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\title{BOL \\
 BANQUE COMMUNE D'EPREUVES \\
 CONCOURS D'ADMISSION DE 2009 }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
Conceptions : H.E.C. - E.S.C.P. - E.A.P\\
283

\section*{OPTION SCIENTIFIQUE}
CCIP\_M2\_S

\section*{MATHEMATIQUES II}
Mardi 5 mai 2009, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

Dans tout le problème, \(N\) désigne un entier supérieur ou égal à 1 .\\
On note \(E(X)\) et \(V(X)\) respectivement, l'espérance et la variance lorsqu'elles existent, de toute variable aléatoire réelle \(X\) définie sur un espace probabilisé.\\
Soit \(\left(U_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), mutuellement indépendantes et de même loi uniforme discrète sur \(\llbracket 1, N \rrbracket\).\\
On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}: T_{n}=\sup \left(U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n}\right)\) et \(Z_{n}=\inf \left(U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n}\right)\). On admet que \(T_{n}\) et \(Z_{n}\) sont des variables aléatoires définies sur \((\Omega, \mathcal{A}, P)\). Ainsi, pour tout \(\omega\) de \(\Omega\), on a :

\[
T_{n}(\omega)=\max \left(U_{1}(\omega), U_{2}(\omega), \ldots, U_{n}(\omega)\right) \text { et } Z_{n}(\omega)=\min \left(U_{1}(\omega), U_{2}(\omega), \ldots, U_{n}(\omega)\right)
\]

On rappelle que si \(C\) désigne un élément de \(\mathcal{A}\), on note \(\mathbf{1}_{C}\) la variable aléatoire indicatrice de l'événement \(C\), définie sur ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ) par :

\[
\mathbf{1}_{C}(\omega)= \begin{cases}1 & \text { si } \omega \in C \\ 0 & \text { si } \omega \notin C\end{cases}
\]

On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}: d_{n}(N)= \begin{cases}\sum_{k=1}^{N-1}\left(\frac{k}{N}\right)^{n} & \text { si } N \geqslant 2 \\ 0 & \text { si } N=1\end{cases}\)

\section*{Préliminaire}
\begin{enumerate}
  \item Soit \(Y\) une variable aléatoire définie sur \((\Omega, \mathcal{A}, P)\), à valeurs dans \(\llbracket 1, N \rrbracket\). Établir les deux relations suivantes :
\end{enumerate}

\[
E(Y)=\sum_{k=0}^{N-1} P([Y>k]) \quad \text { et } \quad E\left(Y^{2}\right)=\sum_{k=0}^{N-1}(2 k+1) P([Y>k])
\]

\section*{Partie I. Inf et Sup}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Rappeler, sans démonstration, les valeurs respectives de \(E\left(U_{1}\right)\) et de \(V\left(U_{1}\right)\).
  \item a) Calculer, pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, N \rrbracket, P\left(\left[T_{n} \leqslant k\right]\right)\).\\
b) En déduire la loi de probabilité de \(T_{n}\).
  \item a) Montrer que la suite \(\left(d_{n}(N)\right)_{n \geqslant 1}\) est convergente et calculer sa limite.\\
b) Exprimer \(E\left(T_{n}\right)\) en fonction de \(N\) et \(d_{n}(N)\). En déduire la valeur de \(\lim _{n \rightarrow+\infty} E\left(T_{n}\right)\).\\
c) Établir la formule suivante : \(V\left(T_{n}\right)=(2 N-1) d_{n}(N)-2 N d_{n+1}(N)-d_{n}^{2}(N)\).
\end{enumerate}

En déduire la valeur de \(\lim _{n \rightarrow+\infty} V\left(T_{n}\right)\).\\
d) Montrer que si \(N \geqslant 2\), on a : \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{d_{n+1}(N)}{d_{n}(N)}=1-\frac{1}{N}\); en déduire que, lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), on a : \(V\left(T_{n}\right) \sim d_{n}(N)\).\\
5. Déterminer la loi de \(Z_{n}\). Calculer \(E\left(Z_{n}\right)\) et \(V\left(Z_{n}\right)\).\\
6. On rappelle que la fonction Pascal random(N) permet de simuler une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \(\llbracket 0, N-1\) ]. Écrire une fonction Pascal d'en-tête simulmax (n : integer) : integer qui simule la variable aléatoire \(T_{n}\).

\section*{Partie II. Couple (Inf, Sup)}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\) et pour tout couple \((k, \ell)\) de \(\mathbb{N}^{2}: \phi_{n}(k, \ell)=P\left(\left[T_{n} \leqslant k\right] \cap\left[Z_{n} \leqslant \ell\right]\right)\).\\
a) Montrer, pour tout \((k, \ell)\) de \(\llbracket 1, N \rrbracket^{2}\), la relation suivante :
\end{enumerate}

\[
\phi_{n}(k, \ell)= \begin{cases}\left(\frac{k}{N}\right)^{n} & \text { si } k \leqslant \ell \\ \left(\frac{k}{N}\right)^{n}-\left(\frac{k-\ell}{N}\right)^{n} & \text { si } k>\ell\end{cases}
\]

b) Établir, pour tout \((k, \ell)\) de \(\llbracket 1, N \rrbracket^{2}\), la formule suivante :

\[
P\left(\left[T_{n}=k\right] \cap\left[Z_{n}=\ell\right]\right)=\phi_{n}(k, \ell)+\phi_{n}(k-1, \ell-1)-\phi_{n}(k-1, \ell)-\phi_{n}(k, \ell-1)
\]

c) En déduire, en distinguant les trois cas \(k<\ell, k=\ell\) et \(k>\ell\), l'expression de \(P\left(\left[T_{n}=k\right] \cap\left[Z_{n}=\ell\right]\right)\) en fonction de \(k\) et \(\ell\).\\
8. On donne, pour tout couple \((m, n)\) de \(\left(\mathbb{N}^{*}\right)^{2}\), les deux relations suivantes :\\
i) \(\sum_{j=1}^{m}\left[(j+1)^{n}-2 j^{n}+(j-1)^{n}\right]=(m+1)^{n}-m^{n}-1\);\\
ii) \(\sum_{j=1}^{m} j\left[(j+1)^{n}-2 j^{n}+(j-1)^{n}\right]=m(m+1)^{n}-(m+1) m^{n}\).\\
a) En déduire, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), la formule suivante : \(E\left(T_{n} Z_{n}\right)=N\left(1+d_{n+1}(N)\right)\).\\
b) On note, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}, \rho_{n}\) le coefficient de corrélation linéaire entre \(T_{n}\) et \(Z_{n}\).

Calculer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \rho_{n}\) lorsque \(N \geqslant 2\).\\
9. a) Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\) et pour tout couple ( \(k, \ell\) ) de \(\llbracket 1, N \rrbracket^{2}\), calculer la probabilité conditionnelle \(P_{\left[T_{n}=k\right]}\left(\left[Z_{n}=\ell\right]\right)\).\\
b) En déduire, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\) et pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, N \rrbracket\), l'expression de l'espérance conditionnelle \(E\left(Z_{n} /\left[T_{n}=k\right]\right)\) de \(Z_{n}\) sachant \(\left[T_{n}=k\right]\).

\section*{Partie III. Prévision}
Pour \(n\) entier de \(\mathbb{N}^{*}\), on dispose d'un ( \(n+1\) )-échantillon indépendant identiquement distribué (i.i.d.) \(\left(U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n+1}\right)\) de la loi uniforme sur \(\llbracket 1, N \rrbracket\).\\
On pose : \(T_{n}=\sup \left(U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n}\right)\) et \(T_{n+1}=\sup \left(U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n+1}\right)=\sup \left(T_{n}, U_{n+1}\right)\).\\
Pour tout \(t=\left(t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{N}\right)\) de \(\mathbb{R}^{N}\), on pose : \(W_{t}\left(T_{n}\right)=\sum_{k=1}^{N} t_{k} \times \mathbf{1}_{\left[T_{n}=k\right]}\).\\
Dans cette partie, on se propose de déterminer la valeur de \(t\) pour laquelle les deux conditions suivantes sont vérifiées :\\
i) \(E\left(W_{t}\left(T_{n}\right)\right)=E\left(T_{n+1}\right)\);\\
ii) \(E\left[\left(T_{n+1}-W_{t}\left(T_{n}\right)\right)^{2}\right]\) est minimale.\\
10. Montrer, pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, N \rrbracket\), la relation : \(P\left(\left[W_{t}\left(T_{n}\right)=t_{k}\right]\right)=P\left(\left[T_{n}=k\right]\right)\).\\
11. Établir, pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, N \rrbracket\), la formule suivante :

\[
E\left(T_{n+1} \times \mathbf{1}_{\left[T_{n}=k\right]}\right)=E\left(T_{n+1} /\left[T_{n}=k\right]\right) \times P\left(\left[T_{n}=k\right]\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{11}
  \item a) Calculer, pour tout couple \((k, j)\) de \(\llbracket 1, N \rrbracket^{2}, P\left(\left[T_{n}=k\right] \cap\left[T_{n+1}=j\right]\right)\).\\
b) En déduire, pour tout couple \((k, j)\) de \(\llbracket 1, N \rrbracket^{2}\), la probabilité conditionnelle \(P_{\left[T_{n}=k\right]}\left(\left[T_{n+1}=j\right]\right)\).\\
c) Déterminer, pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, N \rrbracket\), l'expression de l'espérance conditionnelle \(E\left(T_{n+1} /\left[T_{n}=k\right]\right)\) de \(T_{n+1}\) sachant \(\left[T_{n}=k\right]\).\\
d) En appliquant la formule de l'espérance totale, déduire de la question précédente la relation suivante :
\end{enumerate}

\[
E\left(T_{n+1}\right)=\frac{N+1}{2}+\frac{1}{2 N}\left(E\left(T_{n}^{2}\right)-E\left(T_{n}\right)\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{12}
  \item Établir l'égalité suivante : \(\left(W_{t}\left(T_{n}\right)\right)^{2}=\sum_{k=1}^{N} t_{k}^{2} \times \mathbf{1}_{\left[T_{n}=k\right]}\).
  \item Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^{N}\) à valeurs réelles par:
\end{enumerate}

\[
g\left(t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{N}\right)=E\left[\left(T_{n+1}-W_{t}\left(T_{n}\right)\right)^{2}\right]
\]

a) À l'aide des résultats des questions 11 , 12 et 13 , expliciter \(g\) en fonction des variables \(t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{N}\).\\
b) Montrer que \(g\) admet un minimum global sur \(\mathbb{R}^{N}\) atteint en un point \(\theta=\left(\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{N}\right)\) que l'on déterminera en fonction de \(E\left(T_{n+1} /\left[T_{n}=1\right]\right), E\left(T_{n+1} /\left[T_{n}=2\right]\right), \ldots, E\left(T_{n+1} /\left[T_{n}=N\right]\right)\).\\
15. Établir les deux relations suivantes :

\[
E\left(W_{\theta}\left(T_{n}\right)\right)=E\left(T_{n+1}\right) \quad \text { et } \quad V\left(W_{\theta}\left(T_{n}\right)\right) \leqslant V\left(T_{n+1}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{15}
  \item a) Établir, pour tout \(i\) de \(\mathbb{N}^{*}\), l'égalité suivante : \(\sum_{k=1}^{N} k^{i} \times \mathbf{1}_{\left[T_{n}=k\right]}=\left(T_{n}\right)^{i}\).\\
b) En déduire la relation suivante : \(W_{\theta}\left(T_{n}\right)=\frac{N+1}{2}+\frac{1}{2 N}\left(T_{n}^{2}-T_{n}\right)\).
\end{enumerate}

\section*{Partie IV. Estimation}
Soit \(U\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), de loi uniforme discrète sur \(\llbracket 1, N \rrbracket\). On suppose que le paramètre \(N\) est inconnu.\\
Cette partie a pour objet la détermination d'un estimateur ponctuel de \(N\), sans biais et de variance minimale.\\
Pour \(n\) entier supérieur ou égal à 1 , soit \(\left(U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n}\right)\) un \(n\)-échantillon i.i.d. de la loi de \(U\).\\
17. Soit \(\varepsilon\) un réel strictement positif. On pose :

\[
A_{n}(\varepsilon)=\left[\left|T_{n}-N\right| \geqslant \varepsilon\right] \text { et } B_{n}(\varepsilon)=\left[\left|T_{n}-E\left(T_{n}\right)\right|+\left|d_{n}(N)\right| \geqslant \varepsilon\right]
\]

a) Peut-on dire que \(T_{n}+d_{n}(N)\) est un estimateur sans biais de \(N\) ?\\
b) Montrer que la suite \(\left(T_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) est une suite d'estimateurs asymptotiquement sans biais du paramètre \(N\).\\
c) Montrer que \(A_{n}(\varepsilon) \subset B_{n}(\varepsilon)\) et qu'il existe un entier naturel \(n_{0}\) tel que, pour tout \(n>n_{0}\), on a : \(B_{n}(\varepsilon) \subset\left[\left|T_{n}-E\left(T_{n}\right)\right| \geqslant \varepsilon / 2\right]\).\\
d) En déduire que la suite d'estimateurs \(\left(T_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) est convergente.\\
18. a) Calculer, pour tout \(n\)-uplet \(\left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}\right)\) de \(\llbracket 1, N \rrbracket^{n}, P\left(\bigcap_{i=1}^{n}\left[U_{i}=u_{i}\right]\right)\).\\
b) En déduire que, pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, N \rrbracket\), la loi conditionnelle du vecteur aléatoire ( \(U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n}\) ) sachant \(\left[T_{n}=k\right]\) est donnée par :

\[
P_{\left[T_{n}=k\right]}\left(\bigcap_{i=1}^{n}\left[U_{i}=u_{i}\right]\right)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{1}{k^{n}-(k-1)^{n}} & \text { si pour tout } i \text { de } \llbracket 1, n \rrbracket, 1 \leqslant u_{i} \leqslant N \text { et } \max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left(u_{i}\right)=k \\
0 & \text { sinon }
\end{array}\right.
\]

On remarquera que cette loi conditionnelle ne dépend pas du paramètre \(N\).\\
19. On pose, pour \(n\) entier de \(\mathbb{N}^{*}: S_{n}=T_{n}+Z_{n}-1\) et, pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, N \rrbracket: \psi_{n}(k)=\frac{k^{n+1}-(k-1)^{n+1}}{k^{n}-(k-1)^{n}}\).\\
a) Montrer que \(S_{n}\) est un estimateur sans biais de \(N\).\\
b) Établir, pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, N \rrbracket\), l'égalité : \(\psi_{n}(k)=E\left(S_{n} /\left[T_{n}=k\right]\right)\).\\
c) En déduire que \(\psi_{n}\left(T_{n}\right)\) est un estimateur sans biais de \(N\).\\
d) On pose, pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, N \rrbracket: \varphi_{n}(k)=E\left(S_{n}^{2} /\left[T_{n}=k\right]\right)\).

Établir, pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, N \rrbracket\), l'inégalité : \(\psi_{n}^{2}(k) \leqslant \varphi_{n}(k)\) (on pourra utiliser la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(\left.\lambda \mapsto E\left(\left(S_{n}-\lambda\right)^{2} /\left[T_{n}=k\right]\right)\right)\). En déduire que \(V\left(\psi_{n}\left(T_{n}\right)\right) \leqslant V\left(S_{n}\right)\).\\
e) Calculer \(V\left(S_{n}\right)\). En déduire que \(\psi_{n}\left(T_{n}\right)\) est un estimateur convergent de \(N\).\\
20. Soit, pour \(n\) entier de \(\mathbb{N}^{*}\), un estimateur sans biais \(R_{n}\) du paramètre \(N\).

On pose, pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, N \rrbracket: f_{n}(k)=E\left(R_{n} /\left[T_{n}=k\right]\right)\).\\
a) En utilisant une méthode analogue à celle de la question 19.d, montrer que : \(V\left(f_{n}\left(T_{n}\right)\right) \leqslant V\left(R_{n}\right)\).\\
b) Soit \(F\) une fonction réelle. Montrer que, pour \(n\) fixé dans \(\mathbb{N}^{*}\), la condition «pour tout \(N\) de \(\mathbb{N}^{*}\), \(E\left(F\left(T_{n}\right)\right)=N\) » est vérifiée, si et seulement si, pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, N \rrbracket\), on a : \(F(k)=\psi_{n}(k)\).\\
c) En déduire que dans l'ensemble des estimateurs sans biais de \(N\), l'estimateur \(\psi_{n}\left(T_{n}\right)\) est optimal, dans le sens où \(V\left(\psi_{n}\left(T_{n}\right)\right)\) est minimale.

La partie IV constitue une démonstration du théorème de Lehmann-Scheffé dans le cas particulier d'une loi uniforme sur \(\llbracket 1, N \rrbracket\), avec \(N\) inconnu.


\end{document}