\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\section*{ESSEC 2003, Math 1, option S.}
Dans tout le problème, on désigne par \(n\) un entier naturel et par :

\begin{itemize}
  \item \(\mathbb{R}_{n}[x]\) l'espace vectoriel des fonctions-polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\).
  \item \(C^{n}(\mathbb{R})\) l'espace vectoriel des fonctions réelles de classe \(C^{n}\) sur \(\mathbb{R}\).
\end{itemize}

En particulier, \(C^{0}(\mathbb{R})\) est l'espace vectoriel des fonctions réelles continues sur \(\mathbb{R}\).\\
A toute fonction \(f\) appartenant à \(C^{0}(\mathbb{R})\), on associe l'application notée \(\phi f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[
\phi f(x)=\int_{x-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t
\]

On définit ainsi un endomorphisme \(\phi\) de l'espace vectoriel \(C^{0}(\mathbb{R})\) dont on se propose dans la suite d'étudier quelques propriétés au travers de parties qui sont largement indépendantes.

\section*{Partie I: Généralités.}
\begin{enumerate}
  \item Dans cette question, on étudie quelques propriétés de \(\phi f\) en fonction de celles de \(f\).\\
a) Prouver l'égalité suivante, pour toute fonction continue \(f\) et tout nombre réel \(x\) :
\end{enumerate}

\[
\phi f(x)=\int_{0}^{1} f(x+u-1) \mathrm{d} u
\]

b) On suppose la fonction \(f\) paire (resp. impaire). Exprimer \(\phi f(-x)\) en fonction de \(\phi f(x+1)\).\\
c) On suppose la fonction \(f\) croissante (resp. décroissante). Est-ce le cas de \(\phi f\) ?\\
d) On suppose la fonction \(f\) convexe (resp. concave). Est-ce le cas de \(\phi f\) ?\\
e) On suppose que la fonction \(f\) a une limite \(L\) en \(\pm \infty\). Est-ce le cas de \(\phi f\) ?\\
2) Dans cette question, on étudie l'endomorphisme induit par \(\phi\) sur \(\mathbb{R}_{n}[x]\).\\
a) Montrer que \(\mathbb{R}_{n}[x]\) est stable par \(\phi\). On note alors \(\phi_{n}\) l'endomorphisme induit par \(\phi\) sur \(\mathbb{R}_{n}[x]\).\\
b) Déterminer la matrice de \(\phi_{n}\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}_{n}[x]\).\\
c) Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de \(\phi_{n}\).\\
3) Dans cette question, on étudie l'injectivité et la surjectivité de \(\phi\).\\
a) Montrer, pour toute fonction \(f\) de \(C^{0}(\mathbb{R})\), que \(\phi f\) est de classe \(C^{1}\) et préciser sa dérivée. Pour quelles valeurs du nombre entier \(j\) l'espace vectoriel \(\phi\left(C^{k}(\mathbb{R})\right)\) est-il inclus dans \(C^{j}(\mathbb{R})\) ?\\
b) Montrer que \(\operatorname{Ker}(\phi)\) est formé des fonctions 1 -périodiques et d'intégrale nulle sur une période.\\
c) L'endomorphisme \(\phi\) est-il surjectif ? injectif ?\\
4) Dans cette question, on étudie les éléments propres de \(\phi\).\\
a) On considère une valeur propre \(\lambda\), de l'endomorphisme \(\phi\), autrement dit un nombre réel \(\lambda\) tel qu'il existe une fonction non nulle \(f\) appartenant à \(C^{0}(\mathbb{R})\) vérifiant \(\phi f=\lambda f\).\\
Montrer que toute fonction propre \(f\) associée à une valeur propre \(\lambda \neq 0\), c'est-à-dire toute fonction continue non nulle \(f\) telle que \(\phi f=\lambda f\), est nécessairement de classe \(C^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\).\\
b) Quelles sont les fonctions-polynômes \(f\) qui sont fonctions propres de \(\phi\) ?\\
c) Montrer, pour tout nombre réel \(\lambda>0\), qu'il existe une et une seule fonction exponentielle \(f\) définie par \(f(x)=\mathrm{e}^{a x} \quad(a \in \mathbb{R})\) telle que \(\phi f=\lambda f\).\\
En déduire que tout nombre réel \(\lambda>0\) est valeur propre de \(\phi\).\\
d) Montrer, pour tout nombre réel \(\lambda>1\), que la seule fonction bornée \(f\) appartenant au sousespace propre associé à \(\lambda\) est la fonction nulle.\\
Dans la suite du problème, on étudie le sous-espace propre \(E_{1}(\phi)\) associé à la valeur propre 1 , c'est-à-dire l'ensemble des fonctions continues \(f\) vérifiant \(\phi f(x)=f(x)\) pour tout nombre réel \(x\), ou :

\[
\int_{x-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t=f(x)
\]

Partie II: Existence d'une fonction non constante dans \(E_{1}(\phi)\)

\begin{enumerate}
  \item On considère la fonction \(f_{0}\) définie de \([0,1]\) dans \(\mathbb{R}\) par \(f_{0}(0)=f_{0}(1)=0\) et pour \(0<x<1\) par :
\end{enumerate}

\[
f_{0}(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right) \exp \left(\frac{1}{x(x-1)}\right)
\]

a) Montrer que la courbe représentative de \(f_{0}\) admet pour centre de symétrie le point ( \(1 / 2,0\) ).\\
b) Montrer que \(f_{0}\) est de classe \(C^{1}\) sur \([0,1]\) et que \(\int_{0}^{1} f_{0}(t) \mathrm{d} t=0\).\\
2) On définit alors par récurrence à partir de \(f_{0}\) une suite de fonctions \(\left(f_{n}\right)\) définies sur \([0,1]\) par :

\[
f_{n+1}(x)=f_{n}(1) \exp (x)-\exp (x) \int_{0}^{x} f_{n}(t) \exp (-t) \mathrm{d} t
\]

a) Montrer que \(f_{n+1}\) est de classe \(C^{1}\) sur \([0,1]\) et vérifie \(\left(f_{n+1}\right)^{\prime}=f_{n+1}-f_{n}\). En déduire que :

\[
f_{n+1}(1)-f_{n+1}(0)=\int_{0}^{1}\left(f_{n+1}(t)-f_{n}(t)\right) \mathrm{d} t
\]

b) Montrer que \(f_{n+1}(0)=f_{n}(1)\). En déduire que :

\[
f_{n}(1)=\int_{0}^{1} f_{n}(t) \mathrm{d} t
\]

c) Etablir enfin, pour tout nombre réel \(x\) de \([0,1]\), que \(f_{n+1}(x)=\int_{0}^{x} f_{n+1}(t) \mathrm{d} t+\int_{x}^{1} f_{n}(t) \mathrm{d} t\).\\
d) On note \(f\) l'application définie sur chaque intervalle \(\left[n, n+1\left[\right.\right.\) où \(n \in \mathbb{N}\) par \(f(x)=f_{n}(x-n)\). Ainsi, la fonction \(f\) est définie sur la réunion de ces intervalles \([n, n+1[\), et donc sur \([0,+\infty[\).\\
Montrer que \(f\) est continue sur \(\left[0,+\infty\left[\right.\right.\) et vérifie \(f(x)=\int_{x-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t\) pour tout nombre réel \(x \geqslant 1\).\\
3) On prolonge la fonction \(f\) définie ci-dessus sur \([0,+\infty[\) en une fonction définie sur \([-1,+\infty[\).

A cet effet, on pose \(f(x)=f(x+1)-f^{\prime}(x+1)\) pour \(-1 \leqslant x<0\).\\
Montrer que \(f\) est continue sur \(\left[-1,+\infty\left[\right.\right.\) et vérifie \(f(x)=\int_{x-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t\) pour tout nombre réel \(x \geqslant 0\).\\
En réitérant ce même procédé sur \([-2,+\infty[,[-3,+\infty[\), etc, on obtient une fonction \(f\) continue sur \(\mathbb{R}\) vérifiant \(\phi f(x)=f(x)\) pour tout nombre réel \(x\) (on ne demande pas d'expliciter ce raisonnement).

\section*{Partie III: Limite en \(+\infty\) d'une fonction de \(E_{1}(\phi)\)}
On désigne toujours par \(f\) une application de \(E_{1}(\phi)\) et par \(n\) un nombre entier naturel.

\begin{enumerate}
  \item On étudie dans cette question les suites \(\left(M_{n}\right)\) et \(\left(m_{n}\right)\) des maxima et minima de \(f\) sur \([n, n+1]\).\\
a) Justifier l'existence du maximum \(M_{n}\) de la fonction \(f\) sur l'intervalle [ \(n, n+1\) ], puis celle d'un nombre réel \(x_{n}\) appartenant à \([n, n+1]\) tel que \(f\left(x_{n}\right)=M_{n}\).\\
b) On suppose \(n \geqslant 1\). Montrer que :
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item \(f^{\prime}\left(x_{n}\right)=0\) si \(n<x_{n}<n+1\), et comparer alors \(f\left(x_{n}-1\right)\) à \(f\left(x_{n}\right)\).
  \item \(f\) est constante sur \([n, n+1]\) si \(x_{n}=n+1\).
\end{itemize}

En déduire dans tous les cas que \(M_{n-1} \geqslant M_{n}\).\\
c) On définit de même le minimum \(m_{n}\) de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([n, n+1]\).

Etablir la monotonie de la suite ( \(m_{n}\) ) et en déduire la convergence des suites ( \(M_{n}\) ) et ( \(m_{n}\) ).\\
2) On étudie dans cette question l'existence d'une limite éventuelle de \(f\) en \(+\infty\) et on pose

\[
L=2 \int_{0}^{1} t f(t) \mathrm{d} t
\]

a) Calculer la dérivée de l'application \(x \mapsto g(x)=\int_{x}^{x+1}(t-x) f(t) \mathrm{d} t\) et exprimer \(g(x)\) à l'aide de \(L\).\\
b) Justifier l'inégalité suivante pour \(x \geqslant n\) :

\[
0 \leqslant \int_{x}^{x+1}(t-x)\left(M_{n}-f(t)\right) \mathrm{d} t \leqslant M_{n}-f(x+1)
\]

En l'appliquant avec \(x=x_{n+1}-1\), en déduire que : \(0 \leqslant \frac{M_{n}-L}{2} \leqslant M_{n}-M_{n+1}\).\\
c) Etablir une inégalité analogue faisant intervenir \(L, m_{n}\) et \(m_{n+1}\), et en déduire enfin que \(f(x)\) tend vers \(L\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).

\section*{Partie IV: Recherche des fonctions bornées de \(E_{1}(\phi)\)}
On désigne maintenant par \(f\) une application bornée de \(E_{1}(\phi)\) et on note alors

\[
M=\sup \{|f(x)| / x \in \mathbb{R}\}
\]

\begin{enumerate}
  \item On étudie dans cette question la fonction \(u_{0}\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\end{enumerate}

\[
u_{0}(x)=\int_{x-1}^{x}(f(t)-f(x))^{2} \mathrm{~d} t
\]

a) Comparer \(u_{0}\) et \(\phi f^{2}-f^{2}\) (ou \(\phi\left(f^{2}\right)-f^{2}\) ).\\
b) Calculer la dérivée de \(u_{0}\) et en déduire le sens de variation de \(u_{0}\).\\
2) On définit alors par récurrence à partir de \(u_{0}\) une suite de fonctions \(\left(u_{n}\right)\) définies sur \(\mathbb{R}\) par :

\[
u_{n}(x)=\phi u_{n-1}(x) \quad \text { c'est-à-dire } \quad u_{n}(x)=\int_{x-1}^{x} u_{n-1}(t) \mathrm{d} t
\]

a) Calculer la dérivée de \(u_{n}\) et en déduire le sens de variation de \(u_{n}\).\\
b) Déterminer le sens de variation de la suite \(n \mapsto u_{n}(x)\) lorsque le nombre réel \(x\) est fixé.\\
c) Etablir pour tout nombre réel \(x\) et tout nombre entier naturel \(n\) l'inégalité suivante :

\[
0 \leqslant \sum_{k=0}^{n} u_{k}(x) \leqslant M^{2}
\]

d) En déduire que la suite \(n \mapsto u_{n}(x)\) converge vers 0 , puis que \(f\) est constante sur \(\mathbb{R}\).


\end{document}