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\title{BANQUE COMMUNE D'EPREUVES }

\author{Concepteurs : H.E.C. - E.S.C.P. - E.A.P.}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
OPTION : SCIENTIFIQUE\\
MATHEMATIQUES II

CODE EPREUVE :\\
283\\
CCIP\_M2\_S

Mercredi 10 Mai 2006, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Le problème a pour objet l'étude de quelques propriétés concernant le nombre de racines réelles d'un polynôme de degré \(n,(n \geqslant 1)\), à coefficients réels fixés ou aléatoires.

Dans les parties II et III, les polynômes considérés sont à coefficients réels et on pourra confondre polynôme et fonction polynomiale associée.\\
Pour toute fonction \(\Psi\) dérivable sur son domaine de définition, la dérivée de \(\Psi\) est notée \(\Psi^{\prime}\).\\
Les quatre parties du problème sont, dans une large mesure, indépendantes.

\section*{Partie I. Nombre de racines réelles d'un polynôme du second degré à coefficients aléatoires}
On considère dans cette partie, deux variables aléatoires réelles \(X_{0}\) et \(X_{1}\) définies sur le même espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), indépendantes et de même loi.\\
Pour tout \(\omega\) de \(\Omega\), on considère le polynôme \(Q_{\omega}\) d'indéterminée \(y\), défini par :

\[
Q_{\omega}(y)=y^{2}+X_{1}(\omega) y+X_{0}(\omega)
\]

On désigne par \(M(\omega)\) le nombre de racines réelles de \(Q_{\omega}\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que l'application \(M\) qui, à tout \(\omega\) de \(\Omega\) associe \(M(\omega)\), est une variable aléatoire définie sur ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ).
  \item Soit \(Z\) une variable aléatoire définie sur ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), qui suit une loi de Bernoulli de paramètre \(p(p \in] 0,1[\) ). On suppose dans cette question que \(X_{0}\) et \(X_{1}\) suivent la même loi que \(2 Z-1\).\\
a) Déterminer la loi de \(X_{0}\).\\
b) Déterminer la loi de \(M\) et calculer son espérance \(E(M)\).
\end{enumerate}

Dans les questions suivantes, on suppose que \(X_{0}\) et \(X_{1}\) suivent une même loi exponentielle de paramètre \(1 / 2\). On pose : \(Y_{0}=-4 X_{0}, Y_{1}=X_{1}^{2}, Y=Y_{1}+Y_{0}\), et on note \(F_{Y_{0}}, F_{Y_{1}}\) et \(F_{Y}\), les fonctions de répartition de \(Y_{0}, Y_{1}\) et \(Y\), respectivement.\\
3. Montrer que l'on a, pour tout \(x\) réel :

\[
F_{Y_{1}}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1-e^{-\sqrt{x} / 2} & \text { si } x>0 \\
0 & \text { si } x \leqslant 0
\end{array} \quad \text { et } \quad F_{Y_{0}}(x)= \begin{cases}1 & \text { si } x \geqslant 0 \\
e^{x / 8} & \text { si } x<0\end{cases}\right.
\]

En déduire l'expression d'une densité \(f_{Y_{0}}\) de \(Y_{0}\) et d'une densité \(f_{Y_{1}}\) de \(Y_{1}\).\\
4. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^{+*} \operatorname{par} g(t)=\frac{1}{\sqrt{t}} \times \exp \left[-\frac{1}{2}\left(\frac{t}{4}+\sqrt{t}\right)\right]\), où exp désigne la fonction exponentielle.\\
a) Établir la convergence de l'intégrale impropre \(\int_{0}^{+\infty} g(t) d t\).\\
b) En déduire qu'une densité \(f_{Y}\) de la variable aléatoire \(Y\) est donnée, pour tout \(x\) réel, par :

\[
f_{Y}(x)= \begin{cases}\frac{1}{32} e^{x / 8} \int_{0}^{+\infty} g(t) d t & \text { si } x<0 \\ \frac{1}{32} e^{x / 8} \int_{x}^{+\infty} g(t) d t & \text { si } x \geqslant 0\end{cases}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item On désigne par \(\Phi\) la fonction de répartition d'une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée, réduite.\\
a) Justifier la validité du changement de variable \(u=\sqrt{t}\) dans l'intégrale impropre \(\int_{0}^{+\infty} g(t) d t\).\\
b) En déduire que \(\int_{0}^{+\infty} g(t) d t=4 \sqrt{e} \int_{1}^{+\infty} e^{-v^{2} / 2} d v\), et donner, pour tout réel \(x\) négatif, l'expression de \(f_{Y}(x)\) en fonction de \(\Phi\).\\
c) Montrer que, pour tout réel \(x\) positif, on a : \(f_{Y}(x)=\frac{\sqrt{2 \pi e}}{8} e^{x / 8}\left[1-\Phi\left(\frac{\sqrt{x}}{2}+1\right)\right]\).\\
d) Déterminer la loi de \(M\) et son espérance \(E(M)\) (on fera intervenir le nombre \(\Phi(1)\) ).
\end{enumerate}

\section*{Partie II. Suites de Sturm}
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 1 , et soit \(P(X)=X^{n}+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots+a_{1} X+a_{0}\) un polynôme normalisé \(\left(a_{n}=1\right)\) donné, à coefficients réels. On suppose que toutes les racines réelles de \(P\) sont simples.\\
L'objectif de cette partie est de décrire un algorithme permettant de déterminer le nombre de racines réelles de \(P\) appartenant à un intervalle donné \([a, b]\).\\
On associe au polynôme \(P\), la suite \(\left(R_{i}\right)_{i \geqslant 0}\) de polynômes définie de la manière suivante : \(R_{0}=P, R_{1}=-P^{\prime}\), et pour tout entier \(j\) tel que \(R_{j+1} \neq 0\), le polynôme \(R_{j+2}\) est l'opposé du reste de la division euclidienne de \(R_{j}\) par \(R_{j+1}\). Si \(R_{j+1}=0\), on pose \(R_{j+2}=0\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer qu'il existe un entier \(k(k \geqslant 2)\), tel que \(R_{k}=0\). On note \(R_{m},(m \geqslant 1)\), le dernier polynôme non nul de la suite \(\left(R_{i}\right)_{i \geqslant 0}\).\\
Dans toute cette partie, on pose :
\end{enumerate}

\[
\left\{\begin{array}{l}
R_{0}=S_{1} R_{1}-R_{2} \\
R_{1}=S_{2} R_{2}-R_{3} \\
\quad \vdots \\
R_{m-2}=S_{m-1} R_{m-1}-R_{m} \\
R_{m-1}=S_{m} R_{m}
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item a) Montrer que s'il existe un entier \(j\) de \(\llbracket 0, m-1 \rrbracket\) et un réel \(x_{0}\) tels que \(R_{j}\left(x_{0}\right)=R_{j+1}\left(x_{0}\right)=0\), alors \(P\left(x_{0}\right)=P^{\prime}\left(x_{0}\right)=0\).\\
b) En déduire que le polynôme \(R_{m}\) n'admet pas de racine réelle.\\
c) Soit \(j\) un entier de \(\llbracket 1, m-1 \rrbracket\). Montrer que si \(x_{0}\) est une racine réelle de \(R_{j}\), alors \(R_{j-1}\left(x_{0}\right) \times R_{j+1}\left(x_{0}\right)<0\).
  \item Soit \(s=\left(s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{t}\right)\) une \(t\)-liste \((t \geqslant 2)\) de nombres réels non tous nuls. On ôte de \(s\) tous les éléments nuls en préservant l'ordre, et on obtient ainsi une \(p\)-liste \((p \leqslant t) \widehat{s}=\left(\widehat{s_{1}}, \widehat{s_{2}}, \ldots, \widehat{s_{p}}\right)\). On appelle nombre de changements de signe de \(s\), le nombre d'éléments de l'ensemble \(\mathcal{E}\) défini par : \(\mathcal{E}=\left\{i \in \llbracket 1, p-1 \rrbracket \mid \widehat{s_{i}} \widehat{s_{i+1}}<0\right\}\).\\
Si \(p=1\), on dit que le nombre de changements de signe est nul.\\
Par exemple, si \(s=(0,3,0,5,-3,2)\), on a : \(\widehat{s}=(3,5,-3,2)\), et le nombre de changements de signe est égal à 2 .\\
Pour tout réel \(x\), on note respectivement \(C_{1}(x), C_{2}(x)\) et \(C(x)\), le nombre de changements de signe du couple \(\left(R_{0}(x), R_{1}(x)\right)\), de la \(m\)-liste \(\left(R_{1}(x), R_{2}(x), \ldots, R_{m}(x)\right)\), et de la \((m+1)\)-liste \(\left(R_{0}(x), R_{1}(x), R_{2}(x), \ldots, R_{m}(x)\right)\). On désigne par \(x_{0}\) une racine réelle du polynôme \(P\).\\
a) En étudiant les variations de \(P\) au voisinage de \(x_{0}\), montrer qu'il existe un réel \(\delta_{1}>0\) tel que, si \(\left.h \in\right] 0, \delta_{1}[\), on a : \(C_{1}\left(x_{0}+h\right)-C_{1}\left(x_{0}-h\right)=1\).\\
b) À l'aide de la question 2. c), montrer qu'il existe un réel \(\delta_{2}>0\) tel que, si \(\left.h \in\right] 0, \delta_{2}[\), on a :\\
\(C_{2}\left(x_{0}+h\right)=C_{2}\left(x_{0}-h\right)\) (on distinguera les deux éventualités : soit, \(x_{0}\) n'est racine d'aucun des polynômes \(R_{1}, R_{2}, \ldots, R_{m}\), soit, il existe un entier \(j\) de \(\llbracket 1, m-1 \rrbracket\) tel que \(R_{j}\left(x_{0}\right)=0\) ).\\
c) Déduire des deux questions précédentes que pour \(\delta=\min \left(\delta_{1}, \delta_{2}\right)\) et \(\left.h \in\right] 0, \delta\left[\right.\), on a \(C\left(x_{0}+h\right)-C\left(x_{0}-h\right)=1\), et que si \(a\) et \(b\) sont deux réels qui ne sont pas racines de \(P\) et qui vérifient \(a<b\), alors le nombre de racines réelles de \(P\) dans \([a, b]\) est égal à \(C(b)-C(a)\).
  \item a) Soit \(\alpha\) une racine (réelle ou complexe) de \(P\). Montrer que si \(|\alpha| \geqslant 1\), alors \(|\alpha|^{n} \leqslant|\alpha|^{n-1} \times \sum_{k=0}^{n-1}\left|a_{k}\right|\). En déduire, pour toute racine \(\alpha\) de \(P\), l'inégalité : \(|\alpha| \leqslant 1+\sum_{k=0}^{n-1}\left|a_{k}\right|\).\\
b) Écrire en français, un algorithme permettant de déterminer le nombre de racines réelles de \(P\).
  \item On définit en Pascal\\
const \(\mathrm{n}=\ldots\);\\
Type tab = array [ \(1 . \mathrm{n}\) ] of real ;\\
Var T : tab ;\\
Écrire une fonction Pascal dont l'en-tête est Function nbchgs( \(T\) : tab) : integer qui donne le nombre de changements de signe dans la suite de réels ( \(\mathrm{T}[1], \mathrm{T}[2], \ldots, \mathrm{T}[\mathrm{n}]\) ).\\
On tiendra compte du fait que le tableau T peut contenir des éléments nuls. La fonction nbchgs n'utilisera que le tableau T et aucun autre tableau auxiliaire. On expliquera en français la démarche utilisée.
\end{enumerate}

\section*{Partie III. Un majorant du nombre de racines réelles de \(P\)}
Soit \(V\) un polynôme de \(\mathbb{R}[X]\) tel que \(V(X)=v_{m} X^{m}+v_{m-1} X^{m-1}+\cdots+v_{1} X+v_{0}\), avec \(v_{m} \neq 0\) et \(m \in \mathbb{N}^{*}\). On note \(V^{\star}\) le polynôme réciproque du polynôme \(V\), défini par : \(V^{\star}(X)=v_{0} X^{m}+v_{1} X^{m-1}+\cdots+v_{m-1} X+v_{m}\). Soit \(n\) un entier de \(\mathbb{N}^{*}\). On considère l'application \(T\) qui, à tout polynôme \(P\) de degré \(n\), normalisé, à coefficients réels, \(P(X)=X^{n}+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots+a_{1} X+a_{0}\), associe le polynôme \(T(P)\) défini par \(T(P)(X)=X P^{\prime}(X)\).\\
On désigne par \(N_{0}(P)\) le nombre de racines non nulles de \(P\) dans l'intervalle [ \(-1,1\) ] comptées avec leurs ordres de multiplicité, par \(N_{1}(P)\) le nombre de racines de \(P\) dans \(\left.]-\infty,-1\right] \cup[1,+\infty[\) comptées avec leurs ordres de multiplicité, et par \(N(P)\) le nombre de racines réelles de \(P\) comptées avec leurs ordres de multiplicité.

\begin{enumerate}
  \item a) Établir, à l'aide du théorème de Rolle, l'inégalité : \(N_{1}(P) \leqslant N_{1}(T(P))+2\).\\
b) Pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on pose \(T^{k}=T \circ T \circ \cdots \circ T\) ( \(k\) fois). Montrer que \(N_{1}(P) \leqslant N_{1}\left(T^{k}(P)\right)+2 k\).
  \item a) Montrer que pour tout réel \(x\) non nul, on a \(P^{\star}(x)=x^{n} P\left(\frac{1}{x}\right)\).\\
b) Montrer que \(N_{1}(P)=N_{0}\left(P^{\star}\right)\).
  \item Pour tout réel \(x\) et pour tout entier naturel \(k\) non nul, on pose :\\
\(Q_{k}(x)=1+a_{n-1}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{k} x+a_{n-2}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{k} x^{2}+\cdots+a_{1}\left(1-\frac{n-1}{n}\right)^{k} x^{n-1}\). Montrer que \(\left(T^{k}(P)\right)^{\star}=n^{k} Q_{k}\).
  \item a) Établir, pour tout réel \(y\) de \([0,1]\), l'inégalité : \((1-y) e^{y} \leqslant 1\).\\
b) On admet la propriété suivante : soit \(r\) et \(\rho\) deux réels tels que \(0<r<\rho\). On note \(D_{\rho}=\{z \in \mathbb{C} /|z| \leqslant \rho\}\). Soit \(U\) un polynôme de \(\mathbb{R}[X]\) tel que \(U(0) \neq 0\). Soit \(\mu\) un réel strictement positif tel que pour tout \(z\) de \(D_{\rho}\), \(|U(z)| \leqslant \mu\). Alors, le nombre de racines réelles de \(U\) comptées avec leurs ordres de multiplicité, dans l'intervalle \([-r, r]\), est majoré par le réel : \(\frac{1}{\ln \left(\frac{\rho}{r}\right)} \times \ln \left(\frac{\mu}{|U(0)|}\right)\).\\
En appliquant cette propriété au polynôme \(Q_{k}\) avec \(r=1\) et \(\rho=e^{k / n},\left(k \in \mathbb{N}^{*}\right)\), déduire des questions précédentes que pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on a : \(N_{1}(P) \leqslant 2 k+\frac{n}{k} \ln (L(P))\), avec \(L(P)=1+\sum_{i=0}^{n-1}\left|a_{i}\right|\).\\
c) Soit \(\psi\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^{+*}\) par : \(\psi(x)=2 x+\frac{\theta}{x}\), où \(\theta\) est un paramètre réel positif.\\
i) Étudier les variations de \(\psi\).\\
ii) Montrer que \(\psi(\sqrt{\theta / 2}+1) \leqslant 2+2 \sqrt{2 \theta}\).\\
iii) En déduire l'inégalité : \(N_{1}(P) \leqslant 2+2 \sqrt{2 n \ln (L(P))}\).\\
d) En supposant \(a_{0} \neq 0\), on démontrerait de même (et on admettra dans la suite du problème) que :
\end{enumerate}

\[
N_{0}(P) \leqslant 2+2 \sqrt{2 n \ln \left(\frac{L(P)}{\left|a_{0}\right|}\right)}
\]

Conclure en donnant un majorant de \(N(P)\), fonction des coefficients \(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1}\).

\section*{Partie IV. Nombre de racines réelles d'un polynôme de degré \(n\) à coefficients aléatoires}
Pour \(n\) entier supérieur ou égal à 2 , on considère dans cette partie, les variables aléatoires réelles \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n-1}\) définies sur le même espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), indépendantes et de même loi de Poisson de paramètre \(\lambda\), strictement positif.\\
Pour tout \(\omega\) de \(\Omega\), on considère le polynôme \(Q_{\omega}\) d'indéterminée \(y\), défini par :

\[
Q_{\omega}(y)=y^{n}+X_{n-1}(\omega) y^{n-1}+\cdots+X_{1}(\omega) y+1
\]

Soit \(M_{n}(\omega)\) le nombre de racines réelles de \(Q_{\omega}\). On admet que l'application \(M_{n}: \omega \mapsto M_{n}(\omega)\) est une variable aléatoire définie sur ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ).

\begin{enumerate}
  \item On définit la variable aléatoire \(L_{n}\) par : \(L_{n}=2+\sum_{i=1}^{n-1} X_{i}\). Soit \(Z_{n}=L_{n}-2\). Rappeler la loi de \(Z_{n}\).
  \item À l'aide des résultats de la partie III, montrer que pour tout \(\omega\) de \(\Omega\), on a :
\end{enumerate}

\[
M_{n}(\omega) \leqslant 4+4 \sqrt{2 n} \times \sqrt{\ln \left(Z_{n}(\omega)+2\right)}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Soit \(h\) une fonction de classe \(C^{2}\), concave sur \(\mathbb{R}^{+}\). Soit \(W\) une variable aléatoire définie sur ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), à valeurs dans \(\mathbb{N}\). On suppose l'existence des espérances \(E(W)\) et \(E(h(W))\).\\
a) Montrer que, pour tout couple ( \(\left.x_{0}, x\right)\) de réels positifs, on a : \(h(x) \leqslant h^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+h\left(x_{0}\right)\).\\
b) En prenant \(x_{0}=E(W)\), établir l'inégalité suivante : \(E(h(W)) \leqslant h(E(W))\).
  \item a) Montrer que la fonction \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}^{+}\)par \(\varphi(x)=\sqrt{\ln (x+2)}\) est concave sur \(\mathbb{R}^{+}\).\\
b) Soit \(a\) un réel positif. Montrer que la série de terme général \(\sqrt{\ln (k+2)} \times \frac{a^{k}}{k!}\) est convergente.
  \item a) Prouver l'existence de l'espérance \(E\left(M_{n}\right)\).\\
b) Montrer que, pour tout réel \(\beta\) strictement supérieur à \(1 / 2\), on a :
\end{enumerate}

\[
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{E\left(M_{n}\right)}{n^{\beta}}=0
\]

\section*{* FIN *}

\end{document}