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\title{CONCOURS D'ADMISSION DE 2002 }

\author{}
\date{}


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\begin{document}
\maketitle
\section*{Option scientifique}
\section*{MATHEMATIQUES II}
\section*{Lundi 6 Mai 2002 de 8h à 12h}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

L'objectif du problème est d'étudier parmi les portefeuilles boursiers de rentabilité moyenne donnée ceux qui font courir à leurs porteurs un risque minimal en un sens qui sera précisé plus loin.

On identifie dans la suite tout vecteur \(x\) de l'espace vectoriel \(\mathbb{R}^{n}\) (avec \(n \geq 2\) ) à la matrice-colonne de ses composantes \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{n}\), soit :

\[
x=\left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right)
\]

et \({ }^{\prime} x\) désigne alors la matrice transposée de \(x\), autrement dit la matrice-ligne égale à ( \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\) ). On note enfin \(<., .>\) le produit scalaire canonique de \(\mathbb{R}^{n}\) défini pour tout couple \((x, y)\) de \(\mathbb{R}^{n}\) par :

\[
<x, y>={ }^{\prime} x y=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\left(\begin{array}{c}
y_{1} \\
y_{2} \\
\vdots \\
y_{n}
\end{array}\right)=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+\ldots+x_{n} y_{n} .
\]

\begin{verbatim}
ESSEC RUSINESS SCHOOL
AVENUE BERNARD HIRSCH - B.P. IOS
9502: CERGY PONTOISE CEDEX FIRANCE
TEL.: 33 (0)1 34 4.3 30 00
FAX : 33 (OH134 43 31 11
WEB: WWW.ESSEC.FR
ETARLISSEMENT DENSEIGNEMENT SUPERIEUR PRIVE
RECONNU PAR L'ETAT. MEMBRE DE LA FESIC 
\end{verbatim}

ESSEC RUSINESS SCHOOL\\
ETAHLISSEMENTS PRIVES DENSEIGNEMENT SUPERIEUR ASSOCIATION LOI 1901.\\
ACCREDITES AACSH - THE INTERNATIONAL ASSOC!ATION\\
FOR MANAGEMENT EDUCATION\\
AFFILIES A LA CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE VERSAILLES VAL DOOISE-YVELINES

\section*{PRELIMINAIRE}
On rappelle que l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel \(F\) de \(\mathbb{R}^{n}\) est la partie \(F^{\perp}\) de \(\mathbb{R}^{n}\) qui est formée des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de \(F\), c'est à dire :

\[
F^{\perp}=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} /<a, x>=0 \text { pour tout vecteur } a \text { appartenant à } F\right\} .
\]

a) Montrer que \(F^{\perp}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{n}\).\\
(b) On suppose \(F\) de dimension \(p(0 \leq p \leq n)\) et on considère une base orthonormale ( \(e_{1}, \ldots, e_{p}\) ) de \(F\) que l'on complète en une base orthonormale ( \(e_{1}, \ldots, e_{p}, e_{p+1}, \ldots, e_{n}\) ) de \(\mathbb{R}^{n}\).\\
Montrer que \(F^{\perp}=\operatorname{Vect}\left(e_{p+1}, \ldots, e_{n}\right)\), ensemble des combinaisons linéaires de \(e_{p+1}, \ldots, e_{n}\).\\
En déduire la dimension de \(F^{\perp}\) en fonction de la dimension de \(F\).\\
c) Déterminer de même l'orthogonal de \(F^{\perp}\).

En déduire que \(\left(F^{\perp}\right)^{\perp}=F\) où \(\left(F^{\perp}\right)^{\perp}\) est l'orthogonal de \(F^{\perp}\).

\section*{PARTIE I}
On désigne par \(C=\left(c_{i j}\right)\) une matrice symétrique réelle d'ordre \(n\) et par \(Q\) la fonction définie de \(\mathbb{R}^{n}\) dans \(\mathbb{R}\) par \(Q(x)=<x, C x>\), autrement dit par \(Q(x)={ }^{t} x C x\). On suppose de plus que \(Q(x)={ }^{t} x C x>0\) pour tout vecteur non nul \(x\) de \(\mathbb{R}^{n}\).

\section*{\(1^{\circ}\) ) Exemple d'une telle matrice}
On suppose dans cette question, et dans cette question seulement, que \(n=3\) avec :

\[
C_{0}=\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right] .
\]

a) Calculer \({ }^{t} x C_{0} x\) pour tout vecteur \(x\) de composantes \(x_{1}, x_{2}, x_{3}\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\).\\
b) Montrer que \({ }^{t} x C_{0} x>0\) pour tout vecteur non nul \(x\) de \(\mathbb{R}^{3}\) (on calculera \({ }^{t} x C_{0} x-\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)^{2}\) ).\\
c) Montrer que \(C_{0}\) est inversible et déterminer la matrice inverse de \(C_{0}\).\\
d) Calculer \({ }^{4} x C_{0}{ }^{-1} x\) pour tout vecteur \(x\) de composantes \(x_{1}, x_{2}, x_{3}\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\).\\
e) Montrer que \({ }^{1} x C_{0}^{-1} x>0\) pour tout vecteur non nul \(x\) de \(\mathbb{R}^{3}\).\\
\(2^{\circ}\) ) Inversibilité de la matrice \(C\)\\
a) Vérifier, pour tout couple \((x, y)\) de vecteurs de \(\mathbb{R}^{n}\), que \({ }^{\prime} x C y\) est un nombre réel et que :

\[
{ }^{\prime} x C y={ }^{\prime} y C x .
\]

b) On considère un vecteur \(x\) appartenant au noyau de \(C\), c'est à dire tel que \(C x=0\).

Montrer que \({ }^{\prime} x C x=0\) et en déduire que la matrice \(C\) est inversible.\\
c) Montrer \(C^{-1}\) est une matrice symétrique réelle d'ordre \(n\), autrement dit que \({ }^{i}\left(C^{-1}\right)=C^{-1}\).\\
(On pourra transposer l'égalité \(C C^{-1}=C^{-1} C=I_{n}\) où \(I_{n}\) désigne la matrice-identité d'ordre \(n\) ).\\
d) En posant \(x=C y\), montrer que \(t x C^{-1} x>0\) pour tout vecteur non nul \(x\) de \(\mathbb{R}^{n}\).

Etablir l'égalité suivante dans laquelle \(u, v\) sont deux vecteurs linéairement indépendants de \(\mathbb{R}^{n}\) :

\[
\forall \lambda \in \mathbb{R},{ }^{\prime}(u+\lambda v) C^{-1}(u+\lambda v)={ }^{\prime} u C^{-1} u+2 \lambda\left({ }^{\prime} u C^{-1} v\right)+\lambda^{2}\left({ }^{\prime} v C^{-1} v\right) .
\]

Préciser le signe de ce trinôme du second degré en \(\lambda\) et prouver l'inégalité suivante :

\[
\left({ }^{\prime} u C^{-1} v\right)^{2}<\left({ }^{\prime} u C^{-1} u\right)\left({ }^{t} v C^{-1} v\right) .
\]

\(3^{\circ}\) ) Condition pour que \(Q(x) \leq Q(x+h)\) lorsque \(\langle u, h\rangle=0\)\\
On désigne ici par \(x\) un vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\) et par \(u\) un vecteur non nul de \(\mathbb{R}^{n}\).\\
a) Montrer, pour tout couple ( \(x, h\) ) de vecteurs de \(\mathbb{R}^{n}\) et tout nombre réel \(\lambda\), que :

\[
Q(x+\lambda h)=Q(x)+2 \lambda<h, C x>+\lambda^{2} Q(h) .
\]

b) On suppose que \(Q(x) \leq Q(x+h)\) pour tout vecteur \(h\) tel que \(\langle u, h\rangle=0\).

\begin{itemize}
  \item Etablir l'inégalité suivante pour tout vecteur \(h\) tel que \(<u, h>=0\) :
\end{itemize}

\[
\forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad 2 \lambda<h, C x>+\lambda^{2} Q(h) \geq 0 .
\]

\begin{itemize}
  \item En déduire que \(<h, C x>=0\) pour tout vecteur \(h\) tel que \(<u, h>=0\).
  \item En déduire que \(C x\) est colinéaire au vecteur \(u\), c'est à dire que \(x\) est colinéaire à \(C^{-1} u\).\\
c) Etablir inversement, si \(C x\) est colinéaire à \(u\), que \(Q(x) \leq Q(x+h)\) si \(<u, h>=0\).\\
d) La condition précédente est désormais supposée vérifiée et on note donc \(C x=\alpha u\).
  \item Montrer que \(\alpha=a<u, x>\) où \(a\) désigne un nombre réel dépendant de \(u\) et \(C^{-1}\) tel que \(a>0\).
  \item Montrer que \(Q(x)=a(\langle u, x\rangle)^{2}\).\\
\(4^{\circ}\) ) Condition pour que \(Q(x) \leq Q(x+h)\) lorsque \(\langle u, h\rangle=\langle v, h\rangle=0\)\\
On désigne ici par \(x\) un vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\) et par \(u\) et \(v\) deux vecteurs linéairement indépendants de \(\mathbb{R}^{n}\).\\
a) On suppose que \(Q(x) \leq Q(x+h)\) pour tout vectcur \(h\) tel que \(<u, h>-<v, h>=0\).
  \item Etablir comme précédemment que \(<h, C x>=0\) pour tout vecteur \(h\) tel que \(<u, h>=<v, h>=0\).
  \item En déduire que \(C x\) appartient à \(\operatorname{Vect}(u, v)\), c'est à dire que \(x\) appartient à \(\operatorname{Vect}\left(C^{-1} u, C^{-1} v\right)\).\\
b) Etablir inversement, si \(C x\) appartient à \(\operatorname{Vect}(u, v)\), que \(Q(x) \leq Q(x+h)\) si \(<u, h>=<v, h>=0\).\\
c) La condition précédente est désormais supposée vérifiée et on note donc \(C x=\alpha u+\beta v\).
  \item Montrer que les nombres réels \(\alpha\) et \(\beta\) sont solutions du système suivant :
\end{itemize}

\[
\left\{\begin{array}{l}
\alpha^{\prime} u C^{-1} u+\beta^{\prime} u C^{-1} v=<u, x>. \\
\alpha^{\prime} v C^{-1} u+\beta^{\prime} v C^{-1} v=<v, x>.
\end{array}\right.
\]

\begin{itemize}
  \item Montrer que ce système admet une solution unique, et que celle-ci est de la forme suivante :
\end{itemize}

\[
\left\{\begin{array}{l}
\alpha=a<u, x>-b<v, x\rangle \\
\beta=-b<u, x>+c<v, x>
\end{array}\right.
\]

où \(a, b, c\) désignent trois nombres réels dépendant de \(u, v\) et \(C^{-1}\) tels que \(a>0\) et \(c>0\).

\begin{itemize}
  \item Montrer que \(Q(x)=a(\langle u, x\rangle)^{2}-2 b\langle u, x\rangle\langle v, x\rangle+c(\langle v, x\rangle)^{2}\).
\end{itemize}

\section*{PARTIE II}
\(5^{\circ}\) ) Covariance des variables aléatoires \(X\) et \(Y\)\\
On considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) définies sur un même espace probabilisé et admettant des espérances \(E(X)\) et \(E(Y)\) et des variances \(V(X)\) et \(V(Y)\) et on suppose \(V(X)>0\) (ce qui signifie, avec une probabilité égale à 1 , que la variable aléatoire \(X\) n'est pas constante).\\
La covariance des deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) (que celles-ci soient discrètes ou à densité) est alors le nombre réel défini par \(\operatorname{Cov}(X, Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\) ou encore \(E(X Y)-E(X) E(Y)\).\\
a) Etablir la formule suivante pour tout nombre réel \(\lambda\) :

\[
V(\lambda X+Y)=\lambda^{2} V(X)+2 \lambda \operatorname{Cov}(X, Y)+V(Y)
\]

b) En considérant le signe de ce trinôme du second degré en \(\lambda\), en déduire que :

\[
(\operatorname{Cov}(X, Y))^{2} \leq V(X) V(Y)
\]

Etablir de plus que \((\operatorname{Cov}(X, Y))^{2}=V(X) V(Y)\) si et seulement s'il existe deux nombres réels \(\lambda\) et \(\mu\) tels qu'on ait \(\lambda X+Y=\mu\) avec une probabilité égale à 1 .\\
c) En déduire que le coefficient de corrélation \(\rho\) des variables aléatoires \(X, Y\) appartient à \([-1,+1]\), puis préciser à quelle condition nécessaire et suffisante \(\rho\) est égal à -1 ou +1 .

On considère pendant une période donnée un marché financier où coexistent \(n\) actifs financiers notés \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\). Ces actifs sont détenus positivement ou négativement (ce qui signifie alors qu'ils sont vendus à découvert) \({ }^{1}\) au sein de portefeuilles qu'on ne modifie pas dans la période.\\
On désigne par \(R_{1}, R_{2}, \ldots, R_{n}\) les \(n\) variables aléatoires qui représentent les taux de rentabilité des actifs \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\) au cours de la période considérée (ce qui signifie qu'une unité monétaire de l'actif \(A_{i}\) donne un gain aléatoire \(R_{i}\) à la fin de la période). On suppose que ces \(n\) variables aléatoires \(R_{1}, R_{2}, \ldots, R_{n}\), qui sont définies sur un même espace probabilisé, admettent :

\begin{itemize}
  \item des espérances \(E\left(R_{1}\right)=m_{1}, E\left(R_{2}\right)=m_{2}, \ldots, E\left(R_{n}\right)=m_{n}\) supposées non toutes égales.
  \item des variances \(V\left(R_{1}\right)=\sigma_{1}^{2}, V\left(R_{2}\right)=\sigma_{2}^{2}, \ldots, V\left(R_{n}\right)=\sigma_{n}^{2}\) supposées strictement positives.
\end{itemize}

\footnotetext{\({ }^{1}\) Cette situation se produit notamment dans le cadre des marchés à réglements mensuels.
}\section*{\(6^{\circ}\) ) Etude des portefeuilles dans le cas \(n=2\)}
(Cette question est sans influence sur les suivantes qui peuvent être abordées indépendamment). On considère ici un portefeuille contenant les actifs \(A_{1}\) et \(A_{2}\) en proportions respectives \(x\) et \(1-x\). La variable aléatoire \(R\) indiquant le taux de rentabilité du portefeuille est alors \(R=x R_{1}+(1-x) R_{2}\). On note \(\rho\) le coefficient de corrélation des variables aléatoires \(R_{1}, R_{2}\), supposé tel que \(-1<\rho<1\).\\
a) Exprimer l'espérance \(E(R)\) et la variance \(V(R)\) en fonction de \(x, m_{1}, m_{2}, \sigma_{1}, \sigma_{2}\) et \(\rho\).\\
b) Etablir, si \(m_{1} \neq m_{2}\), qu'il existe des nombres réels \(a, b, c\) avec \(a>0\) et \(c>0\), indépendants de \(x\) (c'est à dire indépendants de la composition du portefeuille) tels qu'on ait \(V=a-2 b m+c m^{2}\) où \(V=V(R)\) et \(m=E(R)\) désignent respectivement la variance et l'espérance de \(R\).\\
\(7^{\circ}\) ) Matrice de variances-covariances des variables aléatoires \(\boldsymbol{R}_{1}, \ldots, \boldsymbol{R}_{n}\)\\
On désigne par \(C\) la matrice symétrique réelle dont le coefficient de la \(i^{\text {ième }}\) ligne et \(j^{\text {ième }}\) colonne (où \(1 \leq i, j \leq n)\) est la covariance \(\operatorname{Cov}\left(R_{,}, R_{j}\right)\) des variables aléatoires \(R_{i}\) et \(R_{j}\).\\
a) Etablir, pour tout vecteur \(x\) de \(\mathbb{R}^{n}\) de composantes \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\) dans la base canonique :

\[
V\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i} R_{i}\right)={ }^{\prime} x C x
\]

b) En déduire qu'on a ' \(x C x \geq 0\) pour tout vecteur \(x\) de \(\mathbb{R}^{n}\) et donner une condition nécessaire et suffisante portant sur \(R_{1}, R_{2}, \ldots, R_{n}\) pour que \({ }^{\prime} x C x>0\) pour tout vecteur non nul \(x\) de \(\mathbb{R}^{n}\).

On supposera désormais cette condition bien vérifiée par \(R_{l}, R_{2}, \ldots, R_{n}\) et on posera \(Q(x)={ }^{\prime} x C x\).

\section*{\(8^{\circ}\) ) Etude des portefeuilles efficaces dans le cas général}
On étudie ici un portefeuille contenant les actifs \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\) en proportion \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\). La variable aléatoire \(R\) indiquant le taux de rentabilité de ce portefeuille au cours de la période considérée est alors \(R=x_{1} R_{1}+x_{2} R_{2}+\ldots+x_{n} R_{n}\).\\
Ce portefeuille est dit efficace s'il est de variance minimale parmi tous les portefeuilles dont l'espérance de gain \(E(R)=m\) est donnée (en effet, la variance constitue ici un risque pour le gain de l'investisseur qu'il importe donc de minimiser).\\
a) Montrer que le vecteur \(x\) de \(\mathbb{R}^{n}\) de composantes \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\) considéré ci-dessus vérifie :

\[
x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=1 \text { et } m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}+\ldots+m_{n} x_{n}=m
\]

b) Montrer que le portefeuille considéré ici est efficace si et seulement si on a \(Q(x) \leq Q(x+h)\) pour tout vecteur \(h\) de \(\mathbb{R}^{n}\) de composantes \(h_{1}, h_{2}, \ldots, h_{n}\) telles que :

\[
h_{1}+h_{2}+\ldots+h_{n}=0 \text { et } m_{1} h_{1}+m_{2} h_{2}+\ldots+m_{n} h_{n}=0
\]

c) Etablir à l'aide de I. 4 qu'il existe des nombres réels \(a, b, c\) avec \(a>0\) et \(c>0\) tels que :

\[
V=a-2 b m+c m^{2}
\]

où \(V=V(R)\) et \(m=E(R)\) désignent respectivement la variance et l'espérance de \(R\).\\
d) Déterminer la nature de la courbe représentative de cette fonction associant la variance \(V\) à l'espérance \(m\) et représenter celle-ci (on rappelle que \(a>0\) et \(c>0\), et on supposera \(b>0\) ).\\
Expliquer pourquoi seuls les portefeuilles dont l'espérance \(m\) et la variance \(V\) appartiennent à la portion de cette courbe telle que \(m \geq b / c\) sont intéressants pour les investisseurs (et c'est cette portion de la courbe qui est la "frontière efficace" de Markowitz, du nom de l'économiste qui a reçu le prix Nobel en 1990).


\end{document}