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\author{Concepteur : ESSEC}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
Code épreuve : 281

CONCOURS D'ADMISSION DE 2013

OPTION SCIENTIFIQUE

\section*{MATHEMATIQUES}
Vendredi 10 mai de 14 h à 18 h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Le problème comporte quatre parties.\\
On pose : \(E_{0}=\left\{f \in C^{0}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\right.\), bornée sur \(\left.\mathbb{R}\right\}\); si \(f \in E_{0}\), on notera \(N_{0}(f)=\sup _{x \in \mathbb{R}}|f(x)|\).

\section*{Partie I - Construction de la fonction arctan.}
On définit, sous réserve d'existence, la fonction \(\arctan : x \in \mathbb{R} \mapsto \int_{0}^{x} \frac{d t}{1+t^{2}}\).

\begin{enumerate}
  \item Vérifier que la fonction arctan est bien définie sur \(\mathbb{R}\), impaire, de classe \(C^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\) et préciser une expression de \(\frac{d}{d x}(\arctan )\).
  \item Montrer que arctan admet une limite finie, notée provisoirement \(L\), en \(+\infty\) et justifier que arctan est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(]-L, L[\).
  \item Pour tout \(x \in]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\), calculer \(\arctan [\tan (x)]\), en déduire la valeur de \(L\).
  \item Justifier que, pour tout \((x, y) \in \mathbb{R}^{2},|\arctan x-\arctan y| \leq|x-y|\).
  \item Montrer que, pour tout \(x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}\).
\end{enumerate}

Si \(f \in E_{0}\), on définit, sous réserve d'existence, \(\Phi(f): x \in \mathbb{R} \mapsto \int_{0}^{+\infty} \arctan (t x) \frac{f(t)}{1+t^{2}} d t\).\\
L'objectif du problème est d'obtenir quelques propriétés de \(\Phi(f)\) et de \(\Phi\).

\section*{Partie II - Premières propriétés de \(\Phi(f)\) et de \(\Phi\).}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Vérifier que \(E_{0}\) est un sous-espace vectoriel de \(C^{0}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\).
  \item Soit \(f \in E_{0}\), montrer que, pour tout \(x \in \mathbb{R}, \int_{0}^{+\infty} \arctan (t x) \frac{f(t)}{1+t^{2}} d t\) est absolument convergente.
  \item Soit \(f \in E_{0}\), montrer que \(\Phi(f)\) est bornée et \(N_{0}[\Phi(f)] \leq \frac{\pi^{2}}{4} N_{0}(f)\).
  \item Continuité de \(\Phi(f)\) pour \(f \in E_{0}\).
\end{enumerate}

Dans cette question, \(f\) désigne un élément de \(E_{0}\) et \(x\) un réel.\\
a- Soit \(A\) un réel strictement positif et \(h \in \mathbb{R}^{*}\), vérifier que :\\
\(|[\Phi(f)](x+h)-[\Phi(f)](x)| \leq N_{0}(f)\left(\int_{0}^{A} \frac{|\arctan (t(x+h))-\arctan (t x)|}{1+t^{2}} d t+\int_{A}^{+\infty} \frac{|\arctan (t(x+h))-\arctan (t x)|}{1+t^{2}} d t\right)\)\\
b- En déduire que, pour tout \(h \in \mathbb{R}^{*}\), pour tout \(A>0\),

\[
|[\Phi(f)](x+h)-[\Phi(f)](x)| \leq N_{0}(f)\left(|h| \int_{0}^{A} \frac{t}{1+t^{2}} d t+\pi \int_{A}^{+\infty} \frac{d t}{1+t^{2}}\right)
\]

c- Soit \(h \in \mathbb{R}^{*}\), en choisissant \(A=\frac{1}{|h|}\), établir que :

\[
|[\Phi(f)](x+h)-[\Phi(f)](x)| \leq|h| \frac{N_{0}(f)}{2} \ln \left(1+\frac{1}{h^{2}}\right)+\pi N_{0}(f) \arctan |h| .
\]

d- Montrer alors que \(\Phi(f)\) est continue sur \(\mathbb{R}\).\\
e- En déduire que \(\Phi: f \in E_{0} \mapsto \Phi(f)\) est un endomorphisme de \(E_{0}\).

\section*{Partie III - Etude d'un exemple.}
Dans cette partie, on s'intéresse à l'application \(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto g(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan (t x)}{1+t^{2}} d t\).\\
\(g\) est l'image par \(\Phi\) de l'application constante égale à 1 : \(x \in \mathbb{R} \mapsto 1\).\\
10) Vérifier que \(g\) est impaire.\\
11) Dérivabilité de \(g\) sur \(] 0,+\infty[\). Soit \(x\) un réel strictement positif.\\
a- Vérifier que, pour tout \(u \in \mathbb{R},|\arctan (u)| \leq \frac{1}{1+u^{2}}\).\\
b- Soit \(a\) et \(b\) deux réels distincts et \(I\) le segment d'extrémités \(a\) et \(b\). Montrer que :

\[
\left|\arctan b-\arctan a-\frac{b-a}{1+a^{2}}\right| \leq \frac{(b-a)^{2}}{2} \max _{u \in I}\left(\frac{1}{1+u^{2}}\right)
\]

c- Soit \(h \in]-\frac{x}{2}, \frac{x}{2}[\) et \(t\) un réel positif, établir :

\[
\left|\arctan [t(x+h)]-\arctan (t x)-\frac{t h}{1+t^{2} x^{2}}\right| \leq \frac{t^{2} h^{2}}{2} \frac{1}{1+\frac{t^{2} x^{2}}{4}}
\]

d- Montrer alors que, pour tout \(h \in]-\frac{x}{2}, \frac{x}{2}[\),

\[
\left|g(x+h)-g(x)-h \int_{0}^{+\infty} \frac{t}{\left(1+t^{2} x^{2}\right)} \frac{1}{\left(1+t^{2}\right)} d t\right| \leq 2 h^{2} \int_{0}^{+\infty} \frac{t^{2}}{\left(4+t^{2} x^{2}\right)} \frac{1}{\left(1+t^{2}\right)} d t
\]

e- En déduire que \(g\) est dérivable sur \(] 0,+\infty[\) et justifier que, pour tout \(x>0\),

\[
g^{\prime}(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{t}{\left(1+t^{2} x^{2}\right)} \frac{1}{\left(1+t^{2}\right)} d t
\]

f- \(g\) est-elle dérivable sur \(]-\infty, 0\left[\right.\) ? Si oui, que vaut \(g^{\prime}(x)\) pour \(x<0\) ?\\
12) Calcul de \(g^{\prime}(x)\) pour \(x>0\).\\
a- Déterminer \(g^{\prime}(1)\).\\
b- Pour tout \(x \in] 0,1[\cup] 1,+\infty[\), chercher des expressions \(A(x)\) et \(B(x)\), indépendantes de \(t\), telles que, pour tout \(t \in \mathbb{R}, \frac{t}{\left(1+t^{2} x^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}=A(x) \frac{t}{1+t^{2} x^{2}}+B(x) \frac{t}{1+t^{2}}\).\\
c- En déduire que, pour tout \(x \in] 0,1[\cup] 1,+\infty\left[, g^{\prime}(x)=\frac{\ln x}{x^{2}-1}\right.\).\\
d- \(g\) est-elle de classe \(C^{1}\) sur \(] 0,+\infty[\) ?\\
13) Une nouvelle expression de \(g(x)\) pour \(x>0\).\\
a- Justifier, pour tout \(x>0\), la convergence de l'intégrale \(\int_{0}^{x} \frac{\ln t}{t^{2}-1} d t\).\\
b- Montrer que, pour tout \(x>0\), que \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan (t x)}{1+t^{2}} d t=\int_{0}^{x} \frac{\ln t}{t^{2}-1} d t\).\\
14) Etude de la limite de \(g\) en \(+\infty\).\\
a- Démontrer que, pour tout \(x>0, g(x)=\frac{\pi^{2}}{4}-\int_{0}^{+\infty} \arctan \left(\frac{1}{t x}\right) \frac{1}{1+t^{2}} d t\).\\
b- Ecrire, pour tout \(x>0\),

\[
\begin{aligned}
& \int_{0}^{+\infty} \arctan \left(\frac{1}{t x}\right) \frac{1}{1+t^{2}} d t=\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{x}}} \arctan \left(\frac{1}{t x}\right) \frac{1}{1+t^{2}} d t+\int_{\frac{1}{\sqrt{x}}}^{+\infty} \arctan \left(\frac{1}{t x}\right) \frac{1}{1+t^{2}} d t \text { et montrer } \\
& \text { alors que }:\left|\int_{0}^{+\infty} \arctan \left(\frac{1}{t x}\right) \frac{1}{1+t^{2}} d t\right| \leq \frac{\pi}{2} \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x} \int_{\frac{1}{\sqrt{x}}}^{+\infty} \frac{1}{t} \frac{1}{1+t^{2}} d t \leq \frac{\pi}{\sqrt{x}}
\end{aligned}
\]

c- Déterminer alors \(\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)\).\\
15) Application au calcul de \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{2}}\).\\
a- Montrer que \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln t}{1-t^{2}} d t\) converge et calculer sa valeur à l'aide des questions précédentes.\\
b- Vérifier que \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln t}{1-t^{2}} d t=2 \int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1-t^{2}} d t\).\\
c- Soit \(n \in \mathbb{N}\), démontrer que \(\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1-t^{2}} d t=\sum_{k=0}^{n} \int_{0}^{1} t^{2 k} \ln t d t+\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1-t^{2}} t^{2 n+2} d t\) (on justifiera l'existence des intégrales introduites).\\
d- Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), calculer \(\int_{0}^{1} t^{2 n} \ln t d t\).\\
e- Montrer que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1-t^{2}} t^{2 n+2} d t=0\).\\
f- Donner alors la valeur de \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{2}}\). En déduire celle de \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}}\).

\section*{Partie IV - Retour à l'étude de \(\Phi\).}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{15}
  \item Montrer que \(\sup _{f \in E_{0}\{0\}} \frac{N_{0}[\Phi(f)]}{N_{0}(f)}=\frac{\pi^{2}}{4}\).
\end{enumerate}

Dans toute la suite du problème, on considère :

\begin{itemize}
  \item \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que \(|\lambda|<\frac{4}{\pi^{2}}\), on pourra poser \(\gamma=\frac{\pi^{2}}{4}|\lambda|\).
  \item pour tout \(n \in \mathbb{N}, \Phi^{n}=\underbrace{\Phi \circ \cdots \circ \Phi}_{n \text { fois }}\), autrement dit \(\Phi^{0}=i d_{E_{0}}\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(\Phi^{n+1}=\Phi \circ \Phi^{n}\).
  \item \(f \in E_{0} \backslash\{0\}\), on posera \(M=N_{0}(f)\).
  \item pour tout \(n \in \mathbb{N}, \varphi_{n}=\lambda^{n} \Phi^{n}(f)\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{16}
  \item Vérifier que, pour tout \(n \in \mathbb{N}, \varphi_{n+1}=\lambda \Phi\left(\varphi_{n}\right)\) et \(N_{0}\left(\varphi_{n+1}\right) \leq \gamma N_{0}\left(\varphi_{n}\right)\).
  \item Peut-on avoir \(\lambda \Phi(f)=f\) ? Que peut-on alors dire de \(i d_{E_{0}}-\lambda \Phi\) ?
  \item Démontrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}, N_{0}\left(\varphi_{n}\right) \leq \gamma^{n} M\) et que la série \(\sum_{n \geq 0} N_{0}\left(\varphi_{n}\right)\) converge.
  \item Montrer alors que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), la série \(\sum_{n \geq 0} \varphi_{n}(x)\) converge.
\end{enumerate}

On note alors \(\varphi: x \in \mathbb{R} \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \varphi_{n}(x)\).\\
21) Montrer que \(\varphi\) est bornée sur \(\mathbb{R}\).\\
22) Continuité de \(\varphi\).\\
a- Vérifier que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), pour tout \(x \in \mathbb{R}\), pour tout \(h \in \mathbb{R}^{*}\),

\[
\left|\varphi_{n+1}(x+h)-\varphi_{n+1}(x)\right| \leq|\lambda| N_{0}\left(\varphi_{n}\right)\left[\frac{|h|}{2} \ln \left(1+\frac{1}{h^{2}}\right)+\pi \arctan |h|\right] .
\]

b- En déduire que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), pour tout \(h \in \mathbb{R}^{*}\),

\[
|\varphi(x+h)-\varphi(x)| \leq|\lambda|\left(\sum_{n=0}^{+\infty} N_{0}\left(\varphi_{n}\right)\right)\left[\frac{|h|}{2} \ln \left(1+\frac{1}{h^{2}}\right)+\pi \arctan |h|\right]+|f(x+h)-f(x)| .
\]

c- Justifier que \(\varphi\) est continue sur \(\mathbb{R}\).\\
23) Application aux valeurs spectrales de \(\Phi\).\\
a- Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), calculer \(\left(i d_{E_{0}}-\lambda \Phi\right)\left(\sum_{k=0}^{n+1} \varphi_{k}\right)\) et montrer que

\[
\lim _{n \rightarrow+\infty} N_{0}\left[\left(i d_{E_{0}}-\lambda \Phi\right)\left(\sum_{k=0}^{n+1} \varphi_{k}\right)-f\right]=0
\]

b- Montrer alors que \(\left(i d_{E_{0}}-\lambda \Phi\right)(\varphi)=f\). Que peut-on dire de \(i d_{E_{0}}-\lambda \Phi\) ?\\
c- Soit \(\mu \in \mathbb{R}^{*}\) tel que \(\Phi-\mu i d_{E_{0}}\) ne soit pas bijective, montrer que \(|\mu| \leq \frac{\pi^{2}}{4}\).


\end{document}