suites matricielles ( \(\left.U^{m}\right),\left(I_{3}+U+U^{2}+\ldots+U^{n-1}\right)\) et \(\left(V+V U+V U^{2}+\ldots+V U^{n-1}\right)\).\\
c) En déduire enfin les limites des deux suites matricielles ( \(M^{n}\) ) et ( \(E_{n}\) ).\\
d) Vérifier que les suites \(\left(p\left(\mathrm{ABC}_{n}\right)\right)\), \(\left(p\left(\mathrm{BC}_{n}\right)\right)\) et \(\left(p\left(\mathrm{CA}_{n}\right)\right)\) convergent vers 0 et expliciter sous forme d'une fraction irréductible les limites des suites \(\left(p\left(\mathrm{~A}_{n}\right)\right),\left(p\left(\mathrm{~B}_{n}\right)\right),\left(p\left(\mathrm{C}_{n}\right)\right),\left(p\left(\varnothing_{n}\right)\right)\). Retrouver alors les probabilités obtenues en I pour que A, B, C remportent le combat.
\end{itemize}

\end{document}