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\begin{document}
\section*{Concepteur : ESSEC}
\section*{OPTION SCIENTIFIQUE}
\section*{MATHEMATIQUES I}
Lundi 23 mai 2005, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document, l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{Notations}
Dans tout ce problème, on considère \(n\) un entier naturel non nul.\\
Pour toute matrice \(M\), on note \({ }^{\prime} M\) sa transposée.\\
On identifie l'espace vectoriel \(\mathbb{R}^{n}\), muni de sa base canonique, à l'ensemble des matrices colonnes à \(n\) lignes ; ainsi pour tout vecteur \(x\) de \(\mathbb{R}^{n}\) et pour tout \(i \in\{1, \ldots, n\}\), on note \(x_{i}\) sa\\
\(i^{\text {ème }}\) coordonnée et \(x=\left[\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ . \\ . \\ x_{n}\end{array}\right]\).\\
On munit \(\mathbb{R}^{n}\) de son produit scalaire canonique : \(\langle x, y\rangle={ }^{\prime} x y\) et la norme euclidienne de \(x\) est définie par : \(\|x\|=\sqrt{\langle x, x\rangle}\).\\
On désigne par \(U\) une partie non vide de \(\mathbb{R}^{n}\).\\
À \(f\) fonction continue de \(U\) dans \(\mathbb{R}\), et \(y\) vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\), on associe la fonction \(F_{y}\) définie sur \(U\) par: \(x \mapsto\langle x, y\rangle-f(x)\) et on note \(U(f)\) l'ensemble, éventuellement vide, des vecteurs \(y\) de \(\mathbb{R}^{n}\) pour lesquels \(F_{y}\) admet un maximum.\\
Lorsque \(U(f)\) est non vide, on appelle fonction conjuguée de \(f\) la fonction notée \(f^{*}\) définie sur \(U(f)\) par : \(f^{*}(y)=\max \left(F_{y}(x), x \in U\right)\).

\section*{PARTIE I}
Dans cette partie, \(n=1\) et \(U\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\); ainsi le produit scalaire se confond avec le produit naturel sur \(\mathbb{R}\) et la fonction \(F_{y}\) est définie sur l'intervalle \(U\) par \(F_{y}(x)=x y-f(x)\).

\begin{enumerate}
  \item Lorsque \(U\) est un segment de \(\mathbb{R}\), montrer que \(f^{*}\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
  \item Quelques exemples .
\end{enumerate}

Après avoir étudié les variations de \(F_{y}\), préciser \(U(f)\) et \(f^{*}\) dans les cas suivants :\\
a) \(U=\mathbb{R}, f(x)=a \frac{x^{2}}{2}\) où \(a\) est un réel fixé strictement positif.\\
b) \(U=\mathbb{R}_{+}^{*}, f(x)=\frac{x^{\alpha}}{\alpha}\) où \(\alpha\) est un réel fixé strictement supérieur à 1 .\\
(on pourra introduire le réel \(\beta\) vérifiant : \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1\) ).\\
c) \(U=\mathbb{R}, f(x)=e^{x}\).\\
3) Pour chacun des cas précédents, déterminer \(\left(f^{*}\right)^{*}\) ainsi que son ensemble de définition. Quel constat pouvez-vous faire ?\\
4) Plus généralement, on suppose que : \(U=\mathbb{R}\) et \(f\) est une application de classe \(C^{2}\) sur \(\mathbb{R}\) telle que l'image de \(\mathbb{R}\) par la fonction dérivée est \(\mathbb{R}\) tout entier et vérifiant pour tout \(x\) réel \(f^{\prime \prime}(x)>0\).\\
a) Établir que \(f^{\prime}\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\).

On note \(g\) l'application réciproque de \(f^{\prime}\).\\
b) Après avoir dressé le tableau des variations de l'application \(F_{y}\) associée à \(f\) et \(y\), montrer que \(U(f)=\mathbb{R}\) et que: \(\forall x \in \mathbb{R} \quad f^{*}(x)=x g(x)-f(g(x))\).\\
Justifier la dérivabilité de \(f^{*}\) et exprimer \(\left(f^{*}\right)^{\prime}\) en fonction de \(g\).\\
c) Après avoir étudié pour \(y\) réel les variations de l'application : \(x \mapsto x y-f^{*}(x)\), en déduire que : \(\left(f^{*}\right)^{*}=f\).

\section*{PARTIE II}
On revient aux notations du préambule.

\begin{enumerate}
  \item On suppose dans cette question que : \(U=\mathbb{R}^{n}\) et \(f(x)=\|x\|\).\\
a) Pour \(t\) réel strictement positif et \(y \in \mathbb{R}^{n}\), calculer \(F_{y}(t y)\) et préciser \(\lim _{t \rightarrow+\infty} F_{y}(t y)\).
\end{enumerate}

Quelle comparaison pouvez-vous faire entre les ensembles \(U(f)\) et \(\left\{y \in \mathbb{R}^{n},\|y\| \leq 1\right\}\) ?\\
b) Lorsque \(\|y\| \leq 1\), montrer que : \(F_{y}(x) \leq F_{y}(0)\). En déduire \(U(f)\) et \(f^{*}\).\\
c) Préciser \(\left(f^{*}\right)^{*}\).

Dans toute la suite du problème, A désigne une matrice symétrique réelle d'ordre n dont toutes les valeurs propres sont strictement positives.\\
On rappelle que : \(\forall x, x^{\prime} \in \mathbb{R}^{n} \quad\left\langle x, A x^{\prime}\right\rangle=\left\langle x^{\prime}, A x\right\rangle\).\\
2) On suppose dans cette question que : \(U=\mathbb{R}^{n}\) et \(f(x)=\frac{\langle x, A x\rangle}{2}\).

Pour \(y \in \mathbb{R}^{n}\), on définit ainsi \(F_{y}\) sur \(\mathbb{R}^{n}\) par \(F_{y}(x)=\langle x, y\rangle-\frac{\langle x, A x\rangle}{2}\).\\
a) En utilisant un changement de base orthonormale, établir l'encadrement :\\
\(\lambda\|x\|^{2} \leq\langle x, A x\rangle \leq \mu\|x\|^{2}\) lorsque \(\lambda\) (respectivement \(\mu\) ) désigne la plus petite (respectivement la plus grande) valeur propre de \(A\).\\
b) Pour \(x\) et \(h\) deux vecteurs de \(\mathbb{R}^{n}\), exprimer \(F_{y}(x+h)-F_{y}(x)\) en fonction de \(\langle h, A h\rangle\) et \(\langle h, y-A x\rangle\) et établir que : \(F_{y}(x+h)-F_{y}(x) \leq\langle h, y-A x\rangle\).\\
c) Montrer que, pour tout vecteur \(y\) de \(\mathbb{R}^{n}, F_{y}\) admet un maximum obtenu pour : \(x=A^{-1} y\) et préciser \(U(f), f^{*}\) et \(\left(f^{*}\right)^{*}\).\\
3) On reprend la même fonction qu'au 2), c'est-à-dire \(f(x)=\frac{\langle x, A x\rangle}{2}\) mais dans cette question, on suppose que \(U\) est une partie convexe, fermée non vide de \(\mathbb{R}^{n}\). On prolonge, de façon naturelle et pour tout \(y\) de \(\mathbb{R}^{n}, F_{y}\) à \(\mathbb{R}^{n}\) en posant : pour tout \(x \in \mathbb{R}^{n} \quad F_{y}(x)=\langle x, y\rangle-\frac{\langle x, A x\rangle}{2}\).\\
a) Existence d'un maximum.

\begin{itemize}
  \item Montrer que : \(\forall y \in \mathbb{R}^{n} \quad \lim _{\|x\| \rightarrow \infty} F_{y}(x)=-\infty\) et en déduire que pour \(x_{0} \in U\) :\\
il existe \(r\) strictement positif vérifiant \(\left(\|x\|>r \Rightarrow F_{y}(x)<F_{y}\left(x_{0}\right)\right)\).
  \item Établir que l'ensemble \(U_{0}=U \cap\left\{x \in \mathbb{R}^{n},\|x\| \leq r\right\}\) est une partie fermée et bornée de \(\mathbb{R}^{n}\) et en déduire que : \(U(f)=\mathbb{R}^{n}\).\\
b) Unicité d'un élément réalisant le maximum.
  \item Pour \(x\) et \(x^{\prime}\) deux vecteurs de \(U\) et \(y \in \mathbb{R}^{\prime \prime}\), établir la relation :
\end{itemize}

\[
F_{y}\left(\frac{x+x^{\prime}}{2}\right)-\frac{F_{y}(x)}{2}-\frac{F_{y}\left(x^{\prime}\right)}{2}=\frac{\left\langle x-x^{\prime}, A\left(x-x^{\prime}\right)\right\rangle}{8}
\]

\begin{itemize}
  \item En supposant que \(\bar{x}\) et \(\bar{x}\) 'sont deux vecteurs distincts réalisant le maximum de \(F_{y}\), montrer que : \(f^{*}(y)<F_{y}\left(\frac{1}{2}(\bar{x}+\bar{x})\right)\) puis établir une contradiction.
\end{itemize}

\section*{PARTIE III}
Dans toute cette partie, \(c\) désigne un vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\) et \(B\) une matrice carrée non nulle à \(n\) lignes et \(n\) colonnes.\\
On reprend la même fonction et les mêmes conventions qu'en II.3) et on choisit pour \(U\) l'ensemble des vecteurs \(x\) de \(\mathbb{R}^{n}\) vérifiant : \(B x=c\).\\
On note \(\operatorname{Im} M\) et \(\operatorname{ker} M\) l'image et le noyau de l'endomorphisme canoniquement associét à une matrice carrée \(M\) d'ordre \(n\).\\
On suppose que \(c \in \operatorname{Im} B\); ainsi \(U\) est une partie convexe fermée non vide de \(\mathbb{R}^{n}\) (on ne demande pas de le vérifier).\\
D'après les résultats obtenus dans la partie II, on sait que pour tout \(y\) de \(\mathbb{R}^{n}, F_{y}\) admet un unique vecteur \(\bar{x}\) appartenant à \(U\) et réalisant le maximum de \(F_{y}\).\\
L'objectif de cette partie est de donner une caractérisation de \(\bar{x}\) et d'établir un algorithme de recherche.

\begin{enumerate}
  \item Caractérisation de \(\bar{x}\).\\
a) Vérifier que pour tout \(x, x^{\prime}\) de \(\mathbb{R}^{\prime \prime} \quad\left\langle x, B x^{\prime}\right\rangle=\left\langle^{\prime} B x, x^{\prime}\right\rangle\).
\end{enumerate}

Montrer que : \(\operatorname{Im}^{\prime} B \subset(\operatorname{ker} B)^{\perp}\) en désignant par (ker \(\left.B\right)^{\perp}\) l'orthogonal de la partie \(\operatorname{ker} B\).\\
Justifier l'égalité des dimensions de \(\operatorname{Im}^{\prime} B\) et de \((\operatorname{ker} B)^{\perp}\) et en déduire que :\\
\(\operatorname{Im}^{\prime} B=(\operatorname{ker} B)^{\perp} .\left(\right.\) On admettra que : \(\left.\operatorname{rg}(B)=\operatorname{rg}\left({ }^{\prime} B\right)\right)\).\\
b) Lorsque \(h\) est un vecteur de ker \(B\) et \(t\) un réel, établir la relation :

\[
F_{y}(\bar{x}+t h)-F_{y}(\bar{x})=t\langle y-A \bar{x}, h\rangle-t^{2} \frac{\langle h, A h\rangle}{2}
\]

En déduire que \(\bar{x}\) est caractérisé par l'existence de \(\bar{z} \in \mathbb{R}^{n}\) et vérifiant les deux conditions : \(B \bar{x}=c\) et \(y-A \bar{x}={ }^{\prime} B \bar{z}\).\\
2) Un algorithme de recherche de \(\bar{x}\).

On désigne par \(r\) un réel strictement positif et \(z_{0}\) un vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\) et on définit les suites \(\left(z_{p}\right)_{p \in \mathbb{N}}\) et \(\left(x_{p}\right)_{p \in \mathbb{N}}\) de \(\mathbb{R}^{n}\) par :\\
\(\forall p \in \mathbb{N} \quad A x_{p}-y+{ }^{\prime} B z_{p}=0\) et \(z_{p+1}=z_{p}+r\left(B x_{p}-c\right)\)\\
a) Montrer que les deux suites sont bien définies et qu'elles vérifient les deux relations : \(A\left(x_{p}-\bar{x}\right)={ }^{\prime} B\left(\bar{z}-z_{p}\right)\) et \(z_{p+1}-\bar{z}=z_{p}-\bar{z}+r B\left(x_{p}-\bar{x}\right)\).\\
b) Montrer que : \(\forall p \in \mathbb{N}\)

\[
\left\|z_{p+1}-\bar{z}\right\|^{2}=\left\|z_{p}-\bar{z}\right\|^{2}-2 r\left\langle x_{p}-\bar{x}, A\left(x_{p}-\bar{x}\right)\right\rangle+r^{2}\left\|B\left(x_{p}-\bar{x}\right)\right\|^{2} .
\]

c) Démontrer l'existence d'une matrice carrée d'ordre \(n\) symétrique à valeurs propres strictement positives notée \(A^{1 / 2}\) et vérifiant \(\left(A^{1 / 2}\right)^{2}=A\).\\
On note \(A^{-1 / 2}\) la matrice inverse de \(A^{1 / 2}\).

\begin{itemize}
  \item Montrer la relation : \(\left\|B A^{-1 / 2} x\right\|^{2}=\left\langle x, A^{-1 / 2 \prime} B B A^{-1 / 2} x\right\rangle\) pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}^{n}\).
  \item Établir que la matrice \(A^{-1 / 2 \prime} B B A^{-1 / 2}\) est symétrique et que sa plus grande valeur propre \(\alpha\) est strictement positive .
  \item En déduire que pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}^{n}\), on a \(\|B x\|^{2} \leq \alpha\langle x, A x\rangle\).\\
d) On choisit \(r \in] 0, \frac{2}{\alpha}[\).
\end{itemize}

Montrer que : \(\left\|z_{p+1}-\bar{z}\right\|^{2}-\left\|z_{p}-\bar{z}\right\|^{2} \leq r(r \alpha-2)\left\langle x_{p}-\bar{x}, A\left(x_{p}-\bar{x}\right)\right\rangle \leq 0\).\\
En déduire que la suite \(\left(\left\|z_{p}-\bar{z}\right\|\right)_{p \in \mathbb{N}}\) est monotone convergente, puis que \(x_{p}\) converge vers \(\bar{x}\).


\end{document}