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\title{Conceptions : HEC Paris - ESCP Europe }

\author{OPTION SCIENTIFIQUE}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{MATHEMATIQUES II }


\section*{Mercredi 7 mai 2014, de 8 h. à 12 h.}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

Dans tout le problème, \(k\) désigne un entier supérieur ou égal à 2 .

\section*{Notations algébriques}
\begin{itemize}
  \item Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on note \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) l'ensemble des matrices-colonnes à \(n\) lignes à coefficients réels et \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) l'ensemble des matrices carrées à \(n\) lignes et \(n\) colonnes à coefficients réels. On identifie les ensembles \(\mathcal{M}_{1}(\mathbb{R})\) et \(\mathbb{R}\) en assimilant une matrice de \(\mathcal{M}_{1}(\mathbb{R})\) à son unique coefficient.
  \item La base canonique de \(\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\) est notée \(\mathcal{C}_{k}=\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{k}\right)\) et l'espace vectoriel \(\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\) est muni de sa structure euclidienne usuelle pour laquelle la base \(\mathcal{C}_{k}\) est orthonormale. On note \(\langle u, v\rangle\) le produit scalaire de deux vecteurs \(u\) et \(v\) de \(\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\) et \(\|u\|=\sqrt{\langle u, u\rangle}\) la norme du vecteur \(u\).
  \item Pour toute matrice-colonne \(d\) de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) de composantes \(d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{n}\), on note Diag( \(d\) ) la matrice diagonale de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) définie par :
\end{itemize}

\[
\operatorname{Diag}(d)=\left(\begin{array}{cccc}
d_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & d_{2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & d_{n}
\end{array}\right) .
\]

\begin{itemize}
  \item La transposée d'une matrice \(M\) est notée \({ }^{t} M\) et \(I_{k}\) désigne la matrice identité de \(\mathcal{M}_{k}(\mathbb{R})\).
\end{itemize}

\section*{Notations probabilistes}
\begin{itemize}
  \item Toutes les variables aléatoires et tous les vecteurs aléatoires qui interviennent dans ce problème sont définis sur un même espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ).
  \item On dit qu'un vecteur aléatoire discret \(\left(Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{k}\right)\), à valeurs dans \(\mathbb{R}^{k}\), admet une espérance lorsque chacune de ses composantes en admet une.\\
On note \(Y\) la matrice-colonne de \(\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\) de composantes \(Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{k}\) et \(\mathcal{E}(Y)\) la matrice-colonne de \(\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\) dont les composantes sont les espérances \(E\left(Y_{1}\right), E\left(Y_{2}\right), \ldots, E\left(Y_{k}\right)\).
\end{itemize}

Lorsque chacune des composantes \(Y_{i}(i \in \llbracket 1, k \rrbracket)\) admet une variance, on appelle matrice de variance-covariance de \(Y\), notée \(\mathcal{V}(Y)\), la matrice symétrique de \(\mathcal{M}_{k}(\mathbb{R})\) dont les coefficients diagonaux sont les variances \(V\left(Y_{i}\right)\) et les coefficients non diagonaux les covariances \(\operatorname{Cov}\left(Y_{i}, Y_{j}\right)\) pour tout \((i, j) \in \llbracket 1, k \rrbracket^{2}\) avec \(i \neq j\).\\
En résumé, on pose sous réserve d'existence :

\[
\mathcal{E}(Y)=\left(\begin{array}{c}
E\left(Y_{1}\right) \\
E\left(Y_{2}\right) \\
\vdots \\
E\left(Y_{k}\right)
\end{array}\right) \quad \text { et } \quad \mathcal{V}(Y)=\left(\begin{array}{cccc}
V\left(Y_{1}\right) & \operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{2}\right) & \cdots & \operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{k}\right) \\
\operatorname{Cov}\left(Y_{2}, Y_{1}\right) & V\left(Y_{2}\right) & \cdots & \operatorname{Cov}\left(Y_{2}, Y_{k}\right) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\operatorname{Cov}\left(Y_{k}, Y_{1}\right) & \operatorname{Cov}\left(Y_{k}, Y_{2}\right) & \cdots & V\left(Y_{k}\right)
\end{array}\right)
\]

\begin{itemize}
  \item Dans tout le problème, on note \(p=\left(\begin{array}{c}p_{1} \\ p_{2} \\ \vdots \\ p_{k}\end{array}\right)\) une matrice-colonne de \(\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\) vérifiant \(\sum_{i=1}^{k} p_{i}=1\) et pour tout \(i \in \llbracket 1, k \rrbracket, p_{i} \geqslant 0\).\\
L'objet du problème est l'étude des propriétés des matrices de variance-covariance en liaison avec la loi des vecteurs aléatoires correspondants.
\end{itemize}

\section*{Partie I. Lois généralisées de Bernoulli}
Dans cette partie, on note \(u\) la matrice-colonne de \(\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\) dont tous les coefficients valent 1 .

\begin{enumerate}
  \item Soit \(a=\left(\begin{array}{c}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{k}\end{array}\right)\) une matrice-colonne non nulle de \(\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\) et \(\alpha=\sum_{i=1}^{k} a_{i}\). On pose : \(M=a^{i} u\).\\
a) Calculer la matrice \(M\) et préciser son rang.\\
b) Calculer la matrice \(M a\) et en déduire une valeur propre de \(M\).\\
c) Montrer que \(M^{2}=\alpha M\). Que peut-on en déduire sur les valeurs propres de \(M\) ?\\
d) Montrer que \(M\) est diagonalisable si et seulement si \(\alpha \neq 0\).\\
e) Pour quelles valeurs de \(\alpha\) la matrice \(I_{k}-M\) est-elle inversible?\\
f) On suppose que \(\alpha=1\). Montrer que \(M\) est la matrice dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{k}\) d'un projecteur dont on précisera l'image et le noyau. Dans quel cas ce projecteur est-il orthogonal ?\\
On dit qu'un vecteur aléatoire \(\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{k}\right)\) suit la loi généralisée de Bernoulli de paramètre \(p\), notée \(\mathcal{B}_{k}(p)\). si on a :
\end{enumerate}

\[
\forall i \in \llbracket 1, k \rrbracket, P\left(\left[X=e_{i}\right]\right)=p_{i}, \text { avec } X=\left(\begin{array}{c}
X_{1} \\
X_{2} \\
\vdots \\
X_{k}
\end{array}\right) \text {. }
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Soit \(\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{k}\right)\) un vecteur aléatoire suivant la loi \(\mathcal{B}_{k}(p)\).\\
a) Pour \(i \in \llbracket 1, k \rrbracket\), comparer les événements \(\left[X=e_{i}\right]\) et \(\left[X_{i}=1\right]\); en déduire que chaque variable aléatoire \(X_{i}\) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(p_{i}\) et écrire la matrice \(\mathcal{E}(X)\).\\
b) Quelle est la loi de la variable aléatoire \(X_{1}+X_{2}\) ?\\
c) Montrer que \(\operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)=-p_{1} p_{2}\).\\
d) Écrire la matrice \(\mathcal{V}(X)\).
  \item Soit \(M(p)\) la matrice de \(\mathcal{M}_{k}(\mathbb{R})\) définie par : \(M(p)=p^{t} u\).\\
a) Vérifier l'égalité : \(\mathcal{V}(X)=\left(I_{k}-M(p)\right) \operatorname{Diag}(p)\).\\
b) Montrer que si \(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}\) sont différents de 0 , le rang de \(\mathcal{V}(X)\) est égal à \(k-1\).\\
c) Soit \(\sigma\) une permutation de \(\llbracket 1, k \rrbracket\) et \(p_{\sigma}\) la matrice-colonne de \(\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\) de composantes \(p_{\sigma(1)}, p_{\sigma(2)}, \ldots, p_{\sigma(k)}\). Montrer que \(\mathcal{V}(X)\) est semblable à \(\left(I_{k}-p_{\sigma}{ }^{t} u\right) \operatorname{Diag}\left(p_{\sigma}\right)\).\\
d) Exprimer le rang de \(\mathcal{V}(X)\) en fonction du nombre d'éléments \(i\) de \(\llbracket 1, k \rrbracket\) pour lesquels on a \(p_{i} \neq 0\).
\end{enumerate}

\section*{Partie II. Tirages avec remise dans une population stratifiée}
Dans cette partie, on suppose que pour tout \(i \in \llbracket 1, k \rrbracket\), on a \(p_{i}>0\) et que \(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}\) sont les proportions d'individus appartenant aux diverses catégories d'une population statistique scindée en \(k\) catégories distinctes. Pour modéliser une suite illimitée de tirages équiprobables avec remise effectués dans cette population, on utilise des variables aléatoires \(X_{i}^{(n)}\) définies par:

\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall i \in \llbracket 1, k \rrbracket, X_{i}^{(n)}=\left\{\begin{array}{ll}
1 & \text { si l'individu extrait au } n \text {-ième tirage appartient à la } i \text {-ème catégorie } \\
0 & \text { sinon }
\end{array}\right. \text {. }
\]

On suppose que les vecteurs aléatoires \(\left(X_{1}^{(n)}, X_{2}^{(n)}, \ldots, X_{k}^{(n)}\right)\left(n \in \mathbb{N}^{*}\right)\) suivent chacun la loi \(\mathcal{B}_{k}(p)\) (partie I) et sont mutuellement indépendants. Cette indépendance mutuelle signifie que pour tout entier \(n \geqslant 2\) et pour toutes fonctions \(\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{n}\) définies sur \(\mathbb{R}^{k}\) à valeurs réelles, les variables aléatoires \(\varphi_{1}\left(X_{1}^{(1)}, X_{2}^{(1)}, \ldots, X_{k}^{(1)}\right)\), \(\varphi_{2}\left(X_{1}^{(2)}, X_{2}^{(2)}, \ldots, X_{k}^{(2)}\right), \ldots, \varphi_{n}\left(X_{1}^{(n)}, X_{2}^{(n)}, \ldots, X_{k}^{(n)}\right)\) sont indépendantes.\\
Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on note \(X^{(n)}\) la matrice-colonne de \(\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\) de composantes \(X_{1}^{(n)}, X_{2}^{(n)}, \ldots, X_{k}^{(n)}\) et \(S^{(n)}\) la matrice-colonne de \(\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\) de composantes \(S_{1}^{(n)}, S_{2}^{(n)}, \ldots, S_{k}^{(n)}\), où pour tout \(i \in \llbracket 1, k \rrbracket\), on a \(S_{1}^{(n)}=\sum_{j=1}^{n} X_{i}^{(j)}\).\\
4.a) Préciser l'ensemble \(N_{n}\) des matrices-colonnes \(s\) de \(\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\) pour lesquelles on a \(P\left(\left[S^{(n)}=s\right]\right)>0\).\\
b) Déterminer les lois respectives des deux variables aléatoires \(S_{1}^{(n)}\) et \(S_{1}^{(n)}+S_{2}^{(n)}\). Sont-elles indépendantes?\\
c) Montrer que \(\mathcal{V}\left(S^{(n)}\right)=n \mathcal{V}\left(X^{(1)}\right)\).\\
5. Soit \(H\) un élément de \(\mathcal{A}\) vérifiant \(0<P(H)<1, \bar{H}\) l'événement contraire de \(H\) et \(W\) une variable aléatoire discrète admettant une variance.\\
a) Justifier l'existence de \(E\left(W^{2} \mid H\right)\), espérance de \(W^{2}\) pour la probabilité conditionnelle \(P_{H}\).\\
b) On pose : \(V(W \mid H)=E\left(W^{2} \mid H\right)-(E(W \mid H))^{2}\) (variance de \(W\) pour la probabilité conditionnelle \(P_{H}\) ). En utilisant le système complet d'événements \((H, \bar{H})\) et la formule de l'espérance totale pour \(W\) et \(W^{2}\), établir l'inégalité : \(V(W) \geqslant P(H) V(W \mid H)\).\\
6. Pour tout \(i \in \llbracket 1, k \rrbracket\), on note \(T_{i}\) le temps d'attente du premier tirage d'un individu de la \(i\)-ème catégorie et on note \(T\) la matrice-colonne de \(\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\) de composantes \(T_{1}, T_{2}, \ldots, T_{k}\).\\
a) Soit \(i \in \llbracket 1, k \rrbracket\). Justifier que la probabilité que \(T_{i}\) soit infini est nulle. Quelle est la loi de \(T_{i}\) ?\\
b) On pose : \(H_{k}=\bigcap_{i=1}^{k-1}\left[T_{i}=i\right]\). Calculer \(P\left(H_{k}\right)\). Préciser la loi conditionnelle de \(T_{k}-(k-1)\) sachant \(H_{k}\). En déduire \(E\left(T_{k} \mid H_{k}\right)\) et \(V\left(T_{k} \mid H_{k}\right)\).\\
c) En exploitant le résultat de la question 5.b), établir pour tout vecteur \(v=\left(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{k}\right)\) de \(\mathbb{R}^{k}\), l'inégalité:

\[
V\left(\sum_{i=1}^{k} v_{i} T_{i}\right) \geqslant \frac{v_{k}^{2}\left(1-p_{k}\right)}{p_{k}^{2}} \times \prod_{i=1}^{k-1} p_{i}
\]

d) Montrer plus généralement que pour tout \(j \in \llbracket 1, k \rrbracket\), on a : \(V\left(\sum_{i=1}^{k} v_{i} T_{i}\right) \geqslant \frac{v_{j}^{2}\left(1-p_{j}\right)}{p_{j}^{2}} \times \prod_{\substack{i \in[1, k] \\ i \neq j}} p_{i}\).

\section*{Partie III. Support et rang stochastiques d'un vecteur aléatoire}
Dans toute cette partie, \(\left(Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{k}\right)\) désigne un vecteur aléatoire discret, à valeurs dans \(\mathbb{R}^{k}\), dont chaque composante admet une espérance et une variance. On rappelle que \(Y\) est la matrice-colonne de \(\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\) de composantes \(Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{k}\).\\
7. On appelle support vectoriel de \(Y\), tout sous-espace vectoriel \(F\) de \(\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\) tel que \(P([Y-\mathcal{E}(Y) \in F])=1\). On note \(\mathcal{S}(Y)\) l'ensemble des supports vectoriels de \(Y\).\\
a) Justifier l'existence d'un plus petit élément de l'ensemble des dimensions des éléments de \(\mathcal{S}(Y)\). Ce plus petit élément est appelé le rang stochastique de \(Y\) et noté \(R_{s}(Y)\).\\
b) Dans quels cas le rang stochastique \(R_{s}(Y)\) est-il nul?\\
c) Montrer que l'intersection de deux supports vectoriels \(F_{1}\) et \(F_{2}\) de \(Y\) est un support vectoriel de \(Y\).\\
d) En déduire l'existence d'un unique élément \(F\) de \(\mathcal{S}(Y)\) tel que la dimension de \(F\) soit égale à \(R_{s}(Y)\). L'espace vectoriel \(F\) est appelé le support stochastique de \(Y\).\\
8. Soit \(u\) une matrice-colonne de \(\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\) de composantes \(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{k}\).\\
a) Montrer que la variable aléatoire \(\sum_{i=1}^{k} u_{i} Y_{i}\) admet une variance, égale à \(t \mathcal{V}(Y) u\).\\
b) Établir l'existence d'un unique vecteur ( \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{k}\) ) de \(\mathbb{R}^{k}\) tel que \(\mathcal{V}(Y)\) soit semblable à la matrice \(\operatorname{Diag}(\lambda)\) et pour lequel \(\lambda_{1} \geqslant \lambda_{2} \geqslant \ldots \geqslant \lambda_{k} \geqslant 0\) (on note \(\operatorname{Diag}(\lambda)\) la matrice diagonale de \(\mathcal{M}_{k}(\mathbb{R})\) de coefficients diagonaux \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{k}\) ).\\
c) On pose: \(\|Y-\mathcal{E}(Y)\|^{2}=\sum_{i=1}^{k}\left(Y_{i}-E\left(Y_{i}\right)\right)^{2}\). Montrer que \(E\left(\|Y-\mathcal{E}(Y)\|^{2}\right)=\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i}\).\\
9. Soit \(q \in \llbracket 1, k \rrbracket, F\) un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\) de dimension \(q\) et \(\left(f^{(1)}, f^{(2)}, \ldots, f^{(q)}\right)\) une base orthonormale de \(F\).\\
a) Soit \(\omega \in \Omega\). Justifier l'existence de \(Q_{F}(\omega)=\operatorname{Inf}\left\{\|Y(\omega)-\mathcal{E}(Y)-x\|^{2} ; x \in F\right\}\) et montrer que:

\[
\|Y(\omega)-\mathcal{E}(Y)\|^{2}=Q_{F}(\omega)+\sum_{j=1}^{q}\left\langle Y(\omega)-\mathcal{E}(Y), f^{(j)}\right\rangle^{2}
\]

b) À l'aide de la question 8 , établir l'égalité : \(E\left(Q_{F}\right)=\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i}-\sum_{j=1}^{q}{ }^{t} f^{(j)} \mathcal{V}(Y) f^{(j)}\).\\
c) Que devient l'égalité précédente lorsque \(F=\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\) ?\\
10.a) Montrer que pour toute matrice-colonne \(f\) de \(\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\) vérifiant \(\|f\|=1\), on a : \({ }^{t} f \mathcal{V}(Y) f \leqslant \lambda_{1}\).\\
b) En déduire la borne inférieure de \(E\left(Q_{F}\right)\) lorsque \(F\) décrit l'ensemble des droites vectorielles de \(\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\).\\
c) Dans cette question, on suppose que \(\left(Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{k}\right)\) suit la loi \(\mathcal{B}_{k}(p)\), où pour tout \(i \in \llbracket 1, k \rrbracket\), on a \(p_{i}=\frac{1}{k}\).

Calculer les valeurs propres de \(\mathcal{V}(Y)\) et la borne inférieure de \(E\left(Q_{F}\right)\) pour l'ensemble des droites vectorielles \(F\) de \(\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\), puis préciser pour quelle(s) droite(s) cette borne est atteinte.\\
11. On suppose que le rang \(r\) de \(\mathcal{V}(Y)\) est non nul. On note \(F_{0}\) la somme des sous-espaces propres associés aux valeurs propres non nulles de \(\mathcal{V}(Y)\) et \(F\) un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_{k, 1}(\mathbb{R})\) tel que \(F \subset F_{0}\) et \(F \neq F_{0}\).\\
a) Calculer \(E\left(Q_{F_{0}}\right)\) et en déduire que \(F_{0}\) est un support vectoriel de \(Y\).\\
b) Justifier l'existence d'un vecteur \(f^{(r)}\) de \(F_{0}\), orthogonal à \(F\) et de norme 1 .\\
c) Montrer que \(f^{(r)} \mathcal{V}(Y) f^{(r)}>0\) et en déduire que \(E\left(Q_{F}\right) \neq 0\).\\
d) Montrer que le rang stochastique \(R_{s}(Y)\) de \(Y\) est égal à \(r\).\\
12. Dans cette question, on reprend les définitions et notations de la question 6.\\
a) À l'aide de la question 6.d), montrer que le rang stochastique \(R_{s}(T)\) de \(T\) est égal à \(k\).\\
b) Montrer que pour tout \(i \in \mathbb{N}^{*}\), on a : \(E\left(T_{1} T_{2} \mid\left[T_{1}=i\right] \cap\left[T_{2}>i\right]\right)=i\left(i+\frac{1}{p_{2}}\right)\).\\
c) Établir la relation : \(E\left(T_{1} T_{2}\right)=\frac{1}{p_{1} p_{2}}-\frac{1}{p_{1}+p_{2}}\).\\
d) On note \(\Pi=\left(\pi_{i, j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant k}\) la matrice de \(\mathcal{M}_{k}(\mathbb{R})\) définie par ; \(\pi_{i, j}=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1-p_{i}}{p_{i}^{2}} & \text { si } i=j \\ -\frac{1}{p_{i}+p_{j}} & \text { si } i \neq j\end{array}\right.\).

Montrer que la matrice \(\Pi\) est inversible.


\end{document}