\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\section*{ESSEC \\
 MBA}
\section*{CONCOURS D'ADMISSION DE 2004}
\section*{Option scientifique}
\section*{MATHEMATIQUES I}
Mercredi 12 Mai 2004 de 8h à 12h

La présemation, la lisibillte, Ionthographe, la qualle de la redaction, a clarté et la précisien des raixamements entreront pour une part importante dans I appriciation des copies.\\
les comdidas sont imntés à encadrer dans la mevure du porvible les resultats de leurs calculs.\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}]{ce3c7b1f-5da1-47f0-8fe0-9da82b00df46-1_40_1312_1183_349} imerchte. Senle I'mblistrion d'me regle granuée est autorixée.

\section*{Notations}
Dans ce problème, on désigne par \(n\) un nombre entier naturel non nul et on convient d'identifier tout vecteur \(X\) de \(\mathbf{R}^{n}\) à la matrice-colonne de ses composantes \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^{n}\), clest à dire :

\[
X=\left[\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{k}
\end{array}\right]
\]

La transposée d'une telle matrice \(X\) est la matrice-ligne \(X=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\),\\
Le produit scalaire canonique dun vecteur \(X\) et dun vecteur \(Y\) de \(\mathbf{R}^{\prime \prime}\) est alors égal à :

\[
<X, Y>=K Y=\sum_{i=1}^{n} x_{i} H_{i} .
\]

La norme cuclidienne de \(X\) est définie par \(\|X\|=\sqrt{\langle X, X\rangle}\) et on dira qu'une suite de vecteurs \(\left(X_{p}\right)\) de \(\mathbf{R}^{n}\) converge vers un vecteur \(X\) de \(\mathbf{R}^{n}\) si la suite \(\left\|X_{p}-X\right\|\) converge vers 0 .\\
Pour finir, on désigne par :

\begin{itemize}
  \item / la matrice-identité dordre n.
  \item A une matrice symettrique réelle dordre \(n\).
\end{itemize}

FEREC.MEN\\
MENGL MEMANE NISSCH - NE 165\\
WINKI CROPERONTEISE CEDEX FEANCE\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{ce3c7b1f-5da1-47f0-8fe0-9da82b00df46-1_22_209_2261_328}\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{ce3c7b1f-5da1-47f0-8fe0-9da82b00df46-1_21_207_2284_328}\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{ce3c7b1f-5da1-47f0-8fe0-9da82b00df46-1_21_186_2307_328}

USSC\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{ce3c7b1f-5da1-47f0-8fe0-9da82b00df46-1_28_461_2371_328}\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{ce3c7b1f-5da1-47f0-8fe0-9da82b00df46-1_24_383_2398_328}\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{ce3c7b1f-5da1-47f0-8fe0-9da82b00df46-1_31_282_2197_1059}\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{ce3c7b1f-5da1-47f0-8fe0-9da82b00df46-1_24_120_2224_1219}

EXSEC. BESTRINS KONKOL\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}]{ce3c7b1f-5da1-47f0-8fe0-9da82b00df46-1_26_483_2311_1059} ASARMERTION INY INOI.\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}]{ce3c7b1f-5da1-47f0-8fe0-9da82b00df46-1_22_502_2357_1059} PER RAKEACENGENT EONEATION.\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{ce3c7b1f-5da1-47f0-8fe0-9da82b00df46-1_26_607_2403_1059}\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{ce3c7b1f-5da1-47f0-8fe0-9da82b00df46-1_21_494_2426_1055}\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{ce3c7b1f-5da1-47f0-8fe0-9da82b00df46-1_26_330_2444_1055}

\section*{PARTIE I : Etude d'une suite de vecteurs}
\(1^{\circ}\) ) Dans cette question, on note ( un vecteur non nul de composantes \(c_{1}, c_{2} \ldots, c_{n}\) de \(\mathbb{R}^{t}\).\\
a) Expliciter le produit matriciel \(C^{\prime} C\). La matrice \(C^{\prime} C\) est-elle diagonalisable?\\
b) Exprimer ( \(\left.C^{\prime} C\right)^{2}\) en fonction de \(C^{\prime} C\) et de la norme de \(C\).\\
c) En déduire que toute valeur propre de ('C'est égale à 0 ou à \(\|\left(\|^{3}\right.\),\\
d) Préciser le sous-espace propre associé à 0 .

Calculer \(C^{\prime}\left(C\right.\) en fonction de ('et préciser le sous-espace propre associé à \(\|r\|^{2}\).\\
e) En déduire la nature de l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice \(C^{f} C\).

Montrer qu'il s'agit dune projection orthogonale lorsque le vecteur C est unitaire.\\
20 ) Dans cette question, on désigne par \(X\) et \(Y\) deux vecteurs de \(\mathbf{R}^{\prime \prime}\).\\
a) Etablir que \({ }^{\prime} X Y={ }^{\prime} Y X,{ }^{\prime} X A Y=\angle X, A Y=\angle A X, B \times,(X)^{\prime}={ }^{\prime} X\left(Y^{\prime} Y\right) X={ }^{\prime} Y\left(X^{\prime} X\right) Y\)\\
b) Justifier lexistence dune base orthonormale de vecteurs \(U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n}\) de \(\mathbb{R}^{2 n}\) pour lesquels existent des réels \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}\) tels que \(A U_{1}=\lambda_{1} U_{1}, A U_{2}=\lambda_{2} U_{2}, \ldots, A U_{n}=\lambda_{n} t \ell_{n}\).\\
c) Exprimer les vecteurs \(Y\) et \(A X\) dans la base \(\left(U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n}\right)\) ainsi que leurs normes à laide des produits scalaires \(\left\langle U_{n}, X\right\rangle\) et \(\left\langle U_{n}, A X\right\rangle\) oủ \(1 \leq i \leq n\), puis prouver l'égalité suivante :

\[
\left\langle X_{x} A X\right\rangle=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}\left\langle U_{i}, X\right\rangle^{2}
\]

d) En déduire les égalités matricielles suivamtes:

\[
I=\sum_{i=1}^{31} U_{i}^{2} U_{i} \quad \therefore \quad A=\sum_{i=1}^{n} A_{i} U_{i}^{3} U_{i}
\]

Reconnaître les endomorphismes canoniquement associes aux matrices \(W_{1}^{i} U_{2}\).\\
e) En déduire les inégalités suivantes:\\
f) Application : encadrer par deux nombres entiers les valeurs propres de la matrice dordre \(n\) définie ci-dessous (tous les eléments sont nuls, sauf sur les trois diagonales centrales) :

\[
A=\left[\begin{array}{ccccc}
4 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\
-1 & 4 & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & -1 \\
0 & \cdots & 0 & -1 & 4
\end{array}\right]
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{38}
  \item Dans cette question, on note \(\rho(A)=\max _{1 \Omega s}\left(\lambda_{n} \mid\right)\).\\
a) Vérifier que \(\|A X\|^{2}=\sum_{i=1}^{n} A^{2}\left\langle U_{i}, X\right\rangle^{2}\).
\end{enumerate}

Prouver que \(\|A X\| \leq \rho(A)\|X\|\) et exhiber un vecteur realisant l'égalité.\\
b) Etablir l'équivalence des deux propositions suivantes:\\
i. Pour tout vecteur \(X\), la suite \(\left(P^{\#} X\right)\) tend vers 0 quand \(p\) tend vers \(+\infty\).\\
II. \(\rho(A)<1\).

\section*{PARTIE II : Un problème de minimisation}
Dans toute cette partie, \(\mathrm{R}_{p}[X]\) désigne l'ensemble des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à \(p\) et \(\alpha, \beta\) sont deux réels vérifiant \(0<\alpha<\beta\).\\
On se propose de minimiser supl \(Q(t) / \alpha \leq i \leq \beta\) ) où \(Q\) décrit \(\mathrm{R}_{p}[X]\) et vérifie \(Q(0)=1\).\\
\(\left.1^{\circ}\right)\) On considere la suite de fonctions \(T_{p}\) definie par \(T_{0}(t)=1, T_{1}(t)=t\), et, si \(p \geq 1\), par la relation de récurrence \(T_{p+1}(t)\) - \(2 t T_{p}(t)-T_{p-1}(t)\).\\
a) Montrer que \(T_{p}\) est une fonction-polynöme de degré \(p\) et prèciser le coefficient de \(f^{p}\).\\
b) Prouver, pour tout réel \(\theta\) et tout entrer naturel \(p\) que \(T_{p}(\cos (\theta))=\cos (p \theta)\).

On rappelle à cet effet la formule de trigonométrie \(\cos (a+b)=\cos (a) \cos (b)-\sin (a) \sin (b)\).\\
c) En deduire sup \(\left\{P_{p}(1) /-1 \leq r \leq 1\right\}\) et montrer que \(T_{p}\) admet dans \([-1,1] p\) zeros distincts que Ton précisera.\\
\({ }^{2 \circ}\) ) On designe par a un réel tel que |d| \(>1\).\\
On se propose de minimiser supi|O(t)| \(t-1 \leq 1 \leq 1\) où \(Q\) décrit \(\mathrm{R}_{2}[X]\) et vérifie \(Q(a)=1\).\\
Pour cela, on désigne par \(S_{p}\) la fonction \(\frac{T_{p}}{T_{p}(a)}\).\\
a) On considère, s'il en existe, une fonction polynome \(P\) de \(\mathrm{R}_{p}[X]\) telle que \(P(a)\) - 1 et vérifiant :\\
\(\sup ||t(a)| /-1 \leq i \leq 1|<\frac{1}{\left|T_{p}(a)\right|}\).\\
Préciser pour \(0 \leq j \leq p\) le signe de \(S_{p}\left(\cos \left(\frac{j \pi}{p}\right)\right)-\mu \cos \left(\frac{j \pi}{p}\right)\) ).\\
En deduire que \(S_{1}-P\) a au moins \(P+I\) racines réelles distinctes, et en tirer une contradiction en examinant le degré de \(S_{p}, P\).\\
b) En déduire que sup \(|Q(0)|-1 \leq 1 \leq 1 \mid\) où \(Q\) décrit \(R_{p}[X]\) et vérifie \(Q(a)=1\) est minimal pour \(S_{p}\) et vaut \(\frac{1}{\left|f_{p}(\alpha)\right|}\).\\
c) Si \(P\) 'est un polynôme satisfaisant à ce problème de minimisation, montrer que \(\frac{1}{2}\left(P+S_{p}\right)\) est aussi un polynòme satisfaisant à ce problème, et qu'on a pour \(0 \leq j \leq p\).

\[
\frac{1}{2} \left\lvert\, P\left(\cos \left(\frac{\pi}{p}\right)\right)+S_{p}\left(\cos \left(\frac{\pi \pi}{p}\right)\right)=\frac{1}{\left|r_{p}(a)\right|}\right.
\]

En déduire que \(P=S_{p}\).\\
\(3^{\circ}\) ) Établir que le polynôme suivant est l'unique solution du problème de minimisation posé dans le préambule de cefte partie:

\[
\frac{T_{p}\left(\frac{21-\alpha-\beta}{\beta-\alpha}\right)}{T_{p}\left(\frac{\alpha+\beta}{\alpha-\beta}\right)}
\]

PARTIE III : Résolution itérative d'un système \(A X=B\)\\
On supposera de plus, dans cette partie, que les valeurs propres de \(A\) sont strictement positives et on les classe comme suit : \(0<\lambda_{1} \leq \ldots \leq \lambda_{2}\).\\
On étudie une méthode itérative de résolution du système de Cramer \(A X=B\), quon définit à partir d'une suite de réels strictement positifs \(\left(\alpha_{p}\right)\) et d'un vecteur \(X_{0}\) de \(\mathbf{R}^{n}\) :

\[
X_{p+1}^{\prime}=X_{p}+\alpha_{p}\left(B-A X_{p}\right) .
\]

Justifier P'existence et l'unicité de la solution \(X^{*}\) du systéme.\\
\(1^{\circ}\) ) Dans cette question, on suppose la suite ( \(\alpha_{p}\) ) constante, egale à \(\alpha>0\).\\
a) Montrer, pour tout nombre entier natural \(p\), que \(X_{p}-X^{*}=(I-\alpha A)^{p}\left(X_{0}-X^{*}\right)\).\\
b) Preciser les valeurs propres \(\mu_{1}, \ldots, \mu_{n}\) de la matrice \(I-\alpha A\), ainsi que \(\left.\alpha I-\alpha A\right)=\max _{n, n}(|n|)\).

Tracer la courbe représentative de la fonction définie par \(f(\alpha)=\alpha l-\alpha A)\).\\
c) En déduire que \(\left(X_{p}\right)\) converge vers \(X^{*}\) si et seulement si \(\alpha<2 / \lambda_{n}\).

Montrer que la convergence est optimale en un sens que l'on précisera pour \(\alpha=\frac{2}{\lambda_{1}+\lambda_{n}}\) et montrer qualors :

\[
\left\|X_{p}-X^{*}\right\| \leq\left(\frac{\lambda_{n}-\lambda_{1}}{\lambda_{n}+\lambda_{1}}\right)^{n}\left\|X_{0}-X^{*}\right\| .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item On revient au cas général et on pose pour tout nombre entier naturel \(p \geq 1\) :
\end{enumerate}

\[
P_{p}(t)=\left(1-\alpha_{0} t\right)\left(1-\alpha_{1} t\right) \ldots\left(1-\alpha_{p-1} t\right) \quad \text { et } \quad P_{p}(A)=\left(1-\alpha_{0} A\right)\left(1-\alpha_{1} A\right) \times\left(1-\alpha_{p-1} A\right)
\]

a) Préciser les valeurs propres \(v_{1}, \ldots, v_{n}\) de la matrice \(P_{1}, A\), et montrer que \(\left.\partial p_{p}(A)\right)=\max _{1 \leq s \text { a }}(|y|)\) vérifie l'inégalité \(\left.\partial\left(p_{p}, A\right) \leq \sup \left|p_{p}(t)\right| \lambda_{1} \leq 1 \leq \lambda_{n}\right\}\).\\
b) Etablir que \(X_{p}, N^{*}=P_{p},(A)\left(X_{0} X^{*}\right)\), puis que :

\[
\left\|X_{p}-X^{*}\right\| \leq \sup \left\{\left|P_{p^{\prime}}(t)\right| / \lambda_{1} \leq 1 \leq \lambda_{2} \mid\left\|X_{0}-X^{*}\right\| .\right.
\]

c) Lorsque l'entier \(p\) est fixé, comment peut-on choisir les nombres a, ou \(0 \leq j \leq p-1\) pour minimiser le réel sup \(\left|p_{p}(r)\right| \lambda_{1} \leq 1 \leq \lambda_{n}\), 1? Etablir quon a alors:

\[
\left\|X_{k}-X^{*}\right\| \leq \frac{1}{\left|T_{k}\left(\frac{\lambda_{1}+\lambda_{n}}{\lambda_{1}-\lambda_{n}}\right)\right|}\left\|X_{0}-X^{*}\right\| .
\]

Montrer que \(\left\lvert\, n_{p}\left(\frac{\lambda_{1}+\lambda_{n}}{\lambda_{1}-\lambda_{n}}\right)\right.\) est équivalent lorsque \(p\) tend vers \(+\infty\) a \(2^{p-1}\left(\frac{\lambda_{n}+\lambda_{1}}{\lambda_{n}-\lambda_{1}}\right)^{p}\).\\
Comparer la convergence de la méthode tiérative à a constant de la question \(1^{\circ}\) avec celle de la méthode itérative optimale développée à cette question.


\end{document}