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\begin{document}
\section*{HEC, ESCP-EAP, EM Lyon 2003, Math 2, option scientifique.}
Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont définies sur un même espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{B}, P\) ) et à valeurs réelles.\\
L'espérance d'une variable aléatoire \(X\) est notée \(E(X)\). Si \(A\) est un événement de probabilité non nulle on note \(P(E / A)\) la probabilité conditionnelle sachant \(A\) de l'événement \(E\).\\
Si \(n\) est un entier naturel non nul et si \(x_{1}, \ldots, x_{n}\) sont \(n\) réels on note \(\min \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\) ou \(\min _{1 \leqslant i \leqslant n} x_{i}\) le plus petit d'entre eux.\\
On rappelle que deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) prenant des valeurs positives ou nulles sont indépendantes si et seulement si, pour tout couple ( \(a, b\) ) de réels positifs ou nuls, on a :

\[
P([X \leqslant a] \cap[Y \leqslant b])=P([X \leqslant a]) P([Y \leqslant b])
\]

On rappelle qu'une variable aléatoire \(X\) prenant des valeurs positives ou nulles suit une loi exponentielle si et seulement si elle vérifie la propriété, dite d'absence de mémoire :

\[
\forall(x, y) \in \mathbb{R}_{+}^{2} \quad P([X>x+y] /[X>x])=P([X>y])
\]

L'objet du problème est l'obtention de diverses caractérisations de la loi exponentielle.

\section*{Partie I: Un résultat d'analyse}
On considère une fonction réelle \(\varphi\) continue sur \([0,1]\). On note \(M\) le maximum de la fonction \(|\varphi|\) sur \([0,1]\).\\
Pour tout entier naturel \(n\) non nul et tout réel \(v\) de \([0,1]\), on note \(Y_{n, v}\) une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(v\).

\begin{enumerate}
  \item Soit \(n\) un entier naturel non nul, \(x\) un réel de \(] 0,1[, \varepsilon\) un réel strictement positif vérifiant les inégalités
\end{enumerate}

\[
0<x-\varepsilon<x<x+\varepsilon<1
\]

a) Comparer, pour tout réel \(v\) de \([x+\varepsilon, 1]\), les événements \(\left[Y_{n, v} \leqslant n x\right]\) et \(\left[\left|Y_{n, v}-n v\right| \geqslant n(v-x)\right]\) et en déduire les inégalités:

\[
P\left(\left[Y_{n, v} \leqslant n x\right]\right) \leqslant \frac{v(1-v)}{n \varepsilon^{2}} \leqslant \frac{1}{4 n \varepsilon^{2}}
\]

b) Justifier d'une façon analogue, pour tout réel \(v\) de \([0, x-\varepsilon]\), l'inégalité :

\[
P\left(\left[Y_{n, v}>n x\right]\right) \leqslant \frac{1}{4 n \varepsilon^{2}}
\]

c) Établir les inégalités :

\[
\left|\int_{x+\varepsilon}^{1} \varphi(v) P\left(\left[Y_{n, v} \leqslant n x\right]\right) \mathrm{d} v\right| \leqslant \frac{M(1-x)}{2 n \varepsilon^{2}} \text { et }\left|\int_{0}^{x-\varepsilon} \varphi(v)\left(1-P\left(\left[Y_{n, v} \leqslant n x\right]\right)\right) \mathrm{d} v\right| \leqslant \frac{M x}{2 n \varepsilon^{2}}
\]

d) En déduire l'inégalité :

\[
\left|\int_{0}^{x} \varphi(v) \mathrm{d} v-\int_{0}^{1} \varphi(v) P\left(\left[Y_{n, v} \leqslant n x\right]\right) \mathrm{d} v\right| \leqslant\left(\frac{1}{4 n \varepsilon^{2}}+2 \varepsilon\right) M
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Établir que, pour tout réel \(x\) de \(] 0,1[\), on a, pour tout entier naturel \(n\) assez grand, l'inégalité:
\end{enumerate}

\[
\left|\int_{0}^{x} \varphi(v) \mathrm{d} v-\int_{0}^{1} \varphi(v) P\left(\left[Y_{n, v} \leqslant n x\right]\right) \mathrm{d} v\right| \leqslant \frac{9 M}{4 \sqrt[3]{n}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item On suppose maintenant que la fonction \(\varphi\) vérifie, pour tout entier naturel \(n\),
\end{enumerate}

\[
\int_{0}^{1} \varphi(v) v^{n} \mathrm{~d} v=0
\]

a) Justifier, pour tout polynôme \(P\) à coefficient réels, l'égalité : \(\int_{0}^{1} \varphi(v) P(v) \mathrm{d} v=0\).\\
b) Déduire des questions précédentes que, pour tout réel \(x\) de \(] 0,1[\), on a l'égalité :

\[
\int_{0}^{x} \varphi(v) \mathrm{d} v=0
\]

c) Montrer que la fonction \(\varphi\) est nulle.

Ainsi, on a montré dans cette partie que si \(\varphi\) est une fonction continue sur \([0,1]\) vérifiant pour tout entier naturel \(n, \int_{0}^{1} \varphi(v) v^{n} \mathrm{~d} v=0\), alors \(\varphi\) est nulle.\\
Dans toute la suite du problème, on considère une suite \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) de variables aléatoires indépendantes, positives ou nulles, admettant toutes la même densité (nulle sur l'intervalle \(]-\infty, 0[\) ) dont on note \(f\) la restriction à l'intervalle [ \(0,+\infty[\). On suppose que la fonction \(f\) est continue et strictement positive sur \([0,+\infty[\).\\
On note \(F\) la restriction à l'intervalle [ \(0,+\infty\) [ de la fonction de répartition commune à toutes ces variables.\\
On suppose de plus que \(X_{1}\) (et donc chaque variable \(X_{i}\) ) admet une espérance.

\section*{Partie II: Caractérisations de la loi exponentielle à l'aide du minimum d'un \(n\)-échantillon}
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(I_{n}\) l'application définie, pour tout \(\omega\) de \(\Omega\), par \(I_{n}(\omega)=\min _{1 \leqslant i \leqslant n} X_{i}(\omega)\) et on admet que \(I_{n}\) est une variable aléatoire qui admet une espérance.

\begin{enumerate}
  \item Déterminer à l'aide de \(F\), pour tout entier naturel \(n\) non nul, la fonction de répartition de \(I_{n}\).
  \item Dans cette question, on suppose que la loi de \(X_{1}\) (qui est la loi commune à tous les \(X_{i}\) ) est exponentielle de paramètre \(\lambda\) strictement positif.\\
a) Montrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul, la variable \(n I_{n}\) a même loi que \(X_{1}\).\\
b) Déterminer, pour tout entier naturel \(n\) non nul, l'espérance de \(I_{n}\).
\end{enumerate}

L'objet des questions suivantes est d'établir que chacune de ces propriétés est caractéristique de la loi exponentielle.\\
3) Dans cette question, on suppose que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(n I_{n}\) a même loi que \(X_{1}\).\\
a) Établir, pour tout entier naturel \(n\) non nul et tout réel \(x\) positif ou nul, l'égalité :

\[
F(x)=1-\left(1-F\left(\frac{x}{n}\right)\right)^{n}
\]

b) Déterminer, pour tout réel \(x\) positif ou nul, la valeur de : \(\lim _{n \rightarrow+\infty} n \ln \left(1-F\left(\frac{x}{n}\right)\right)\).\\
c) Montrer que la loi de \(X_{1}\) est exponentielle de paramètre \(F^{\prime}(0)\).\\
4) On revient au cas général.\\
a) Montrer que la fonction \(F\) réalise une bijection de \(\left[0,+\infty\left[\right.\right.\) sur \(\left[0,1\left[\right.\right.\). On note \(F^{-1}\) sa réciproque.\\
b) À l'aide d'un changement de variable, établir, pour tout entier naturel \(n\) non nul, l'égalité :

\[
E\left(I_{n}\right)=n \int_{0}^{1} F^{-1}(u)(1-u)^{n-1} \mathrm{~d} u
\]

c) Établir, pour tout réel \(u\) de \([0,1[\), les inégalités :

\[
0 \leqslant(1-u) F^{-1}(u) \leqslant \int_{u}^{1} F^{-1}(t) \mathrm{d} t
\]

En déduire que la fonction \(G\) définie sur \([0,1]\) par \(G(u)=(1-u) F^{-1}(u)\) si \(u\) est élément de \([0,1[\) et par \(G(1)=0\) est continue.

Établir, pour tout entier \(n\) au moins égal à 2 , les égalités :

\[
E\left(I_{n}\right)=n \int_{0}^{1} G(u)(1-u)^{n-2} \mathrm{~d} u \quad \text { et } \quad E\left(I_{n}\right)=n \int_{0}^{1} G(1-v) v^{n-2} \mathrm{~d} v
\]

d) On suppose maintenant qu'il existe un réel \(\lambda\) strictement positif tel que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, l'espérance de \(I_{n}\) est égale à \(\frac{1}{n \lambda}\).\\
On note \(F_{\lambda}\) la restriction à \([0,+\infty[\) de la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) et \(G_{\lambda}\) la fonction définie sur [ 0,1 ] par \(G_{\lambda}(u)=(1-u) F_{\lambda}^{-1}(u)\) si \(u\) est élément de \(\left[0,1\left[\right.\right.\) et par \(G_{\lambda}(1)=0\).\\
i. Quelle est, pour \(n\) entier naturel au moins égal à 2 , la valeur de : \(n \int_{0}^{1} G_{\lambda}(1-v) v^{n-2} \mathrm{~d} v\) ?\\
ii. À l'aide du résultat de la partie I, montrer que \(G\) et \(G_{\lambda}\) sont égales.\\
iii. En déduire que la loi de \(X_{1}\) est exponentielle de paramètre \(\lambda\).

\section*{Partie III: Caractérisation de la loi exponentielle à l'aide des deux premiers records}
On pose \(R_{1}=X_{1}\). On note \(R_{2}\) l'application définie, pour tout élément \(\omega\) de \(\Omega\), par :

\[
R_{2}(\omega)= \begin{cases}X_{n}(\omega) & \text { si } n \text { est le plus petit des entiers } k \text { tels que } X_{k}(\omega)>X_{1}(\omega) \\ X_{1}(\omega) & \text { si un tel entier n'existe pas. }\end{cases}
\]

On admet que \(R_{2}\) est une variable aléatoire.

\section*{A. Préliminaire}
\begin{enumerate}
  \item Exprimer l'événement \(\left[R_{2}=R_{1}\right]\) à l'aide de la suite d'événements \(\left(\left[X_{k} \leqslant X_{1}\right]\right)_{k \in \mathbb{N}^{*}}\).
  \item Établir, pour tout réel \(t\) positif ou nul et pour tout entier naturel \(n\) non nul, l'inégalité :
\end{enumerate}

\[
P\left(\bigcap_{k=2}^{n+1}\left[X_{k} \leqslant X_{1}\right]\right) \leqslant(F(t))^{n+1}+1-F(t)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Soit \(\varepsilon\) un réel strictement positif. En choisissant un réel \(t\) de façon convenable et à l'aide de l'inégalité précédente, montrer que, pour tout entier \(n\) assez grand, on a :
\end{enumerate}

\[
P\left(\bigcap_{k=2}^{n+1}\left[X_{k} \leqslant X_{1}\right]\right) \leqslant 2 \varepsilon
\]

Comment énoncer le résultat obtenu ?\\
4) En déduire que, presque sûrement, \(R_{2}>R_{1}\).

\section*{B. La caractérisation}
Pour tout couple \((x, y)\) de réels positifs ou nuls on pose : \(\varphi(x, y)=P\left(\left[R_{1} \leqslant x\right] \cap\left[R_{2}-R_{1}>y\right]\right)\).

\begin{enumerate}
  \item Soit \((x, y)\) un couple de réels positifs ou nuls et \(h\) un réel strictement positif.\\
a) Justifier l'égalité :
\end{enumerate}

\[
\varphi(x+h, y)-\varphi(x, y)=\sum_{j=1}^{+\infty} P\left(\left[x<X_{1} \leqslant x+h\right] \cap\left(\bigcap_{i=2}^{j}\left[X_{i} \leqslant X_{1}\right]\right) \cap\left[X_{j+1}>y+X_{1}\right]\right)
\]

b) En déduire les inégalités :

\[
\frac{F(x+h)-F(x)}{1-F(x)}(1-F(x+y+h)) \leqslant \varphi(x+h, y)-\varphi(x, y) \leqslant \frac{F(x+h)-F(x)}{1-F(x+h)}(1-F(x+y))
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Calculer, pour tout couple \((x, y)\) de réels positifs ou nuls, la limite de \(\frac{\varphi(x+h, y)-\varphi(x, y)}{h}\) quand \(h\) tend vers 0 par valeurs supérieures et, en admettant que le résultat tient encore pour la limite quand \(h\) tend vers 0 par valeurs inférieures, en déduire l'égalité :
\end{enumerate}

\[
\frac{\partial \varphi}{\partial x}(x, y)=\frac{f(x)}{1-F(x)}(1-F(x+y))
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Dans cette question on suppose que la loi de \(X_{1}\) est exponentielle de paramètre \(\lambda\) strictement positif.\\
a) Établir, pour tout couple \((x, y)\) de réels positifs ou nuls, l'égalité : \(\varphi(x, y)=\left(1-e^{-\lambda x}\right) e^{-\lambda y}\).\\
b) En déduire la loi de \(R_{2}-R_{1}\) puis l'indépendance des variables \(R_{1}\) et \(R_{2}-R_{1}\).
  \item Réciproquement, dans cette question, on suppose que les variables \(R_{1}\) et \(R_{2}-R_{1}\) sont indépendantes et on note \(G\) la fonction de répartition de \(R_{2}-R_{1}\).\\
a) Établir, pour tout couple ( \(x, y\) ) de réels positifs ou nuls, l'égalité : \(\frac{1-F(x+y)}{1-F(x)}=1-G(y)\).\\
b) En déduire que les fonctions \(G\) et \(F\) sont égales puis, à l'aide de la propriété d'absence de mémoire, montrer que la loi de \(X_{1}\) est exponentielle.
\end{enumerate}

\end{document}