\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{bbold}
\usepackage{caption}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\graphicspath{ {./images/} }

\title{Conception : HEC Paris - ESCP Europe }

\author{OPTION SCIENTIFIQUE}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\captionsetup{singlelinecheck=false}


\section*{MATHÉMATIQUES II }
Mercredi 3 mai 2017, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document, L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{Dans tout le problème:}
\begin{itemize}
  \item toutes les variables aléatoires introduites sont supposées définies sur le même espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) );
  \item on note \(\theta\) un paramètre réel.
\end{itemize}

\section*{Partic I. Une démonstration probabiliste de la formule de Stirling}
Pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), soit \(h_{n}\) la fonction définie par : \(\forall x \in[0,1], h_{n}(x)=\left((1-x) \mathrm{e}^{x}\right)^{n}\).\\
Pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), on pose : \(I_{n}=\int_{0}^{1} h_{n}(x) \mathrm{d} x\).\\
1.a) À l'aide du changement de variable \(u=n(1-x)\), montrer que : \(\forall n \in \mathbf{N}^{*}, I_{n}=\frac{\mathrm{e}^{n}}{n^{n+1}} \int_{0}^{n} u^{n} \mathrm{e}^{-u} \mathrm{~d} u\).\\
b) Montrer que pour tout \(x \in[0,1]\), on a : \(x+\ln (1-x) \leqslant-\frac{x^{2}}{2}\).\\
c) En se référant à une densité de la loi normale centrée réduite, en déduire que : \(\forall n \in \mathbf{N}^{*}, 0 \leqslant I_{n} \leqslant \sqrt{\frac{\pi}{2 n}}\).\\
2. On note \(h_{n}^{*}\) la restriction à l'intervalle ] 0,1 [ de la fonction \(h_{n}\).

On pose pour tout \(x \in] 0,1\left[: h_{n}^{*}(x)=\exp \left(-\frac{n x^{2}}{2} H(x)\right)\right.\) et \(g(x)=(1-x) \ln (1-x)+x-\frac{x^{2}}{2}\).\\
a) Montrer que \(H\) est prolongeable par continuité en 0 . On note encore \(H\) la fonction ainsi prolongée.\\
b) Montrer que la fonction \(g\) est convexe et strictement positive sur \(] 0,1[\).\\
c) En déduire que la fonction \(H\) réalise une bijection strictement croissante de \([0,1[\operatorname{sur}[1,+\infty[\).\\
3. Soit \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbf{N}^{*}}\) une suite convergente de limite nulle telle que : \(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n} \sqrt{n}=+\infty\) et \(\forall n \in \mathbf{N}^{*}, 0<u_{n}<1\).\\
a) Donner un exemple d'une telle suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathrm{~N}^{*}}\).\\
b) Soit \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbf{N}^{*}}\) la suite définie par : \(\forall n \in \mathbf{N}^{*}, v_{n}=H\left(u_{n}\right)\). Montrer que la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbf{N}^{*}}\) est convergente et préciser sa limite.\\
c) Établir pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), l'encadrement : \(I_{n} \geqslant \int_{0}^{u_{n}} h_{n}(x) \mathrm{d} x \geqslant \frac{1}{\sqrt{n v_{n}}} \int_{0}^{u_{n} \sqrt{n v_{n}}} \exp \left(-\frac{y^{2}}{2}\right) \mathrm{d} y\).\\
d) Déduire des questions 1.c) et 3.c), un équivalent de \(I_{n}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).\\
4. Soit \(\left(T_{n}\right)_{n \in \mathbf{N}^{*}}\) une suite de variables aléatoires définies sur ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), mutuellement indépendantes et de même loi exponentielle de paramètre 1. Pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), on pose : \(S_{n}=T_{1}+T_{2}+\cdots+T_{n}\).\\
a) Rappeler la loi suivie par la variable aléatoire \(S_{n}\) et montrer que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} P\left(\left[S_{n} \leqslant n\right]\right)=\frac{1}{2}\).\\
b) Pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), on pose : \(U_{n}=\frac{T_{n+1}}{\sqrt{n}}\). Montrer que la suite \(\left(U_{n}\right)_{n \in \mathbf{N}^{*}}\) converge en probabilité vers la constante 0 .\\
c) En déduire que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} P\left(\left[S_{n+1} \leqslant n\right]\right)=\frac{1}{2}\).\\
5. Montrer que \(n!\underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} n^{n} \mathrm{e}^{-n} \sqrt{2 \pi n}\) (formule de Stirling),

\section*{Partie II. Quelques propriétés de la loi de Cauchy}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item On rappelle que la fonction Arctan est la fonction réciproque de la restriction à l'intervalle ouvert \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\) de la fonction tan, qu'elle est de classe \(C^{\infty}\) sur \(\mathbf{R}\) admettant pour dérivée la fonction \(x \longmapsto \frac{1}{1+x^{2}}\) pour tout \(x \in \mathbf{R}\) et qu'elle réalise une bijection de \(\mathbf{R}\) sur \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\).\\
a) Montrer que la fonction Arctan est impaire.\\
b) Justifier l'existence d'un développement limité à l'ordre 3 de la fonction Arctan en 0 et le déterminer.\\
c) Établir pour tout \(x \in \mathbf{R}_{+}\), l'encadrement : \(0 \leqslant \operatorname{Arctan}(x) \leqslant x\).\\
d) Montrer que pour tout \(x \in \mathbf{R}_{+}^{*}\), on a : \(\operatorname{Arctan}(x)+\operatorname{Arctan}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}\).\\
7.a) Montrer que la fonction \(x \longmapsto \frac{1}{\pi} \times \frac{1}{1+(x-\theta)^{2}}\) est une densité de probabilité sur \(\mathbf{R}\).
\end{enumerate}

Dans toute la suite du problème, on note \(X\) une variable aléatoire à valeurs réelles, de densité \(f_{X}\) telle que :

\[
\forall x \in \mathbf{R}, f_{X}(x)=\frac{1}{\pi} \times \frac{1}{1+(x-\theta)^{2}}
\]

On dit que \(X\) suit une loi de Cauchy de paramètre \(\theta\) et on note : \(X \hookrightarrow \mathcal{C}_{\theta}\).\\
b) La variable aléatoire \(X\) admet-elle une espérance?\\
c) Pour \(\theta=0\), tracer la courbe représentative de \(f_{X}\) dans le plan rapporté à un repère orthogonal.\\
8.a) On note \(F_{X}\) la fonction de répartition de \(X\). Pour tout \(x \in \mathbf{R}\), calculer \(F_{X}(x)\).\\
b) Montrer que l'équation \(F_{X}(x)=\frac{1}{2}\) d'inconnue \(x\), admet une unique solution que l'on déterminera.

Cette solution est la médiane théorique de \(X\).

\section*{Partie III. La loi de la moyenne empirique}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{8}
  \item Pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\) et pour tout \(x \in \mathbf{R}\), soit \(\varphi_{n, x}\) la fonction définie sur \(\mathbf{R}\) par :
\end{enumerate}

\[
\forall t \in \mathbf{R}, \quad \varphi_{n, x}(t)=\frac{1}{\left(1+t^{2}\right)\left(1+(x-n t)^{2}\right)}
\]

On admet l'existence d'un unique quadruplet \((\alpha, \beta, \gamma, \delta)\) de réels indépendants de \(t\) pour lesquels on a :

\[
\forall t \in \mathbf{R}, \varphi_{n, x}(t)=\frac{\alpha t+\beta}{1+t^{2}}+\frac{\gamma t+\delta}{1+(x-n t)^{2}}
\]

Pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\) et pour tout \(x \in \mathbf{R}\), on pose : \(\sigma_{n, x}=\left(x^{2}+(n+1)^{2}\right)\left(x^{2}+(n-1)^{2}\right)\).\\
On admet sans démonstration que : \(\alpha=\frac{2 n x}{\sigma_{n, x}}, \quad \beta=\frac{1+x^{2}-n^{2}}{\sigma_{n, x}}, \quad \gamma=-\frac{2 n^{3} x}{\sigma_{n, x}}, \quad \delta=\frac{n^{2}\left(3 x^{2}+n^{2}-1\right)}{\sigma_{n, x}}\).\\
a) Établir la convergence de l'intégrale \(\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi_{n, x}(t) \mathrm{d} t\).\\
b) À l'aide d'une primitive de la fonction \(\psi_{n, x}: t \longmapsto \frac{2 t}{1+t^{2}}-\frac{2 n(n t-x)}{1+(x-n t)^{2}}\), montrer que \(\int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{n, x}(t) \mathrm{d} t=0\).\\
c) Établir la relation : \(\forall n \in \mathbf{N}^{*}, \forall x \in \mathbf{R}, \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi_{n, x}(t) \mathrm{d} t=\frac{(n+1) \pi}{x^{2}+(n+1)^{2}}\).\\
10. On pose : \(Y=X-\theta\). Pour \(n\) entier de \(\mathbf{N}^{*}\), soit \(\left(Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{n}\right)\) un \(n\)-échantillon de variables aléatoires indépendantes et de même loi que \(Y\).\\
Pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), on pose : \(S_{n}=\sum_{i=1}^{n} Y_{i}\) et \(\bar{Y}_{n}=\frac{S_{n}}{n}\) (moyenne empirique de l'échantillon \(\left(Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{n}\right)\) ).\\
a) Déterminer la fonction de répartition \(F_{Y}\) de \(Y\). Quelle est la loi de \(Y\) ?\\
b) Quelle est la fonction de répartition de \(S_{2}\) ? En déduire la loi de \(\overline{Y_{2}}\).\\
c) Déterminer pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), la loi de la variable aléatoire \(\bar{Y}_{n}\).\\
d) La loi faible des grands nombres s'applique-t-elle à la suite \(\left(\bar{Y}_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) ? Pourquoi ?\\
11. Soit \((N, n) \in \mathbf{N}^{* 2}\). On veut simuler \(N\) réalisations de la moyenne empirique' \(\bar{Y}_{n}\).

On suppose que l'on connait une fonction Scilab cauchy telle que la commande \(A=c a u c h y(N, n)\) retourne une matrice \(A \in \mathcal{M}_{N, n}(\mathbf{R})\), réalisation d'une famille \(\left(Y_{i, j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant N \\ 1 \leqslant j \leqslant n}}\) de variables aléatoires indépendantes de loi \(\mathcal{C}_{0}\).

Soit \(M\) une matrice de \(\mathcal{M}_{N, n}(\mathbf{R})\) avec \((N, n) \in \mathbf{N}^{* 2}\). On rappelle que dans le langage Scilab :

\begin{itemize}
  \item la commande sum(M) retourne une matrice de \(\mathcal{M}_{1,1}(\mathbf{R})\) contenant la somme de tous les éléments de \(M\);
  \item la commande sum ( \(M\), 'r') retourne un vecteur ligne de \(\mathcal{M}_{1, n}(\mathbf{R})\) contenant les sommes des éléments de \(M\) calculées colonne par colonne;
  \item la commande sum ( \(M\), ' \(c\) ') retourne un vecteur colonne de \(\mathcal{M}_{N, 1}(\mathbf{R})\) contenant les sommes des éléments de \(M\) calculées ligne par ligne;
  \item la commande linspace(a,b,m) retourne un vecteur ligne de \(m\) valeurs régulièrement espacées entre \(a\) et \(b\) et l'on obtient le même vecteur avec la commande (a : \(\ell: \mathrm{b})\) en prenant \(\ell=\frac{b-a}{m-1}\);
  \item la commande histplot(y,data) permet de représenter les éléments du vecteur data sous la forme d'un histogramme; les classes de l'histogramme sont définies par le vecteur strictement croíssant y ; si ce vecteur contient \(m\) éléments \(y(1), y(2), \ldots y(m)\) tels que \(y(1)<y(2)<\ldots<y(m)\), alors la première classe de l'histogramme est l'intervalle [y(1), y(2)] et les autres classes sont les intervalles ]y(i), y(i+1)] pour \(2 \leqslant i \preccurlyeq m\).\\
a) Compléter le programme suivant afin que la matrice MoyEmp contienne 12000 réalisations de la moyenne empirique \(\bar{Y}_{200}\).
\end{itemize}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{histogramme 1}
  \includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{684dce5a-a202-4498-a874-0772dc12a6f6-4_657_479_260_920}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{histogramme 2}
  \includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{684dce5a-a202-4498-a874-0772dc12a6f6-4_659_479_260_1452}
\end{center}
\end{figure}

b) Les histogrammes 1 et 2 ont été obtenus à l'aide de ce programme. Expliquer en quoi ce couple d'histogrammes illustre le résultat de la question 10.c).

\section*{Partie IV. La loi de la médiane empirique}
Dans les questions 19, 14 et 15, on suppose que le paramètre \(\theta\) est inconnu.\\
On rappelle que \(X \hookrightarrow \mathcal{C}_{0}\). Pour \(n\) entier de \(\mathbf{N}^{*}\), on note \(\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{2 n+1}\right)\) un ( \(2 n+1\) )-échantillon de variables aléatoires indépendantes et de même loí que \(X\).\\
On admet l'existence de ( \(2 n+1\) ) fonctions \(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{2 n+1}\) continues sur \(\mathbf{R}^{2 n+1}\) à valeurs réelles, telles que les variables aléatoires réelles \(\hat{X}_{1}, \hat{X}_{2}, \ldots, \hat{X}_{2 n+1}\) définies par: \(\forall k \in \llbracket 1,2 n+1 \rrbracket, \hat{X}_{k}=g_{k}\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{2 n+1}\right)\) soient des variables aléatoires à densité et que pour tout \(\omega \in \Omega\), les réels \(\hat{X}_{1}(\omega), \hat{X}_{2}(\omega), \ldots, \hat{X}_{2 n+1}(\omega)\) soient un réarrangement par ordre croissant de \(X_{1}(\omega), X_{2}(\omega), \ldots, X_{2 n+1}(\omega): \forall \omega \in \Omega, \hat{X}_{1}(\omega) \leqslant \hat{X}_{2}(\omega) \leqslant \ldots \leqslant \hat{X}_{2 n+1}(\omega)\). En particulier, la variable aléatoire \(\hat{X}_{n+1}\) est la médiane empirique de l'échantillon \(\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{2 n+1}\right)\).\\
12. Pour tout \(h \in \mathbf{R}_{+}^{*}\) et pour tout \(x \in \mathbf{R}\), on note \(Z\) la variable aléatoire discrète définie par :

\[
\forall \omega \in \Omega, Z(\omega)=\operatorname{Card}\left\{i \in \llbracket 1,2 n+1 \rrbracket ; x<X_{i}(\omega)<x+h\right\} .
\]

On note \(A\) et \(B\) les deux événements suivants : \(A=\left[x<\widehat{X}_{n+1} \leqslant x+h\right]\) et \(B=A \cap[Z=1]\).\\
a) Établir la relation: \(P(B)=(n+1)\binom{2 n+1}{n}\left(F_{X}(x)\right)^{n}\left(F_{X}(x+h)-F_{X}(x)\right)\left(1-F_{X}(x+h)\right)^{n}\).\\
b) On suppose que le réel \(x\) est fixé. Montrer qu'il existe un réel \(K\) indépendant de \(h\) pour lequel on a :

\[
0 \leqslant P(A)-P(B) \leqslant K\left(F_{X}(x+h)-F_{X}(x)\right)^{2}
\]

c) Montrer que \(\hat{X}_{n+1}\) admet une densité \(f_{\hat{X}_{n+1}}\) donnée par :

\[
\forall x \in \mathbf{R}, f_{\bar{X}_{n+1}}(x)=(n+1)\binom{2 n+1}{n}\left(F_{X}(x)\right)^{n}\left(1-F_{X}(x)\right)^{n} f_{X}(x)
\]

13.a) Établir l'équivalence suivante : \(x f_{\hat{X}_{n+1}}(x) \underset{x \rightarrow+\infty}{\sim}(n+1)\binom{2 n+1}{n} \frac{1}{\pi^{n+1}} \times \frac{1}{x^{n+1}}\).\\
b) En déduire l'existence de l'espérance \(E\left(\widehat{X}_{n+1}\right)\) de la variable aléatoire \(\hat{X}_{n+1}\).\\
c) Justifier que \(\hat{X}_{n+1}\) est un estimateur du paramètre \(\theta\). Calculer \(E\left(\hat{X}_{n+1}-\theta\right)\). Conclure.\\
d) À quelle condition nécessaire et suffisante portant sur \(n\), la variable aléatoire \(\hat{X}_{n+1}\) admet-elle une variance?\\
14. On note \(F_{\hat{X}_{n+1}}\) la fonction de répartition de \(\hat{X}_{n+1}\). Soit \(\varepsilon\) un réel strictement positif.\\
a) Établir la relation : \(\forall t \in \mathbf{R}, f_{\widehat{X}_{n+1}}(2 \theta-t)=f_{\widehat{X}_{n+1}}(t)\). En déduire que \(P\left(\left[\left|\widehat{X}_{n+1}-\theta\right| \geqslant \varepsilon\right]\right)=2 F_{\widehat{X}_{n+1}}(\theta-\varepsilon)\).\\
b) Montrer que la suite d'estimateurs \(\left(\hat{X}_{n+1}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge en probabilité vers \(\theta\).\\
c) La suite \(\left(\widehat{X}_{n+1}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\), converge-t-elle en loi vers la variable certaine \(\theta\) ?\\
15. Pour tout entier \(n \geqslant 2\), on pose : \(W_{n+1}=\frac{2 \sqrt{2 n+1}}{\pi}\left(\dot{X}_{n+1}-\theta\right)\).\\
a) On note \(f_{W_{n+1}}\) la densité continue sur \(\mathbf{R}\) de \(W_{n+1}\). Montrer que :

\[
\forall x \in \mathbf{R}, f_{W_{n+1}}(x)=\frac{n+1}{2 \sqrt{2 n+1}}\binom{2 n+1}{n}\left[\frac{1}{4}-\frac{1}{\pi^{2}}\left(\operatorname{Arctan}\left(\frac{\pi x}{2 \sqrt{2 n+1}}\right)\right)^{2}\right]^{n} \times\left(1+\frac{\pi^{2} x^{2}}{4(2 n+1)}\right)^{-1} .
\]

b) Montrer que pour tout \(x \in \mathbf{R}\), on a : \(\lim _{n \rightarrow+\infty} f_{W_{n+1}}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{x^{2}}{2}\right)\).

On admet que ce résultat implique la convergence en loi de la suite de variables aléatoires \(\left(W_{n+1}\right)_{n \geqslant 2}\) vers une variable aléatoire \(T\) qui suit la loi normale centrée réduite.\\
c) On note \(\Phi\) la fonction de répartition de \(T\). Soit \(\alpha\) un réel vérifiant \(0<\alpha<1\); on pose : \(t_{\alpha}=\Phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)\).

Déterminer un intervalle de confiance asymptotique pour \(\theta\), centré sur \(\hat{X}_{n+1}\), au niveau de confiance \(1-\alpha\).\\
16. Dans le langage Scilab, la fonction gsort permet de trier les éléments d'une matrice réelle \(A\) :

\begin{itemize}
  \item la commande gsort(A, 'r') renvoie une copie de \(A\) triée colonne par colonne, par ordre décroissant (chaque colonne est triée indépendamment des autres);
  \item la commande gsort ( A , ' c ') renvoie une copie de \(A\) triée ligne par ligne, par ordre décroissant (chaque ligne est triée indépendamment des autres).\\
On suppose que \(\theta=0\) et on considère \(p\) réalisations ( \(p \geqslant 10^{4}\) ) du ( \(2 n+1\) )-échantillon ( \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{2 n+1}\) ). Recopier et compléter le code suivant afin que son exécution retourne un vecteur MedianeEmp de \(p\) réalisations de la médiane empirique \(\hat{X}_{n+1}\), puis un vecteur W de \(p\) réalisations de \(W_{n+1}\).
\end{itemize}

\begin{verbatim}
A=cauchy(p,2*n+1)
Smgsort ..........
MedianeEmp= .........
W= .........
\end{verbatim}


\end{document}