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\author{Conceptions : H.E.C. - E.S.C.P. - E.A.P.}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{BANQUE COMMUNE D'EPREUVES}
CODE SUJET :\\
283\\
CCIP\_M2\_S



\section*{OPTION : SCIENTIFIQUE}
\section*{MATHEMATIQUES II}
Mercredi 9 Mai 2007, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Pour toute variable aléatoire réelle \(Y\) définie sur un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ) et possédant une espérance mathématique, on note \(E(Y)\) cette espérance pour la probabilité \(P\).\\
Pour tout événement \(C\) de \(\mathcal{A}\) tel que \(P(C)>0\), on note, sous réserve d'existence, \(E(Y / C)\) l'espérance de \(Y\) pour la probabilité conditionnelle \(P_{C}\) (espérance conditionnelle de \(Y\) sachant \(C\) ).

\section*{Partie I.}
Cette partie constitue une application particulière des résultats généraux étudiés dans la suite du problème.\\
On possède \(n\) urnes ( \(n \geqslant 3\) ) numérotées de 1 à \(n\), dans lesquelles on répartit au hasard et de façon indépendante, \(m\) boules indiscernables ( \(m \geqslant 4\) ), de sorte que, pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), la probabilité pour chaque boule d'être placée dans l'urne numéro \(i\) soit égale à \(1 / n\).\\
On suppose que cette expérience est modélisée par un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ).\\
À l'issue de cette expérience, on pose pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\) :

\[
X_{i}= \begin{cases}1 & \text { si l'urne } \mathrm{n}^{\circ} i \text { est vide } \\ 0 & \text { sinon }\end{cases}
\]

On pose \(W_{n}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}\).

\begin{enumerate}
  \item a) Déterminer pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), la loi de la variable aléatoire \(X_{i}\).\\
b) Pour tout couple \((i, j)\) d'entiers de \(\llbracket 1, n \rrbracket\) distincts, calculer \(P\left(\left[X_{i}=1\right] \cap\left[X_{j}=1\right]\right)\), ainsi que la covariance de \(X_{i}\) et \(X_{j}\). Les variables aléatoires \(X_{i}\) et \(X_{j}\) sont-elles indépendantes?
  \item a) Exprimer l'espérance \(E\left(W_{n}\right)\) de \(W_{n}\) en fonction de \(n\) et \(m\).\\
b) On note \(V\left(W_{n}\right)\) la variance de \(W_{n}\). Calculer \(V\left(W_{n}\right)\) en fonction de \(n\) et \(m\).\\
c) Vérifier l'égalité : \(E\left(W_{n}\right)-V\left(W_{n}\right)=n^{2}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2 m}-n(n-1)\left(1-\frac{2}{n}\right)^{m}\).
\end{enumerate}

En déduire que \(E\left(W_{n}\right)-V\left(W_{n}\right) \geqslant 0\).\\
3. Dans cette question, l'entier \(m\) vérifie \(m=\lfloor n \ln n+\theta n\rfloor\), où \(\theta\) est une constante réelle positive et \(\lfloor x\rfloor\) désigne la partie entière de \(x\).\\
a) Calculer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} E\left(W_{n}\right)\).\\
b) Montrer que \(\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(E\left(W_{n}\right)-V\left(W_{n}\right)\right)=0\).\\
c) Soit \(T_{n}\) une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre \(\mu_{n}=E\left(W_{n}\right)\).

On admet que pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), on a :

\[
\left|P\left(\left[W_{n}=k\right]\right)-P\left(\left[T_{n}=k\right]\right)\right| \leqslant \min \left(1, \frac{1}{\mu_{n}}\right) \times\left(\mu_{n}-V\left(W_{n}\right)\right)
\]

Quelle est la limite en loi de la suite de variables aléatoires \(\left(W_{n}\right)_{n \geqslant 3}\) ?\\
4. On pose \(\mu=e^{-\theta}\), et on suppose que le paramètre \(\mu\) est inconnu. Dans cette question, on veut estimer \(\mu\). Pour \(p\) entier de \(\mathbb{N}^{*}\), on considère un \(p\)-échantillon indépendant, identiquement distribué ( \(T_{1}, T_{2}, \ldots, T_{p}\) ) de la loi de Poisson de paramètre \(\mu\). On pose :

\[
\overline{T_{p}}=\frac{1}{p} \sum_{i=1}^{p} T_{i} \quad \text { et } \quad U_{p}=\sqrt{p} \frac{\overline{T_{p}}-\mu}{\sqrt{\mu}}
\]

a) Montrer que \(\overline{T_{p}}\) est un estimateur sans biais et convergent du paramètre \(\mu\).\\
b) Quelle est la limite en loi de la suite de variables aléatoires \(\left(U_{p}\right)_{p \geqslant 1}\) ?\\
c) On veut construire, pour \(p\) assez grand, un intervalle de confiance du paramètre \(\mu\) au risque \(\alpha\) donné. Soit \(u\) le réel strictement positif tel que \(P([U \geqslant u])=\alpha / 2\), où \(U\) est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.\\
Justifier que pour \(p\) assez grand, on peut écrire : \(P\left(\left[\left|U_{p}\right| \leqslant u\right]\right)=1-\alpha\), et déterminer alors un intervalle de confiance \(\left[I_{p}, J_{p}\right]\) pour \(\mu\) au risque \(\alpha\).

\section*{Partie II}
Dans cette partie, \(\lambda\) désigne un réel strictement positif.\\
Soit \(M\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, P)\) qui suit une loi de Poisson de paramètre \(\lambda\).\\
Soit \(A\) une partie quelconque de \(\mathbb{N}\) et \(\bar{A}\) son complémentaire dans \(\mathbb{N}\). On rappelle que si \(A\) est non vide, alors, \(P([M \in A])=\sum_{i \in A} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{i}}{i!}\), et on pose par convention \([M \in \emptyset]=\emptyset\).\\
On considère la fonction \(f_{A}\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(f_{A}(0)=0\), et pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\) :

\[
f_{A}(k+1)=\frac{k!}{\lambda^{k+1}} e^{\lambda}(P([M \in A] \cap[M \leqslant k])-P([M \in A]) \times P([M \leqslant k]))
\]

\begin{enumerate}
  \item a) Déterminer la fonction \(f_{A}\) dans les cas particuliers \(A=\emptyset\) et \(A=\mathbb{N}\).\\
b) Donner l'expression de \(f_{A}(1)\) en fonction de \(\lambda\) et de \(P([M \in A])\) dans les deux cas suivants : \(0 \in A\) et \(0 \in \bar{A}\). Exprimer \(f_{A}(2)\) en fonction de \(\lambda\) et de \(P([M \in A])\) dans le cas où 0 et 1 appartiennent à \(A\).
  \item Soit \(A\) et \(B\) deux parties de \(\mathbb{N}\) disjointes.\\
a) Montrer que \(f_{A \cup B}=f_{A}+f_{B}\).\\
b) En déduire que \(f_{\bar{A}}=-f_{A}\).
  \item a) Montrer que pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), la fonction \(f_{A}\) vérifie la relation suivante :
\end{enumerate}

\[
\lambda f_{A}(k+1)-k f_{A}(k)= \begin{cases}P([M \in \bar{A}]) & \text { si } k \in A \\ -P([M \in A]) & \text { si } k \in \bar{A}\end{cases}
\]

b) En déduire que si \(A\) est non vide et distincte de \(\mathbb{N}\), la fonction \(f_{A}\) n'est pas identiquement nulle.\\
4. Dans cette question, \(j\) est un entier naturel non nul, et \(A\) est le singleton \(\{j\}\). On pose \(f_{\{j\}}=f_{j}\).\\
a) Pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^{*}\), montrer l'égalité suivante :

\[
f_{j}(k+1)= \begin{cases}\frac{k!}{j!\lambda^{k-j+1}} P([M \geqslant k+1]) & \text { si } k \geqslant j \\ -\frac{k!}{j!\lambda^{k-j+1}} P([M \leqslant k]) & \text { si } k<j\end{cases}
\]

b) Calculer \(f_{j}(j+1)-f_{j}(j)\), et déterminer son signe.\\
c) Calculer pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^{*}\), différent de \(j, f_{j}(k+1)-f_{j}(k)\) en distinguant les deux cas : \(k>j\) et \(k<j\). En déduire que la différence \(f_{j}(k+1)-f_{j}(k)\) est positive si et seulement si \(k=j\).\\
d) Établir les inégalités suivantes : \(f_{j}(j+1)-f_{j}(j) \leqslant \frac{1-e^{-\lambda}}{\lambda} \leqslant \min \left(1, \frac{1}{\lambda}\right)\).\\
5. On considère le singleton \(\{0\}\) et on pose \(f_{\{0\}}=f_{0}\). Montrer, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^{*}\), l'inégalité suivante : \(f_{0}(k+1)-f_{0}(k) \leqslant 0\).\\
6. a) Établir pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), l'inégalité suivante : \(f_{A}(k+1)-f_{A}(k) \leqslant f_{k}(k+1)-f_{k}(k)\). (on distinguera les deux cas : \(k \in A\) et \(k \in \bar{A}\) )\\
b) En déduire, pour toute partie \(A\) de \(\mathbb{N}\), l'inégalité suivante :

\[
\sup _{k \geqslant 0}\left|f_{A}(k+1)-f_{A}(k)\right| \leqslant \min \left(1, \frac{1}{\lambda}\right)
\]

\section*{Partie III.}
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 2 . On considère \(n\) variables aléatoires discrètes indépendantes \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) définies sur un même espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), telles que pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), la variable aléatoire \(X_{i}\) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(p_{i}\) strictement positif.\\
On pose \(\lambda_{n}=\sum_{i=1}^{n} p_{i}, W_{n}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}\) et, pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket, R_{i}=W_{n}-X_{i}\).\\
On note \(M_{n}\) une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre \(\lambda_{n}\). Soit \(A\) une partie quelconque de \(\mathbb{N}\), et \(f_{A}\) la fonction définie dans la partie II, dans l'expression de laquelle on remplace \(M\) par \(M_{n}\) et \(\lambda\) par \(\lambda_{n}\). On pose \(f=f_{A}\).

\begin{enumerate}
  \item a) Établir pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), l'égalité des deux variables aléatoires \(X_{i} f\left(W_{n}\right)\) et \(X_{i} f\left(1+R_{i}\right)\).\\
b) En déduire pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), l'égalité : \(E\left(X_{i} f\left(W_{n}\right)\right)=p_{i} E\left(f\left(1+R_{i}\right)\right)\).
  \item Pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), on pose : \(Y_{i}=f\left(1+W_{n}\right)-f\left(1+R_{i}\right)\). Établir la relation suivante : \(E\left(\lambda_{n} f\left(1+W_{n}\right)-W_{n} f\left(W_{n}\right)\right)=\sum_{i=1}^{n} p_{i} E\left(Y_{i}\right)\).
  \item a) Établir pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), la formule suivante :
\end{enumerate}

\[
E\left(Y_{i} /\left[X_{i}=1\right]\right)=E\left(f\left(2+R_{i}\right)-f\left(1+R_{i}\right)\right)
\]

b) Calculer pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket, E\left(Y_{i} /\left[X_{i}=0\right]\right)\).\\
c) Déduire des questions précédentes l'égalité suivante :

\[
E\left(\lambda_{n} f\left(1+W_{n}\right)-W_{n} f\left(W_{n}\right)\right)=\sum_{i=1}^{n} p_{i}^{2} E\left(f\left(2+R_{i}\right)-f\left(1+R_{i}\right)\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Établir l'inégalité suivante :
\end{enumerate}

\[
\left|E\left(\lambda_{n} f\left(1+W_{n}\right)-W_{n} f\left(W_{n}\right)\right)\right| \leqslant \min \left(1, \frac{1}{\lambda_{n}}\right) \times \sum_{i=1}^{n} p_{i}^{2}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item À l'aide de la question II.3.a, montrer, pour toute partie \(A\) de \(\mathbb{N}\), l'égalité suivante :
\end{enumerate}

\[
E\left(\lambda_{n} f\left(1+W_{n}\right)-W_{n} f\left(W_{n}\right)\right)=P\left(\left[W_{n} \in A\right]\right)-P\left(\left[M_{n} \in A\right]\right)
\]

En déduire, pour toute partie \(A\) de \(\mathbb{N}\), la majoration suivante :

\[
\left|P\left(\left[W_{n} \in A\right]\right)-P\left(\left[M_{n} \in A\right]\right)\right| \leqslant \min \left(1, \frac{1}{\lambda_{n}}\right) \times \sum_{i=1}^{n} p_{i}^{2}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Dans cette question uniquement, on suppose que pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket, X_{i}\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p_{i}=\frac{1}{n+i}\).\\
a) Déterminer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \lambda_{n}\). Montrer que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{n} p_{i}^{2}=0\).\\
b) Déterminer la limite en loi de la suite \(\left(W_{n}\right)_{n \geqslant 2}\).
\end{enumerate}

\section*{Partie IV.}
Les notations sont identiques à celles de la partie III, mais les variables aléatoires \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) définies sur ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), ne sont pas nécessairement indépendantes.

\begin{enumerate}
  \item a) Montrer que pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), on a : \(E\left(X_{i} f\left(W_{n}\right)\right)=p_{i} E\left(f\left(1+R_{i}\right) /\left[X_{i}=1\right]\right)\).\\
b) En déduire l'égalité suivante : \(P\left(\left[W_{n} \in A\right]\right)-P\left(\left[M_{n} \in A\right]\right)=\sum_{i=1}^{n} p_{i}\left[E\left(f\left(1+W_{n}\right)\right)-E\left(f\left(1+R_{i}\right) /\left[X_{i}=1\right]\right)\right]\).
  \item On suppose que pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), il existe une variable aléatoire \(Z_{i}\) définie sur ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), à valeurs dans \(\mathbb{N}\), telle que la loi de \(Z_{i}\) soit identique à la loi conditionnelle de \(R_{i}\) sachant [ \(X_{i}=1\) ].\\
a) Justifier, pour tout couple \((\ell, j)\) d'entiers naturels, l'inégalité : \(|f(\ell)-f(j)| \leqslant|\ell-j| \times \min \left(1, \frac{1}{\lambda_{n}}\right)\), et en déduire la majoration suivante: \(\left|P\left(\left[W_{n} \in A\right]\right)-P\left(\left[M_{n} \in A\right]\right)\right| \leqslant \min \left(1, \frac{1}{\lambda_{n}}\right) \times \sum_{i=1}^{n} p_{i} E\left(\left|W_{n}-Z_{i}\right|\right)\).\\
b) On suppose de plus que pour tout \(\omega\) de \(\Omega\), pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), on a \(W_{n}(\omega) \geqslant Z_{i}(\omega)\). Établir l'égalité : \(\sum_{i=1}^{n} p_{i} E\left(\left|W_{n}-Z_{i}\right|\right)=\lambda_{n}-V\left(W_{n}\right)\), où \(V\left(W_{n}\right)\) désigne la variance de \(W_{n}\).\\
En déduire, pour toute partie \(A\) de \(\mathbb{N}\), l'inégalité suivante :
\end{enumerate}

\[
\left|P\left(\left[W_{n} \in A\right]\right)-P\left(\left[M_{n} \in A\right]\right)\right| \leqslant \min \left(1, \frac{1}{\lambda_{n}}\right) \times\left(\lambda_{n}-V\left(W_{n}\right)\right)
\]


\end{document}