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\begin{document}
\section*{ΕSSΕC \\
 MBA}
\section*{CONCOURS D'ADMISSION DE 2004}
\section*{Option scientifique}
\section*{MATHEMATIQUES II}
Jeudi 6 mal 2004 de Sh a 12 h\\
La présentation, la lisibilité, Porthographe, la qualté de la redaction, la charté et la précision des raisonnements entrerout pour une part importante dans l'apprediation des coples.\\
Les candidats sont invites a encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent fare usage d'atcum document. I'milisation de toute calculatrice et de tout matérid electronique est interdite. Sente lutilisation d'une règle gradure est autorisée.\\
Si au cours de IBpreuve, un candidat repere ce qui lui semble Brre ane urrenr denonce, il la signalora sur sa copie et poursurvra sa composition en expliquant les raisons des initatives qu’il sera amemé à prendre.

\section*{Notations}
Dans tout le probleme, z designe un entier naturel superiour ou egal 2.\\
On note \(E_{n}=\{1,2, \ldots, n\}=[1, n]\) et \(\Omega\) lensemble des permutations de \(E_{n}\). Pour tout ensemble fint \(A\), on note card(A) son cardinal, cest-a-dire le nombre de ses elements.\\
On note \(\binom{n}{k}\), on \(C_{n}^{k}\), lo nombre \(\left\{\begin{array}{l}\frac{n!}{k!(n-k)!} \quad \text { si } 0 \leqslant k \leqslant n \\ 0\end{array}\right.\) sinon

\section*{Partie 1}
Pour tout \(\omega \in \Omega\), on appelle point fixe dx \(\omega\), tout écment \(k \in E_{z}\) tel que \(\omega(k)=k\).\\
Or, appelle dérangement toute permutation \(\omega \in \Omega\) telle que pour tout \(\xi \in E_{\mathrm{n}}, w(k) \neq k\) Ainsi un derangement est une permutation sans point fixe-

On note \(D_{n, n}=\left\{\omega \in \Omega \mid \forall i \in E_{n}, \omega(i) \neq i\right\}\), et pour tont \(k \in E_{n}\)

\[
D_{n, k}=\{\omega \in \Omega, \text { tel que } \omega \text { admette exactement } k \text { points fixes }\}
\]

Enfin, on note \(d_{n, 0}=\operatorname{card}\left(D_{n, 0}\right)\) et pour tout \(k \in E_{n}, d_{n, k}=\operatorname{card}\left(D_{2, k}\right)\).

\begin{enumerate}
  \item Montrar que\\
où w/, eat la restriction de la permutation w a /, Id reprègente la permutation identitè et wl, wy est la restriction de la permutation w an complémentaire de I\\
2 En deduire que pour tout \(k \in E_{n}, d_{n, k}=\binom{n}{k} d_{n-k, 0}\)
\end{enumerate}

HARCHADS\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{4a6b9549-7ad4-49c0-ba87-59ba3ac586fb-1_26_314_2234_333}\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{4a6b9549-7ad4-49c0-ba87-59ba3ac586fb-1_27_351_2256_333}\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{4a6b9549-7ad4-49c0-ba87-59ba3ac586fb-1_26_213_2279_333}\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{4a6b9549-7ad4-49c0-ba87-59ba3ac586fb-1_24_209_2302_333}\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{4a6b9549-7ad4-49c0-ba87-59ba3ac586fb-1_22_191_2325_333}

Exall\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{4a6b9549-7ad4-49c0-ba87-59ba3ac586fb-1_26_465_2389_333}\\
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\section*{\begin{center}
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}]{4a6b9549-7ad4-49c0-ba87-59ba3ac586fb-1_30_250_2211_1101}
\end{center}}
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{4a6b9549-7ad4-49c0-ba87-59ba3ac586fb-1_24_120_2243_1224}\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{4a6b9549-7ad4-49c0-ba87-59ba3ac586fb-1_24_223_2302_1066}\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{4a6b9549-7ad4-49c0-ba87-59ba3ac586fb-1_24_487_2325_1069}\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{4a6b9549-7ad4-49c0-ba87-59ba3ac586fb-1_21_204_2348_1069}\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{4a6b9549-7ad4-49c0-ba87-59ba3ac586fb-1_21_510_2371_1064}\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{4a6b9549-7ad4-49c0-ba87-59ba3ac586fb-1_26_291_2389_1064}\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{4a6b9549-7ad4-49c0-ba87-59ba3ac586fb-1_24_616_2414_1064}\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}]{4a6b9549-7ad4-49c0-ba87-59ba3ac586fb-1_22_497_2439_1064} Of VERBARTS MALTHEN TVBLINES.\\
3. a) Soit \(\omega \in \Omega\) un dérangement de \(E_{n}\). Solt \(j \in\{1,2, \ldots, n\}\). On définit l'application Sy sur \(E_{n+1}\) par

\[
\sigma_{j}(k)= \begin{cases}\omega(k) & \text { si } k \notin\{j, n+1\} \\ n+1 & \text { si } k=j \\ \omega(j) & \text { si } k=n+1\end{cases}
\]

Montrer que l'on défnit ainsi un dérangement de Enqi-\\
b) Soit \(\Delta \in \Omega\) admettant un unique polnt fixe \(\left\{\in\{1,2, \ldots, n\}\right.\). Montrer que \(\omega_{j}\) defini ci dessus est un dérangement de \(E_{a+1}\).\\
c) Montrer que les dérangements de \(E_{n+1}\) construits dans les questions 3.a) et 3.b) sont distincts, et que tout derangement de \(E_{n+1}\) peut etre obtenu de cette fagon.\\
d) En décluire que \(d_{n+1,0}=n d_{n, 0}+d_{n, 1}=n\left(d_{n, 0}+d_{n-1,0}\right)\).\\
4. Pour tout \(n \geq 2\), on pose

\[
u_{n}=d_{n, 0}-n d_{n, 0}-1,0
\]

a) Déterminer \(u_{x+1}\) en fonction de \(u_{x,}\) puis \(u_{n}\) en fonction de \(n\)\\
b) En déduite que \(d_{n, 0}=n d_{n,-1,0}+(-1)^{n}\).\\
d) On pose \(v_{1} \geq 0\) et pour \(n \geqslant 2, v_{n}=\frac{d_{n, 0}}{n!}\) Déterminer \(v_{n}\) en fonction de \(n\), puis montrer que

\[
d_{13,0}=n!\left(\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k!}\right)
\]

\section*{Partie II}
Afin de lancer un nouveau produk sur le marché, le service marketing d'une entreprise propose au directeur général la campagne suivante :

\begin{itemize}
  \item mettre en vente au prix unitaire de b Euros, re exemplaires du produit.
\end{itemize}

\begin{itemize}
  \item chaque exemplaire sera numéroté de fagon apparente d'un nombre compris entre 1 et r.
\end{itemize}

\begin{itemize}
  \item a I'utérienr de chaque exemplaire du produit, et de facon cachée, se trouve un second munéro,
\end{itemize}

\begin{itemize}
  \item l'acheteur qui trouvera à lintérieur de lexemplaire un munéro identique à celui figurant al lextérieur gagnera B Euros.\\
On suppose que les mumeros cachés sont tous différents, compris entra I et n et sont choisis au hasard. Avant de domner son accord, le directeur général souhaite éludier le ucout a d'une telle campagne.
\end{itemize}

Afin de fommaliser la notion de choix au hasard, et pour toute la suite du probleme, on mumt ( \(\Omega, P(Q)\) ) de la probabilité taniforme discrite \(P\) definie pour tout \(A \subseteq \Omega\) par

\[
P(A)=\frac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(Q)}
\]

Enfin, on note \(X_{r}\) la variable albatoire représentant le nombre de gagnants.

\begin{enumerate}
  \item a) En utilisant les résultats de la première partie, déterminer la lot de \(\mathrm{X}_{\mathrm{m}}\).\\
b) Etablir les égalités survantes
\end{enumerate}

\[
\sum_{k=0}^{n} \sum_{k l}^{1} \sum_{k=0}^{n-k} \frac{(-1)^{k}}{1 l}=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{i l} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{k}=1
\]

(on justifiera de maniere prédise linterversion des deux signes sommes)\\
2. Calenler l'espérance \(E\left(X_{n}\right)\) et la variance \(V\left(X, X_{n}\right.\) ) de la variable alsatotre \(X_{n}\) (on pourra dabord culealer EX \(X_{n}\left(X_{n}-1\right)\) ).\\
J. a) Montret que lo cout aléntoire de loperation pour l'entreprise est donné par

\[
C_{n}=n b-B X_{n_{2}}
\]

En deduire le cout moyen \(E\left(C_{n}\right)\), ansi que le risque, donné par Técart type \(\sigma\left(C_{n}\right)\).\\
b) Quelle sera, daprès vous, la réponse du directeur géneral?\\
4. Montrex que le gain aléatoire d'un acheteur ayant acquis un seul produit est domné par \(G_{n}=B Y_{n}-B_{\text {, }}\) où \(Y_{n}\) est une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre 1/n. En déduíre le gain moyen ale l'acheteur.

\section*{Partie III}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite des variables aléatoires ( \(X_{n}\) ) converge en loi vers une loi de Poisson de parametre \(\lambda=1\).
  \item Montrer que pour tout \(E \in E_{n}\)
\end{enumerate}

\[
\left|P\left(x_{n}=k\right)-\frac{e^{-1}}{k!}\right|=\left|\frac{1}{k!} \sum_{k=n-k+1}^{\infty} \frac{(-1)^{i}}{1!}\right|
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Soit \(m \in \mathbb{N}\). Montrer que
\end{enumerate}

\[
\sum_{k=m}^{\infty} \frac{1}{i l} \leqslant \frac{1}{m!} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(m+1)^{k}} \leqslant \frac{2}{m!}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item En déduire que
\end{enumerate}

\[
\sum_{k=0}^{n}\left|p\left(X_{n}=k\right)-\frac{e^{-1}}{k!}\right| \leqslant \frac{2^{n+2}}{(n+1)!}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item On considere les instructions Pascal suivantes :
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
epa ;= 0.00001;
x := 2;
k := 2;
While x > eps/2 do
    oogin
    x ;m x*(2/x);
    k t = k+1
    end:
wxiteln(k)
\end{verbatim}

a) On entra dans la boucle whila avec \(x=2\). On suppose quion est pase \(j \geqslant 1\) fois dans cette boucta Quelle est la whleur de \(x\) a lentrica de la boucle la fois suivante?\\
b) Montrer que la sunte \(\left(u_{n}\right)_{n \geq 1}\) définie par \(u_{y,}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\) est décroissante et admet une liralte que lon calculera.\\
c) En déduire que la boucle While ci-dessus sa termins.\\
d) La valeur affichée par la derniôre ligne du programme est 11. Que représente-t-elle?

\section*{Partie IV}
St \(X\) est une vatiable aléatote rédle, on appelle moment factoriel d'ordre \(k \geq 1\), Pespéramee de la wriable alontoire \(X(X-1) \cdots(X-k+1)\), sot.

\[
m_{k}(X)=E[X(X-1) \cdots(X-k+1)]
\]

\begin{enumerate}
  \item Montret que si \(k \geqslant n+1\), alors \(m_{k}\left(X_{k}\right)=0\).
  \item Soit \(k \in[0, n]\). Montrer que
\end{enumerate}

\[
m_{k}\left(X_{n}\right)=\sum_{j=0}^{n-k} P\left(X_{n-k}=j\right)=1
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Soit \(Z\) une variable aléatohe suivant une loi de Poisson de parametre 1. Déterminer me ( \(Z\) ), pour tout \(k \in[0, n]\).
  \item On définit des polynomes (P )e (\&\& par
\end{enumerate}

\[
\left\{\begin{array}{l}
P_{0}(X)=1 \\
P_{k}(X)=X(X-1) \cdots(X-k+1) \quad(k \geqslant 1)
\end{array}\right.
\]

a) Montrer que la famille ( \(\mathcal{P}_{\mathrm{S}}\) )askan forme une base de \(\mathrm{K}_{\mathrm{n}}[\mathrm{X}]\), wape vectoriel des polynômes à coefficients réds de degré inférieur ou égal à n.\\
b) En dedurre que \(X_{n}\) et \(Z\) ont les memes moments d'ordre \(k\), pour tout \(k\) tel que \(0 \leqslant k \leqslant n\).\\
5. Montrer que pour tout \(k \in[0, n]\), 11 existe ( \(\omega_{0, k}, a_{1, k}, \ldots, a_{k, k}\) ) resks tels que

\[
X^{k}=\sum_{j=0}^{k} a_{j}, \frac{P_{j}(X)}{j^{\prime}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item On soubaite desormais calculer les reels ( \(\omega_{0}, \ldots, u_{1}, \ldots, \ldots, a_{k}\), ).\\
a) Determiner \(\frac{P_{j}(y)}{1}\), pour tout \(j \in[0, n]\) et \(: \in N_{n}\)\\
b) Montrer que pour \(i \in[0, k], i^{k}=\sum_{j \in 0}^{k}\left(\frac{1}{j}\right) a_{j, k}\)\\
c) Écrire la maurice 4 de ce système d'équations.\\
d) En se placant dans l'espace vectoriel \(\pi \mathrm{II}_{\mathrm{L}}[\mathrm{X}]\) des polynomes reels de degré inférieur ou égal a \(\mathrm{E}_{1}\) ecrire Iexpression de lendomorphisme representé par AT (transposée de la matrice A) daus la base cancuique.\\
e) Montrer que \(A^{T}\) est inversible et déterminer son inverse\\
D. En deduire que la matrice A est inversible Déterminer A Y puis Pexpression de a, fo pour tout \(j \in[0, k]\).\\
g) Donner lexpression des moments dordre \(k_{,}(1 \leqslant k \leqslant n)\), de la variable aléatoire \(X_{n}\).
\end{enumerate}

\section*{Partie V}
On suppose dans crtto partie qu'un acheteur a aqquis \(\xi(\xi>1)\), exemphaires du produit. L'ensemble de ces exemplaires est noté \(L=(1,2,2, \ldots, 3\})\).\\
On note Yí la variable aléatoire egale au nombre dexemplaires gagnants du produit parmi cos C exemplairss achetes.\\
Enfin, pour tont \(1 \in E_{m}\), on pose \(A_{1}=\{\omega \in \Omega \mid \omega(t)=1\}\).

\begin{enumerate}
  \item Pour tour \(A \in\) n, on note 1 , la variable alwatoire definee par
\end{enumerate}

\[
1_{d}(\omega)= \begin{cases}1 & \text { si } \omega \in A \\ 0 & \text { sinon }\end{cases}
\]

Justiner legalité

\[
1_{n}^{t}=1_{A_{2}}+1_{k} A_{3}+\cdots \cdot+1_{A_{k}}
\]

En dédurre l'asperance \(E\left(Y_{n}^{t}\right)\) de la variable aleatoire \(Y_{n}^{t}\).\\
2. a) Montrer que

\[
\left(Y_{n}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{\ell} 1_{A_{i}}+\sum_{1 \leqslant k \leqslant k i} 1_{A_{i} \cap A_{i}}
\]

b) En deduire la wriance de la variable aleatoire Yi.\\
3. a) Montrer que le gain de l'acheteur est egal \(\mathrm{A} G_{n}=B Y_{n}^{*}-b\).\\
b) Déterminer son gain moyen, ainsi que lXeart type de ce gain.\\
c) Du point de vue de l'acheteur, est-il intéressant d'acquérir plusieurs exemplaires du produt?


\end{document}