\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{bbold}

\title{BANQUE COMMUNE D'EPREUVES ECRITES POUR LE HAUT ENSEIGNEMENT COMMERCIAL }

\author{Concepteurs :\\
H.E.C.\\
E.S.C.P. - E.A.P.}
\date{}


\begin{document}
\maketitle


\section*{OPTION SCIENTIFIQUE}
\section*{MATHEMATIQUES II}
Lundi 10 Mai 2004, de 8 h. à 12 h.

\begin{abstract}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
\end{abstract}

Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont définies sur un même espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{F}, P\) ).

L'objet de ce problème est la recherche et l'étude de lois possédant une propriété, dite de stabilité, qui intervient dans la modélisation de nombreux phénomènes satisfaisant une certaine invariance d'échelle.

\begin{itemize}
  \item Soit \(X\) une variable aléatoire réelle. On dit qu'une suite \(\left(X_{k}\right)_{k \geqslant 1}\) de variables aléatoires est une suite de copies de \(X\) si \(\left(X_{k}\right)_{k \geqslant 1}\) est une suite de variables indépendantes ayant toutes même loi que \(X\).
  \item On dit qu'une variable aléatoire réelle \(X\) suit une loi stable si il existe une suite réelle strictement positive \(\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) telle que, pour toute suite \(\left(X_{k}\right)_{k \geqslant 1}\) de copies de \(X\) et pour tout entier \(n\) supérieur ou égal \(1, X_{1}+\ldots+X_{n}\) et \(a_{n} X\) ont même loi. On vérifie facilement l'unicité de la suite \(\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) si \(X\) n'est pas nulle presque sûrement. On dira alors que \(\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) est la suite associée à la loi de \(X\).
\end{itemize}

On note \(\mathbb{N}^{\star}\) l'ensemble des entiers supérieurs ou égaux à 1 (i.e. \(\{1,2,3, \ldots\}\) ).\\
On admettra que

\[
\forall A>0, \quad \arctan A+\arctan \frac{1}{A}=\frac{\pi}{2}
\]

où l'expression arctan désigne la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à ] \(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\).

\section*{I. Un résultat sur certaines suites positives}
Soit \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) une suite de réels strictement positifs vérifiant les deux propriétés suivantes:

\begin{itemize}
  \item pour tout couple d'entiers \((m, n) \in \mathbb{N}^{\star 2}, u_{m n}=u_{m} u_{n}\),
  \item il existe un réel strictement positif \(A\) tel que, pour tout couple \((m, n) \in \mathbb{N}^{\star 2}\), si \(m \leq n\), alors \(u_{m} \leqslant A u_{n}\).
\end{itemize}

On veut montrer qu'il existe un réel positif \(\alpha\) tel que, pour tout entier \(n \in \mathbb{N}^{\star}, u_{n}=n^{\alpha}\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(u_{1}=1\).
  \item Montrer que, pour tout couple \((r, k) \in \mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}, u_{r^{k}}=u_{r}^{k}\).
  \item Soient \(a, a^{\prime}>0\), et \(y \in \mathbb{R}^{\star}\). Soient \(u, u^{\prime}, v, v^{\prime}\) quatre réels tels que
\end{enumerate}

\[
u+i v=\frac{a^{\prime}}{\pi\left((y-i a)^{2}+a^{\prime 2}\right)} \quad \text { et } \quad u^{\prime}+i v^{\prime}=\frac{a}{\pi\left(\left(y+i a^{\prime}\right)^{2}+a^{2}\right)}
\]

où \(i\) désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument \(\frac{\pi}{2}\).\\
a) Montrer que :

\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad \frac{a a^{\prime}}{\pi^{2}\left(x^{2}+a^{2}\right)\left((x-y)^{2}+a^{\prime 2}\right)}=\frac{v x+a u}{\pi\left(x^{2}+a^{2}\right)}+\frac{v^{\prime}(x-y)+a^{\prime} u^{\prime}}{\pi\left((x-y)^{2}+a^{\prime 2}\right)}
\]

(On multipliera les deux membres de ( \(\star\) ) par leur dénominateur commun et on appliquera la question précédente en prenant \(z_{1}=i a\) et \(z_{2}=y+i a^{\prime}\).)\\
b) On admet les égalités suivantes:

\[
\begin{aligned}
u+i v & =\frac{a^{\prime}\left(y^{2}+a^{\prime 2}-a^{2}\right)+2 i a a^{\prime} y}{\pi\left(y^{2}+\left(a+a^{\prime}\right)^{2}\right)\left(y^{2}+\left(a-a^{\prime}\right)^{2}\right)} \\
u^{\prime}+i v^{\prime} & =\frac{a\left(y^{2}+a^{2}-a^{\prime 2}\right)-2 i a a^{\prime} y}{\pi\left(y^{2}+\left(a+a^{\prime}\right)^{2}\right)\left(y^{2}+\left(a-a^{\prime}\right)^{2}\right)}
\end{aligned}
\]

Montrer que :

\[
u+u^{\prime}=\frac{a+a^{\prime}}{\pi\left(y^{2}+\left(a+a^{\prime}\right)^{2}\right)}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item Soit \(B>0\). Calculer \(\int_{-B}^{B} \frac{x}{x^{2}+a^{2}} d x\) et \(\int_{-B}^{B} \frac{x-y}{(x-y)^{2}+a^{2}} d x\).
  \item Soient \(Z_{a}\) et \(Z_{a^{\prime}}\) deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Cauchy de paramètres respectifs \(a\) et \(a^{\prime}\). Montrer que la valeur de la densité de la loi de \(Z_{a}+Z_{a^{\prime}}\) au point \(y\) est égale à \(u+u^{\prime}\) (cf. question 4). En déduire la loi de \(Z_{a}+Z_{a^{\prime}}\).
  \item En déduire que \(Z\) suit une loi stable. Quelle est la suite associée à la loi de \(Z\) ?
\end{enumerate}

\section*{IV. Les événements exceptionnels}
Du fait de la décroissance rapide à l'infini de la fonction densité des variables gaussiennes, celles-ci n'accordent que peu d'importance aux valeurs extrêmes. Aussi, pour inclure, dans un modèle mathématique, l'éventualité de phénomènes extrêmes, on est amené à privilégier des lois dont la fonction densité décroît moins vite à l'infini. Le but de cette partie est d'étudier ce qu'il en est pour la loi de Cauchy.

Dans cette partie, \(\left(X_{i}\right)_{i \geqslant 1}\) est une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Cauchy de paramètre 1.

On dira qu'un événement exceptionnel s'est produit avant l'instant \(n\), si il existe un entier \(k\) inférieur ou égal à \(n\) tel que, pour tout entier \(i\) inférieur ou égal à \(n\) et différent de \(k,\left|X_{k}\right|>2\left|X_{i}\right|\). Autrement dit, à l'instant \(n\), la variable la plus forte de l'histoire (en valeur absolue) est supérieure au double de chacune des autres variables. On appellera \(E_{n}\) un tel événement. Ainsi,

\[
E_{n}=\bigcup_{k=1}^{n}\left(\bigcap_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ i \neq k}}\left(\left|X_{k}\right|>2\left|X_{i}\right|\right)\right)
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que :
\end{enumerate}

\[
P\left(E_{n}\right)=n P\left(\bigcap_{i=2}^{n}\left(\left|X_{1}\right|>2\left|X_{i}\right|\right)\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Soit \(r \in \mathbb{N}^{\star}, r \geqslant 2\). Montrer qu'il existe un réel \(\alpha_{r}\) tel que, pour tout entier \(n\) de la forme \(r^{k}\), où \(k\) est un entier positif, \(u_{n}=n^{\alpha_{r}}\). Exprimer \(\alpha_{r}\) en fonction de \(r\) et de \(u_{r}\).
  \item Soit \(\left(r_{1}, r_{2}\right) \in \mathbb{N}^{\star 2}, r_{2}>r_{1} \geqslant 2\). On introduit alors les réels \(\alpha_{r_{1}}\) et \(\alpha_{r_{2}}\) définis selon la question précédente.\\
a) Soit \(k \in \mathbb{N}^{\star}\). Montrer qu'il existe un entier \(\ell\) tel que \(r_{2}^{k} \leqslant r_{1}^{\ell}<r_{2}^{k+1}\).\\
b) En déduire que \(\left(r_{2}^{k}\right)^{\alpha_{r_{2}}} \leqslant A\left(r_{2}^{k+1}\right)^{\alpha_{r_{1}}}\) et \(\left(r_{2}^{k}\right)^{\alpha_{r_{1}}} \leqslant A\left(r_{2}^{k+1}\right)^{\alpha_{r_{2}}}\).\\
c) En faisant tendre \(k\) vers l'infini, déduire l'égalité \(\alpha_{r_{1}}=\alpha_{r_{2}}\). Conclure.
\end{enumerate}

\section*{II. La loi gaussienne}
A. On rappelle l'expression de la densité d'une variable gaussienne de moyenne \(m\) et de variance \(\sigma^{2}\) :

\[
f_{m, \sigma^{2}}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \left(-\frac{(x-m)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \item Soit \(a\) un réel strictement positif et \(b\) et \(c\) deux réels quelconques.
\end{enumerate}

Trouver trois réels \(\alpha, m, \sigma\), que l'on exprimera en fonction de \(a, b, c\) tels que

\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad \frac{(x-m)^{2}}{2 \sigma^{2}}+\alpha=a x^{2}+b x+c
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item En déduire que \(\int_{-\infty}^{+\infty} \exp \left(-\left(a x^{2}+b x+c\right)\right) d x=\sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp \left(\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\right)\).
  \item Soient \(G\) et \(G^{\prime}\) deux variables aléatoires gaussiennes centrées indépendantes de variances respectives \(\sigma^{2}\) et \(\sigma^{\prime 2}\). Redémontrer en calculant la densité de la loi de \(G+G^{\prime}\), que \(G+G^{\prime}\) est une variable gaussienne dont on donnera l'espérance et la variance.
  \item Montrer que \(G\) suit une loi stable. Quelle est la suite associée à la loi de \(G\) ?\\
B. Dans cette section, \(X\) est une variable aléatoire qui suit une loi stable et qui admet une espérance \(m\) et une variance \(\sigma^{2}\) strictement positive. On ne suppose pas que \(X\) suit une loi gaussienne. Soit \(\left(X_{k}\right)_{k \geqslant 1}\) une suite de copies de \(X\) et \(\left(a_{k}\right)_{k \geqslant 1}\) la suite associée à la loi de \(X\).
  \item En considérant les variances de \(X_{1}+\ldots+X_{n}\) et de \(a_{n} X\), donner, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la valeur de \(a_{n}\). Montrer que \(m=0\).
  \item En appliquant le théorème de la limite centrée, montrer que \(X\) suit une loi gaussienne.
\end{enumerate}

\section*{III. La loi de Cauchy}
\begin{enumerate}
  \item Soit \(a>0\). Vérifier que la fonction \(f_{a}: x \mapsto \frac{a}{\pi\left(x^{2}+a^{2}\right)}\) est bien une densité de probabilité. (On utilisera le changement de variable \(x=a \tan t\) ).
\end{enumerate}

On dit qu'une variable aléatoire suit la loi de Cauchy de paramètre \(a\) si elle admet la fonction \(f_{a}\) pour densité.\\
2) Soit \(Z\) une variable aléatoire suivant la loi de Cauchy de paramètre égal à 1 .\\
a) La variable \(Z\) admet-elle une espérance ?\\
b) Soit \(\lambda>0\). Quelle est la loi de \(\lambda Z\) ?\\
3) Soit \(P\) un polynôme de degré inférieur ou égal à 3 à coefficients réels. Soient \(z_{1}\) et \(z_{2}\) deux nombres complexes distincts de partie imaginaire strictement positive. Montrer que si \(z_{1}\) et \(z_{2}\) sont des racines de \(P\), alors \(P=0\). (On remarquera que \(\bar{z}_{1}\) et \(\bar{z}_{2}\) sont également racines de \(P\).)\\
2) En déduire que :

\[
\forall A>0, \quad P\left(E_{n}\right) \geqslant n P\left(\left(\left|X_{1}\right|>2 A\right) \cap\left(\bigcap_{i=2}^{n}\left(\left|X_{i}\right|<A\right)\right)\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Montrer que: \(\forall A>0, P\left(\left|X_{1}\right|>A\right)=\frac{2}{\pi} \arctan \frac{1}{A}\).
  \item Soit \(\lambda>0\), et \(n\) assez grand pour que \(\frac{\pi \lambda}{2 n}<\frac{\pi}{2}\). En choisissant \(A=\frac{1}{\tan \frac{\pi \lambda}{2 n}}\), montrer que
\end{enumerate}

\[
P\left(E_{n}\right) \geqslant n P\left(\left|X_{1}\right|>\frac{2}{\tan \frac{\pi \lambda}{2 n}}\right)\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-1}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item Soit \(\varepsilon>0\) et \(\lambda>0\). Montrer que, pour tout entier \(n\) assez grand, \(P\left(E_{n}\right)>\frac{\lambda}{2} e^{-\lambda}-\varepsilon\).
  \item En déduire que, pour tout entier \(n\) assez grand, \(P\left(E_{n}\right)>\frac{1}{6}\).
\end{enumerate}

\section*{V. Le nombre \(a_{n}\) est une puissance de \(n\)}
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi stable. Soit \(\left(X_{k}\right)_{k \geqslant 1}\) une suite de copies de \(X\) et \(\left(a_{k}\right)_{k \geqslant 1}\) la suite associée à la loi de \(X\).\\
A. Une variable aléatoire \(X\) est dite symétrique si elle a la même loi que la variable \(-X\). Autrement dit, pour tout intervalle \(I \subset \mathbb{R}, P(X \in I)=P(-X \in I)\) (exemple : une variable gaussienne centrée).

Dans cette section, on suppose \(X\) non nulle et symétrique.

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(P(X>0)=\frac{1}{2}(1-P(X=0))\).
  \item Montrer qu'il existe \(\mu>0\) tel que \(P(X>\mu)>0\).
  \item a) Montrer que, pour tout couple \((m, n) \in \mathbb{N}^{\star 2}, a_{m+n} X\) a même loi que \(a_{m} X_{1}+a_{n} X_{2}\).\\
b) En déduire que, pour tout \(k\)-uplet d'entiers \(\left(m_{1}, \ldots, m_{k}\right), a_{m_{1}+\ldots+m_{k}} X\) a même loi que \(a_{m_{1}} X_{1}+\ldots+a_{m_{k}} X_{k}\).\\
c) En prenant tous les entiers \(m_{i}\) égaux à un même entier \(\ell\), montrer que \(a_{k \ell}=a_{k} a_{\ell}\).
  \item En considérant l'événement \(\left(X_{1} \geqslant 0\right) \cap\left(X_{2}>t\right)\), montrer en utilisant la question V.A.3.a, que pour tout couple \((m, n) \in \mathbb{N}^{\star 2}\), et pour tout \(t>0\),
\end{enumerate}

\[
P\left(X>\frac{a_{n}}{a_{m+n}} t\right) \geqslant \frac{1}{2} P(X>t)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item En utilisant la question V.A.2., montrer que l'ensemble \(\left\{\frac{a_{n}}{a_{n+m}}:(m, n) \in \mathbb{N}^{\star 2}\right\}\) est majoré. En déduire l'existence d'un réel \(\alpha\) tel que, pour tout entier naturel non nul \(n, a_{n}=n^{\alpha}\). B. On suppose que \(X\) suit une loi stable à densité, mais on ne suppose plus que \(X\) est symétrique.
  \item Montrer que la variable \(X_{1}-X_{2}\) est symétrique.
  \item Montrer que \(X_{1}-X_{2}\) suit une loi stable. Soit \(\left(b_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) la suite associée à la loi de \(X_{1}-X_{2}\). Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(a_{n}=b_{n}\). Conclure.
\end{enumerate}

\end{document}