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\begin{document}
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Conception : ESCP BS - HEC Paris

\section*{MATHÉMATIQUES 2 APPROFONDIES FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE VOIE GÉNÉRALE}
Vendredi 24 avril 2026 de 14h à 18h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{Notations, rappels et définitions spécifiques}
\begin{itemize}
  \item[-] Soit \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) un espace probabilisé. Toutes les variables aléatoires de cet énoncé sont définies sur cet espace.
  \item[-] Si \(Z\) est une variable aléatoire réelle, on note, sous réserve d'existence, \(\mathbb{E}(Z)\) son espérance et \(\mathbb{V}(Z)\) sa variance.
  \item[-] Si \(Z\) est une variable aléatoire réelle, on note \(F_{Z}\) la fonction de répartition de \(Z\).
  \item[-] Si \((X, Y)\) est un couple aléatoire de \(\mathbb{R}^{2}\), on note \(F_{(X, Y)}\) la fonction de répartition de ce couple i.e, la fonction définie par :
\[
\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; \quad F_{(X, Y)}(x, y)=\mathbb{P}([X \leqslant x] \cap[Y \leqslant y]) .
\]
  \item[-] Soient \(D \subset \mathbb{R}^{2}\) et \(F\) une fonction définie sur un ensemble qui contient \(D\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\). On dit que \(F\) est 2 -croissante sur \(D\) si pour tout couple \(\left(\left(a_{1}, a_{2}\right),\left(b_{1}, b_{2}\right)\right) \in D^{2}\) tels que \(a_{1} \leqslant b_{1}\) et \(a_{2} \leqslant b_{2}\),
\[
F\left(b_{1}, b_{2}\right)-F\left(a_{1}, b_{2}\right)-F\left(b_{1}, a_{2}\right)+F\left(a_{1}, a_{2}\right) \geqslant 0
\]
ou encore
\[
F\left(a_{1}, b_{2}\right)+F\left(b_{1}, a_{2}\right) \leqslant F\left(b_{1}, b_{2}\right)+F\left(a_{1}, a_{2}\right) .
\]
  \item[-] Si \(F\) est 2 -croissante sur \(\mathbb{R}^{2}\), on dit plus simplement que \(F\) est 2 -croissante.
  \item[-] Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles. On dit que \(X=Y\) presque sûrement et on note \(X=Y\) ps si \(\mathbb{P}(X=Y)=1\).
  \item[-] Etant donné un intervalle \(] a, b\left[\right.\) de \(\mathbb{R}(-\infty \leqslant a<b \leqslant+\infty)\), on note \(\mathcal{F}_{(a, b)}\) l'ensemble des fonctions continues et croissantes sur \(\mathbb{R}\) à valeurs dans [0, 1], de classe \(C^{1}\) sur ] \(a, b[\), strictement croissantes sur \(] a, b[\), de limite nulle en \(a\) et de limite égale à 1 en \(b\).
\end{itemize}

L'énoncé comporte trois parties.\\
La partie I porte sur des résultats généraux sur les fonctions de répartition de couple.\\
La partie II s'intéresse aux fonctions 2-croissantes et aux copules 2-dimensionnelles.\\
La partie III est dédiée au théorème de Sklar et à quelques exemples.\\
Le mot FIN marque la fin de l'énoncé.\\
Pour les programmes Python, on dispose d'un petit formulaire à la fin du sujet. On suppose avoir importé des bibliothèques de la façon suivante :

\begin{verbatim}
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy.random as rd
import scipy.special as sp
\end{verbatim}

Toute fonction Python écrite en réponse à une question de l'énoncé peut être utilisée dans les programmes ou fonctions Python demandées par la suite.

\section*{Préliminaires}
On considère un intervalle \(] a, b[\) de \(\mathbb{R}\) où \(-\infty \leqslant a<b \leqslant+\infty\).

\begin{itemize}
  \item[1.] Soit \(g \in \mathcal{F}_{(a, b)}\). Montrer que la restriction de \(g\) à \(] a, b[\) réalise une bijection de \(] a, b[\) dans \(] 0,1[\). Par commodité, dans tout le problème, pour toute fonction \(g \in \mathcal{F}_{(a, b)}\), on note \(g^{-1}\) la réciproque de la restriction de \(g\) à \(] a, b[\).
  \item[2.] Soit \(X\) une variable aléatoire admettant \(f\) comme densité de probabilité où \(f\) est une fonction continue et strictement positive sur \(] a, b[\) et nulle en dehors de \(] a, b[\).\\
Montrer que \(F_{X} \in \mathcal{F}_{(a, b)}\).
\end{itemize}

\section*{I) Fonction de répartition d'un couple : propriétés et exemples.}
Soient \((X, Y)\) un couple aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{R}^{2}\) et \((x, y) \in \mathbb{R}^{2}\).

\begin{itemize}
  \item[3.] Montrer que \(\lim _{t \rightarrow-\infty} F_{(X, Y)}(t, y)=0\) et \(\lim _{t \rightarrow-\infty} F_{(X, Y)}(x, t)=0\).
  \item[4.] (a) Montrer que \(F_{X}(x)=\mathbb{P}\left(\bigcup_{n \in \mathbb{N}}[X \leqslant x] \cap[Y \leqslant n]\right)\).
  \begin{itemize}
    \item[(b)] En déduire que \(F_{X}(x)=\lim _{r \rightarrow+\infty} F_{(X, Y)}(x, r)\).
  \end{itemize}
  \item[5.] Montrer que \(F_{Y}(y)=\lim _{t \rightarrow+\infty} F_{(X, Y)}(t, y)\).
  \item[6.] En déduire que \(\lim _{t \rightarrow+\infty}\left(\lim _{r \rightarrow+\infty} F_{(X, Y)}(t, r)\right)=\lim _{r \rightarrow+\infty}\left(\lim _{t \rightarrow+\infty} F_{(X, Y)}(t, r)\right)=1\).
  \item[7.] Montrer que \(F_{(X, Y)}\) est 2-croissante.
  \item[8.] (a) Montrer que \(F_{(X, Y)}(x, y) \leqslant \min \left(F_{X}(x), F_{Y}(y)\right)\).
  \begin{itemize}
    \item[(b)] Montrer que \(F_{(X, Y)}(x, y) \geqslant \max \left(F_{X}(x)+F_{Y}(y)-1,0\right)\).
  \end{itemize}
\end{itemize}

On vient de démontrer le théorème des bornes de Fréchet-Hoeffding :

\[
\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \max \left(F_{X}(x)+F_{Y}(y)-1,0\right) \leqslant F_{(X, Y)}(x, y) \leqslant \min \left(F_{X}(x), F_{Y}(y)\right) .
\]

On traite dans les questions 9, 10, 11 et 12 un premier exemple.

Soit \(] a_{1}, b_{1}[\) et \(] a_{2}, b_{2}\left[\right.\) deux intervalles de \(\mathbb{R}\) avec \(-\infty \leqslant a_{1}<b_{1} \leqslant+\infty\) et \(-\infty \leqslant a_{2}<b_{2} \leqslant+\infty\). Soit \(\left(F_{1}, F_{2}\right) \in \mathcal{F}_{\left(a_{1}, b_{1}\right)} \times \mathcal{F}_{\left(a_{2}, b_{2}\right)}\).

On suppose dans cet exemple seulement que : \(\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, F_{(X, Y)}(x, y)=\min \left(F_{1}(x), F_{2}(y)\right)\).

\begin{itemize}
  \item[9.] Montrer que \(F_{X}=F_{1}\) et \(F_{Y}=F_{2}\).
  \item[10.] Notons \(U=F_{1}(X)\) et \(V=F_{2}(Y)\).
  \begin{itemize}
    \item[(a)] Déterminer les lois de \(U\) et \(V\).
    \item[(b)] Déterminer la fonction de répartition de \((U, V)\).
    \item[(c)] Réprésenter sur le plan rapporté à un repère ( \(0, \vec{i}, \vec{j}\) ), l'ensemble
\[
\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \left\lvert\, \frac{1}{2} \leqslant F_{(U, V)}(x, y) \leqslant \frac{2}{3}\right.\right\} .
\]
    \item[(d)] Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\) tel que \(n \geqslant 2\). Montrer que :
\[
\mathbb{P}\left(U-V>\frac{1}{n}\right) \leqslant \sum_{k=1}^{n-1} \mathbb{P}\left(\left[\frac{k}{n}<U \leqslant \frac{k+1}{n}\right] \cap\left[V \leqslant \frac{k}{n}\right]\right) .
\]
    \item[(e)] En déduire que \(\mathbb{P}(U \leqslant V)=1\) puis \(\mathbb{P}(U=V)=1\).
    \item[(f)] On suppose que \(Y(\Omega) \subset] a_{2}, b_{2}\). Montrer que \(X=F_{1}^{-1}\left(F_{2}(Y)\right)\) ps.
  \end{itemize}
  \item[11.] On suppose que \(X(\Omega) \subset] a_{1}, b_{1}[\) et \(Y(\Omega) \subset] a_{2}, b_{2}[\). Montrer qu'il existe deux fonctions \(g\) et \(h\) croissantes telles que \(X=g(Y)\) ps et \(Y=h(X)\) ps.\\
On dit que les variables \(X\) et \(Y\) sont comonotones.
  \item[12.] Python On suppose que \(F_{1}\) est la fonction de répartition d'une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite et \(F_{2}\) est la fonction de répartition d'une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre 1.\\
Écrire une fonction Python, Nuage1 qui représente dans \(\mathbb{R}^{2}, 100\) réalisations de \((X, Y)\).
\end{itemize}

On traite dans les questions 13, 14, 15, 16 et 17 un second exemple.

Soit \(] a_{1}, b_{1}[\) et \(] a_{2}, b_{2}\left[\right.\) deux intervalles de \(\mathbb{R}\) avec \(-\infty \leqslant a_{1}<b_{1} \leqslant+\infty\) et \(-\infty \leqslant a_{2}<b_{2} \leqslant+\infty\). Soit \(\left(F_{1}, F_{2}\right) \in \mathcal{F}_{\left(a_{1}, b_{1}\right)} \times \mathcal{F}_{\left(a_{2}, b_{2}\right)}\).

On suppose dans cet exemple seulement que :

\[
\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \quad F_{(X, Y)}(x, y)=\max \left(F_{1}(x)+F_{2}(y)-1,0\right) .
\]

\begin{itemize}
  \item[13.] Montrer que \(F_{X}=F_{1}\) et \(F_{Y}=F_{2}\).
  \item[14.] Notons \(U=F_{1}(X)\) et \(V=F_{2}(Y)\).
  \begin{itemize}
    \item[(a)] Déterminer les lois des variables aléatoires \(U\) et \(1-V\) ainsi que la fonction de répartition du couple \((U, 1-V)\).
    \item[(b)] En déduire \(\mathbb{P}(U=1-V)=1\).
    \item[(c)] On suppose que \(Y(\Omega) \subset] a_{2}, b_{2}\). Montrer que \(X=F_{1}^{-1}\left(1-F_{2}(Y)\right)\) ps.
  \end{itemize}
  \item[15.] On suppose que \(X(\Omega) \subset] a_{1}, b_{1}[\) et \(Y(\Omega) \subset] a_{2}, b_{2}[\). Montrer qu'il existe deux fonctions \(g\) et \(h\) décroissantes telles que \(X=g(Y)\) ps et \(Y=h(X)\) ps.\\
On dit que les variables \(X\) et \(Y\) sont contra-monotones.
  \item[16.] Python On suppose que \(F_{1}\) est la fonction de répartition d'une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite et \(F_{2}\) est la fonction de répartition d'une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance 1 et de variance 4.\\
Écrire une fonction Python, Nuage2 qui trace dans \(\mathbb{R}^{2}, 100\) réalisations de \((X, Y)\).
  \item[17.] Les deux graphes obtenus sont représentés dans la figure ci-dessous, expliquer quel graphe correspond à quel exemple.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
      \includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{e1945df5-1d06-4b94-bc63-7c294097db48-04_403_536_1549_449}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{(a) Nuage1 ou Nuage2?}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
      \includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{e1945df5-1d06-4b94-bc63-7c294097db48-04_401_525_1551_1123}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{(b) Nuage1 ou Nuage2 ?}
\end{center}
\end{figure}

\end{itemize}

\section*{II) Fonctions 2-croissantes et copules 2-dimensionnelles.}
Partie A : Fonctions 2-croissantes

\begin{itemize}
  \item[18.] Soit \(f_{1}: \begin{array}{ll}\mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R} \\ (x, y) & \mapsto \max (x, y)\end{array}\) et \(\left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2}\).
  \begin{itemize}
    \item[(a)] Montrer que \(t \mapsto f_{1}\left(t, y_{0}\right)\) et \(t \mapsto f_{1}\left(x_{0}, t\right)\) sont croissantes.
    \item[(b)] Montrer que \(f_{1}\) n'est pas 2-croissante.
  \end{itemize}
  \item[19.] Soit \(f_{2}: \mathbb{R}^{2} \quad \rightarrow \mathbb{R} \quad\) ( \(x, y\) ) \(\quad \mapsto \quad x y\).
\end{itemize}

\begin{itemize}
  \item[]
  \begin{itemize}
    \item[(a)] Montrer que \(f_{2}\) est 2-croissante .
    \item[(b)] Montrer qu'il existe un \(y \in \mathbb{R}\) tel que \(t \mapsto f_{2}(t, y)\) ne soit pas croissante.
  \end{itemize}
  \item[20.] Que déduire des deux questions précédentes ?
  \item[21.] Soient \(I\) et \(J\) deux intervalles ouverts de \(\mathbb{R}\) et \(F\) une fonction de \(\mathbb{R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) de classe \(C^{2}\), 2-croissante sur \(I \times J\).
  \begin{itemize}
    \item[(a)] Soit \((x, y) \in \mathbb{R}^{2}\). Montrer que :
\[
\partial_{1,2}^{2} F(x, y)=\lim _{h \rightarrow 0}\left(\lim _{t \rightarrow 0} \frac{F(x+h, y+t)-F(x+h, y)-F(x, y+t)+F(x, y)}{h t}\right) .
\]
    \item[(b)] En déduire que \(\forall(x, y) \in I \times J, \partial_{1,2}^{2} F(x, y) \geqslant 0\).
  \end{itemize}
  \item[22.] Soient \(I\) et \(J\) deux intervalles ouverts de \(\mathbb{R}\) et \(F\) une fonction de \(\mathbb{R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) de classe \(C^{2}\).
  \begin{itemize}
    \item[(a)] Soit \(\left(\left(a_{1}, a_{2}\right),\left(b_{1}, b_{2}\right)\right) \in(I \times J)^{2}\) tel que \(a_{1} \leqslant b_{1}\) et \(a_{2} \leqslant b_{2}\). Montrer que:
\[
F\left(b_{1}, b_{2}\right)-F\left(a_{1}, b_{2}\right)-F\left(b_{1}, a_{2}\right)+F\left(a_{1}, a_{2}\right)=\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left(\int_{a_{1}}^{b_{1}} \partial_{1,2}^{2} F(x, y) \mathrm{d} x\right) \mathrm{d} y .
\]
    \item[(b)] En déduire que \(F\) est 2-croissante sur \(I \times J\) si et seulement si
\[
\forall(x, y) \in I \times J, \quad \partial_{1,2}^{2} F(x, y) \geqslant 0 .
\]
  \end{itemize}
  \item[23.] Soit \(F\) une fonction de \(\mathbb{R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\), 2-croissante telle que \(\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}\),
\[
\lim _{t \rightarrow-\infty} F(t, y)=\lim _{t \rightarrow-\infty} F(x, t)=0 .
\]
Montrer que pour tout couple \((x, y) \in \mathbb{R}^{2}\), les fonctions \(t \mapsto F(t, y)\) et \(t \mapsto F(x, t)\) sont croissantes.
\end{itemize}

\section*{Partie B : Copule 2-dimensionnelle}
Définition. Une copule \(C\) est une fonction à valeurs réelles, définie sur \([0,1]^{2}, 2\)-croissante sur \([0,1]^{2}\) telle que :

\[
\forall x \in[0,1], C(0, x)=C(x, 0)=0 \text { et } C(1, x)=C(x, 1)=x .
\]

On admet le théorème suivant :\\
Théorème. Si \(C\) est une copule alors il existe un couple aléatoire \((U, V)\), à valeurs dans \([0,1]^{2}\), tel que \(C\) est la fonction de répartition restreinte à \([0,1]^{2}\) de ce couple.

On dit que le couple \((U, V)\) est associé à la copule \(C\).\\
Soit \(C\) une copule et ( \(U, V\) ) un couple aléatoire associé à \(C\).

\begin{itemize}
  \item[24.] Déterminer les lois de \(U\) et \(V\).
  \item[25.] On définit
\[
C^{*}: \begin{array}{lll}
{[0,1]^{2}} & \rightarrow \mathbb{R} \\
(u, v) & \mapsto u+v-1+C(1-u, 1-v)
\end{array} .
\]
Montrer que \(C^{*}\) est une copule.\\
C'est la copule de survie associée à \(C\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{25}
  \item Soit \(C\) une copule.
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item[(a)] Montrer que :
\[
\forall v \in[0,1], \forall u_{1}, u_{2} \in[0,1], u_{1} \leqslant u_{2} \Rightarrow 0 \leqslant C\left(u_{2}, v\right)-C\left(u_{1}, v\right) \leqslant u_{2}-u_{1}
\]
et
\[
\forall u \in[0,1], \forall v_{1}, v_{2} \in[0,1], v_{1} \leqslant v_{2} \Rightarrow 0 \leqslant C\left(u, v_{2}\right)-C\left(u, v_{1}\right) \leqslant v_{2}-v_{1} .
\]
  \item[(b)] En déduire que :
\[
\forall\left(u_{1}, v_{1}\right),\left(u_{2}, v_{2}\right) \in[0,1]^{2},\left|C\left(u_{2}, v_{2}\right)-C\left(u_{1}, v_{1}\right)\right| \leqslant\left|u_{2}-u_{1}\right|+\left|v_{2}-v_{1}\right| .
\]
  \item[(c)] Montrer que \(C\) est continue sur \([0,1]^{2}\).
\end{itemize}

\section*{III) Démonstration du théorème de Sklar et application.}
\section*{Partie A : le théorème}
Soient \(] a, b[\) et \(] c, d[\) deux intervalles de \(\mathbb{R}\) où \(-\infty \leqslant a<b \leqslant+\infty\) et \(-\infty \leqslant c<d \leqslant+\infty\).\\
Soit \((X, Y)\) un couple aléatoire tel que \(\left(F_{X}, F_{Y}\right) \in \mathcal{F}_{(a, b)} \times \mathcal{F}_{(c, d)}\).\\
27. Posons

\[
\begin{aligned}
{[0,1]^{2} } & \rightarrow \mathbb{R} \\
C:(x, y) & \mapsto\left\{\begin{array}{ll}
F_{(X, Y)}\left(F_{X}^{-1}(x), F_{Y}^{-1}(y)\right) & \text { si }(x, y) \in] 0,1\left[{ }^{2}\right. \\
x & \text { si } y=1 \\
y & \text { si } x=1 \\
0 & \text { sinon }
\end{array} .\right.
\end{aligned}
\]

\begin{itemize}
  \item[(a)] Montrer que pour tous \((x, y) \in] 0,1\left[{ }^{2}\right.\). On a :
\[
C(x, y)=\mathbb{P}\left(\left[F_{X}(X) \leqslant x\right] \cap\left[F_{Y}(Y) \leqslant y\right]\right) .
\]
Montrer que cette formule reste valide pour tous \((x, y) \in[0,1]^{2}\).
  \item[(b)] En déduire que \(C\) est 2-croissante sur \([0,1]^{2}\).
  \item[(c)] En déduire que \(C\) est une copule.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{27}
  \item Montrer qu'il existe une unique copule \(C\) telle que :
\end{enumerate}

\[
\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, F_{(X, Y)}(x, y)=C\left(F_{X}(x), F_{Y}(y)\right) .
\]

On dit que \(C\) est la représentation copule de \(F_{(X, Y)}\). Ce dernier résultat est le théorème de Sklar. On admettra la réciproque :\\
Théorème. Soit \(C\) une copule, \(F_{1}\) et \(F_{2}\) deux fonctions de répartition de variable aléatoire réelle à densité. La fonction \(F: \begin{array}{ll}\mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R} \\ (x, y) & \mapsto C\left(F_{1}(x), F_{2}(x)\right)\end{array}\) est la fonction de répartition d'un couple aléatoire \((X, Y)\) à valeurs dans \(\mathbb{R}^{2}\).\\
29. Soit \(C\) une copule, \(F_{1}\) et \(F_{2}\) deux fonctions de répartition de variable aléatoire réelle à densité et \(F\) la fonction de répartition du couple \(\left(X_{1}, X_{2}\right)\) définie par :

\[
F: \begin{array}{ll}
\mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R} \\
\left(x_{1}, x_{2}\right) & \mapsto C\left(F_{1}\left(x_{1}\right), F_{2}\left(x_{2}\right)\right)
\end{array} .
\]

Montrer que \(F_{X_{1}}=F_{1}\) et \(F_{X_{2}}=F_{2}\).

\section*{Partie B : un premier exemple, la distribution logistique bivariée de Gumbel.}
Soit \(\left(Z_{1}, Z_{2}\right)\) un couple aléatoire de \(\mathbb{R}^{2}\) tel que

\[
\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, F_{\left(Z_{1}, Z_{2}\right)}(x, y)=\frac{1}{1+e^{-x}+e^{-y}} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{29}
  \item Montrer que \(Z_{1}\) et \(Z_{2}\) sont des variables aléatoires réelles à densité et déterminer une densité pour chaque variable.
  \item Déterminer la représentation copule de \(F\). Cette copule est appelée copule logistique de Gumbel.
\end{enumerate}

\section*{Partie C : un deuxième exemple, la famille des copules de Gumbel-Barnett.}
Soit \(\theta \in[0,1]\). On définit

\[
\begin{aligned}
{[0,1]^{2} } & \rightarrow \mathbb{R} \\
C_{\theta}: \quad(u, v) & \mapsto\left\{\begin{array}{ll}
u v e^{-\theta \ln (u) \ln (v)} & \text { si }(u, v) \in] 0,1]^{2} \\
0 & \text { sinon }
\end{array} .\right.
\end{aligned}
\]

Soit \(\left.\left(u_{1}, v_{1}\right) \in\right] 0,1\left[{ }^{2}\right.\).\\
32. Soit \(g: \begin{array}{lll}{[0,1]} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ \theta & \mapsto & \theta^{2} \ln \left(u_{1}\right) \ln \left(v_{1}\right)-\theta\left(1+\ln \left(u_{1}\right)+\ln \left(v_{1}\right)\right)+1\end{array}\).

\begin{itemize}
  \item[(a)] Dresser les tableaux de variation de \(g\) selon les valeurs de
\[
\theta_{*}=\frac{1+\ln \left(u_{1}\right)+\ln \left(v_{1}\right)}{2 \ln \left(u_{1}\right) \ln \left(v_{1}\right)} .
\]
  \item[(b)] Montrer que \(g\) est toujours positive.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{32}
  \item Montrer que \(C_{\theta}\) est \(C^{2}\) sur \(] 0,1\left[{ }^{2}\right.\) et est 2-croissante sur \(] 0,1\left[{ }^{2}\right.\).
  \item Montrer que \(C_{\theta}\) est 2-croissante sur \([0,1]^{2}\).
  \item Montrer que \(C_{\theta}\) est une copule.
  \item Soit \((X, Y)\) un couple aléatoire de \(\mathbb{R}^{2}\) de fonction de répartition
\end{enumerate}

\[
\begin{array}{lll} 
& \mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R} \\
F_{(X, Y)}: & (x, y) & \mapsto\left\{\begin{array}{ll}
\left(1-e^{-x}\right)\left(1-e^{-2 y}\right) e^{-\ln \left(1-e^{-x}\right) \ln \left(1-e^{-2 y}\right)} & \text { si }(x, y) \in\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{2} \\
0 & \text { sinon }
\end{array} .\right.
\end{array}
\]

Déterminer les lois de \(X\) et de \(Y\).

\section*{I. Simulations probabilistes}
\begin{verbatim}
import numpy.random as rd
\end{verbatim}

\begin{center}
\begin{tabular}[t]{|l|l|}
\hline
rd.random([q,r]) & Simule une réalisation d'une matrice aléatoire de dimension \((q, r)\) dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi \(\mathcal{U}([0,1])\). \\
\hline
rd.random(n) & Simule une réalisation d'un vecteur ligne aléatoire de taille \(n\) dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi \(\mathcal{U}([0,1])\). \\
\hline
rd.exponential (a, [q,r]) & Simule une réalisation d'une matrice aléatoire de dimension \((q, r)\) dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi \(\mathcal{E}\left(\frac{1}{a}\right)\). \\
\hline
rd.exponential (a, n) & Simule une réalisation d'un vecteur ligne aléatoire de taille \(n\) dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi \(\mathcal{E}\left(\frac{1}{a}\right)\). \\
\hline
rd.normal(m,d,[q,r]) & Simule une réalisation d'une matrice aléatoire de dimension \((q, r)\) dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi \(\mathcal{N}\left(m, d^{2}\right)\) \\
\hline
rd.normal(m,d,n) & Simule une réalisation d'un vecteur ligne aléatoire de taille \(n\) dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi \(\mathcal{N}\left(m, d^{2}\right)\) \\
\hline
rd.uniforme(a,b,[q,r]) & Simule une réalisation d'une matrice aléatoire de dimension \((q, r)\) dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi \(\mathcal{U}([a, b])\). \\
\hline
rd.uniforme(a,b,n) & Simule une réalisation d'un vecteur ligne aléatoire de taille \(n\) dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi \(\mathcal{U}([a, b])\). \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Si le paramètre [ q, r ] est omis, elles renvoient un seul coefficient suivant les mêmes contraintes.\\
Pour obtenir la fonction de répartition \(\Phi\) de la loi normale centrée réduite, on utilise la bibliothèque scipy :

\begin{verbatim}
import scipy.special as sp
\end{verbatim}

\begin{center}
\begin{tabular}[t]{|l|l|}
\hline
sp.ndtr(x) & renvoie \(\Phi(x)\). \\
\hline
sp.ndtri(p) & renvoie \(\Phi^{-1}(p)\). \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\section*{II. Graphiques}
\begin{verbatim}
import matplotlib.pyplot as plt
\end{verbatim}

\begin{center}
\begin{tabular}[t]{|l|l|}
\hline
plt.plot(X,Y,linestyle='',marker='*') & Génère la courbe des points définis par les listes \(X\) et \(Y\), linestyle permet de relier ou non les points et marker est la marque des points. \\
\hline
plt.show() & Affiche le graphique. \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

FIN


\end{document}