\documentclass[10pt]{article}
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\title{MATHÉMATIQUES APPROFONDIES }

\author{FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE\\
VOIE GENERALE}
\date{}


\DeclareUnicodeCharacter{2192}{\ifmmode\rightarrow\else{$\rightarrow$}\fi}

\begin{document}
\maketitle
Jeudi 27 avril 2023, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{Notations}
Dans tout le texte, on adopte les notations suivantes:

\begin{itemize}
  \item Pour tout entier \(n \geqslant 0\), on note \(\llbracket 0 ; n \rrbracket\) l'ensemble des entiers \(k\) vérifiant \(0 \leqslant k \leqslant n\).
  \item Si \(x \in \mathbb{R}\), on note \(\lfloor x\rfloor\) la partie entière de \(x\).
  \item Pour tous \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et \(m \in \mathbb{N}^{*}, \mathcal{M}_{n, m}(\mathbb{R})\) désigne l'ensemble des matrices à coefficients réels ayant \(n\) lignes et \(m\) colonnes. On pose \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})=\mathcal{M}_{n, n}(\mathbb{R})\) et on note \(I_{n}\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). Les coefficients d'une matrice \(A \in \mathcal{M}_{n, m}(\mathbb{R})\) sont notés \((A)_{i, j}, 1 \leqslant i \leqslant n\) et \(1 \leqslant j \leqslant m\).
  \item La transposée d'une matrice \(A\) est notée \({ }^{t} A\). Lorsque \(A=[a] \in \mathcal{M}_{1}(\mathbb{R})\), où \(a \in \mathbb{R}\), on identifie \(A\) au réel \(a\). Si \(V \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R}), n \in \mathbb{N}^{*}\), on note \(\|V\|\) sa norme euclidienne.
  \item Soit \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) un espace probabilisé. Toutes les variables aléatoires de cet énoncé sont définies sur cet espace.
  \item Si \(X\) est une variable aléatoire réelle, on note \(\mathbb{E}(X)\) son espérance, si elle existe. Pour tout \(k \in \mathbb{N}^{*}\), on appelle moment d'ordre \(k\) de \(X\), s'il existe, le réel \(\mathbb{E}\left(X^{k}\right)\). On le note \(m_{k}(X)\) et on convient que \(m_{0}(X)=1\)
  \item Si \(g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) est une fonction de deux variables de classe \(C^{2}\) et \(\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}\), on notera \(\nabla g\left(x_{1}, x_{2}\right)\) et \(\nabla^{2} g\left(x_{1}, x_{2}\right)\), respectivement, le gradient et la matrice hessienne de \(g\) au point ( \(x_{1}, x_{2}\) ).
  \item \(\forall \alpha \in \mathbb{R}_{+}^{*}\), on définit la fonction puissance \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}_{+}\)par
\end{itemize}

\[
\begin{aligned}
\mathbb{R}_{+} & \rightarrow \mathbb{R}_{+} \\
x & \mapsto\left\{\begin{array}{cl}
x^{\alpha}=e^{\alpha \ln (x)} & \text { si } x>0 \\
0 & \text { sinon }
\end{array}\right.
\end{aligned}
\]

\begin{itemize}
  \item Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\) et \(J\) un intervalle de \(\mathbb{R}\). On note \(f_{\mid J}\), la restriction de \(f\) à \(J\) :
\end{itemize}

\[
f_{\mid J}: \begin{aligned}
J & \rightarrow \mathbb{R} \\
x & \mapsto f(x)
\end{aligned}
\]

L'énoncé comporte trois grandes parties I, II et III. Les parties II et III sont largement indépendantes.\\
Le mot FIN marque la fin de l'énoncé.

\section*{Partie I : questions préliminaires, problème des moments}
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle à densité.

\begin{enumerate}
  \item Montrer que dans les cas suivants, la variable \(X\) admet des moments de tout ordre et déterminer ces moments :\\
(a) \(X\) suit la loi uniforme sur \([0,1]\).\\
(b) \(X\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda \in \mathbb{R}_{+}^{*}\).
\end{enumerate}

Dans toute la suite, on se donne une suite de réels \(\left(u_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) avec \(u_{0}=1\) et un intervalle \(J\) de \(\mathbb{R}\).

On considère le problème suivant appelé problème des moments et qu'on note \(\mathscr{M}^{\star}(J)\) :

Trouver une variable aléatoire réelle \(X\) vérifiant les trois conditions suivantes :

\begin{itemize}
  \item Pour tout \(k \in \mathbb{N}, X\) admet un moment d'ordre \(k\) et \(m_{k}(X)=u_{k}\).
  \item \(X\) admet une densité \(f\), avec \(f_{\mid J}\) continue sur \(J\).
  \item \(\forall x \in \mathbb{R} \backslash J, f(x)=0\).
\end{itemize}

Si \(X\) est une solution de ce problème et \(f\) une densité de \(X\) vérifiant les points précédents, on dit que \(f\) est une densité de \(X\) adaptée à \(\mathscr{M}^{\star}(J)\).

Dans ce problème, on s'intéressera uniquement à deux cas :

\begin{itemize}
  \item Le cas \(J=\mathbb{R}_{+}\). Dans ce cas, \(\mathscr{M}^{*}(J)\) est appelé le problème de Stieltjes.
  \item Le cas \(J=[0,1]\). Dans ce cas, \(\mathscr{M}^{\star}(J)\) est appelé le problème de Hausdorff.
\end{itemize}

\section*{Partie II : le problème de Stieltjes}
\section*{II.1) Des conditions nécessaires d'existence}
On suppose dans cette partie II. 1 que le problème \(\mathscr{M}^{\star}(J)\) avec \(J=\mathbb{R}_{+}\)admet une solution notée \(X\). On note \(f\) une densité de \(X\) adaptée à \(\mathscr{M}^{\star}(J)\).\\
Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{\star}\), on note \(H_{n}\) et \(G_{n}\) les matrices de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) dont les coefficients sont :

\[
\forall(i, j) \in \llbracket 1 ; n \rrbracket^{2}, \quad\left(H_{n}\right)_{i, j}=u_{i+j-2}, \quad\left(G_{n}\right)_{i, j}=u_{i+j-1}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Ecrire explicitement \(H_{3}\) et \(G_{3}\) en fonction de \(u_{0}, u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}\) et \(u_{5}\).
  \item Soit \(n \in \mathbb{N}^{\star}\) et \(W=\left[\begin{array}{c}\alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{n}\end{array}\right] \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\). Montrer que
\end{enumerate}

\[
{ }^{t} W H_{n} W=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j} u_{i+j-2}
\]

puis que

\[
{ }^{t} W H_{n} W=\int_{0}^{+\infty}(P(x))^{2} f(x) \mathrm{d} x
\]

où \(P\) est la fonction polynomiale définie par

\[
P(x)=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} x^{i-1} \text { pour tout } x \in \mathbb{R}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item En déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), toutes les valeurs propres de \(H_{n}\) sont positives.
  \item Montrer de même que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), toutes les valeurs propres de \(G_{n}\) sont positives.
  \item On suppose uniquement dans cette question que \(u_{0}=1, u_{1}=\frac{1}{2}\) et \(u_{2}=\frac{1}{3}\).
\end{enumerate}

Montrer que nécessairement \(u_{3} \geqslant \frac{2}{9}\).\\
7. On suppose dans cette question seulement qu'il existe un réel \(\theta>0\) tel que l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} f(t) \exp \left(t^{\theta}\right) d t\) converge.\\
(a) Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et tout \(t \in \mathbb{R}_{+}\), on a

\[
t^{n} \exp \left(-t^{\theta}\right) \leqslant\left(\frac{n}{\theta}\right)^{\frac{n}{\theta}} \exp \left(-\frac{n}{\theta}\right)
\]

(b) En déduire que la série de terme général \(\left(u_{n}\right)^{-\frac{\theta}{n}}\) diverge.

\section*{8. Python}
On se donne un entier naturel \(N\). On pose : \(N^{\star}=1+\left\lfloor\frac{N}{2}\right\rfloor\).\\
On voudrait vérifier numériquement que la condition suivante, portant sur les \(N+1\) premiers termes \(u_{0}, \cdots, u_{N}\), est vérifiée :

\[
\forall n \in \llbracket 0 ; N^{\star} \rrbracket, \quad \text { toutes les valeurs propres de } H_{n} \text { sont positives } \quad\left(C S_{N}\right)
\]

On rappelle que cette condition est nécessaire d'après la question 4 ci-dessus.\\
La fonction test\_stieltjes() ci-dessous est écrite en langage Python. Elle est incomplète. Elle a comme paramètre d'entrée un tableau unidimensionnel \(U\) (de type array) comportant une suite finie de nombres réels \(u_{0}, \cdots, u_{N}\).\\
Compléter les parties soulignées en pointillé afin que la fonction test\_stieltjes() renvoie la valeur 1 si la condition \(\left(C S_{N}\right)\) est satisfaite et renvoie la valeur 0 sinon.\\
On notera que la fonction eigvalsh() de la librairie numpy. linalg renvoie un tableau unidimensionnel contenant les valeurs propres d'une matrice symétrique donnée en paramètre.\\
On reproduira sur la copie le programme après l'avoir complété (sans les commentaires).

\begin{verbatim}
import numpy as np
import numpy.linalg as al
def test_stieltjes(U):
    N = len(U) - 1 # indice du dernier terme de la suite finie U
    m = 1+ N // 2
    H = np.zeros((m, m))
    for n in range(1, m+1): # taille de la matrice H_n
        for i in range(_______, ________):
            H[i, n-1] = U[i+n-1]
            H[n-1, i] =
        valp = al.eigvalsh(H)
        for k in range(0, _-_-_-___):
            if (__-_-_-_-_-_-_-_-___):
                return __-_
    return __-_
\end{verbatim}

\section*{II.2) Non unicité des solutions}
On définit la fonction \(g:[0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R}\) par

\[
g(x)=\exp \left(-x^{1 / 4}\right) \sin \left(x^{1 / 4}\right) \text { pour tout } x \in[0,+\infty[.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{8}
  \item Soit \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que les intégrales
\end{enumerate}

\[
\int_{0}^{+\infty} t^{n} e^{-t} \sin (t) \mathrm{d} t \quad \text { et } \quad \int_{0}^{+\infty} t^{n} e^{-t} \cos (t) \mathrm{d} t
\]

existent (on convient que \(t^{0}=1\) ).\\
On note dans la suite

\[
S_{n}=\int_{0}^{+\infty} t^{n} e^{-t} \sin (t) \mathrm{d} t, \quad T_{n}=\int_{0}^{+\infty} t^{n} e^{-t} \cos (t) \mathrm{d} t \quad \text { et } \quad V_{n}=\left[\begin{array}{c}
S_{n} \\
T_{n}
\end{array}\right] \in \mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{9}
  \item Montrer que \(S_{0}=\frac{1}{2}\). On admet que \(T_{0}=S_{0}\).
  \item Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) on a
\end{enumerate}

\[
\begin{aligned}
& S_{n+1}+T_{n+1}=(n+1) T_{n}, \\
& S_{n+1}-T_{n+1}=(n+1) S_{n} .
\end{aligned}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{11}
  \item En déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) on a
\end{enumerate}

\[
V_{n+1}=(n+1) M V_{n}, \quad \text { où } M=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{array}\right] .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{12}
  \item En déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}\)
\end{enumerate}

\[
V_{n}=n!M^{n} V_{0} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{13}
  \item Calculer \(M^{4}\) et en déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}\)
\end{enumerate}

\[
S_{4 n+3}=0 .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{14}
  \item En utilisant le changement de variable \(x=t^{4}\) dont on justifiera la validité, montrer que:
\end{enumerate}

\[
\forall n \in \mathbb{N}, \quad \int_{0}^{+\infty} x^{n} g(x) \mathrm{d} x=0
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{15}
  \item Montrer qu'il existe deux fonctions \(g_{1}\) et \(g_{2}\) positives, distinctes, continues sur \(\mathbb{R}_{+}\)et telles que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) les deux intégrales
\end{enumerate}

\[
\int_{0}^{+\infty} x^{n} g_{1}(x) \mathrm{d} x \text { et } \int_{0}^{+\infty} x^{n} g_{2}(x) \mathrm{d} x
\]

existent et sont égales.\\
17. Que peut-on conclure par rapport au problème \(\mathscr{M}^{\star}(J)\) quand \(J=[0,+\infty[\) ?

\section*{Partie III : le problème de Hausdorff}
Dans toute cette partie, on suppose que \(J=[0,1]\).

\section*{III.1) Une condition nécessaire d'existence}
On suppose dans ce paragraphe III. 1 que le problème \(\mathscr{M}^{*}(J)\) avec \(J=[0,1]\) admet une solution notée à nouveau \(X\). On note \(f\) une densité de \(X\) adaptée à \(\mathscr{M}^{\star}(J)\).\\
18. Montrer que \(u_{n}>0\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).\\
19. Plus généralement, montrer que pour tous \(i \in \mathbb{N}\) et \(j \in \mathbb{N}\), on a

\[
\sum_{k=0}^{j}(-1)^{k}\binom{j}{k} u_{i+k}>0
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{19}
  \item On suppose dans cette question seulement que \(u_{0}=1, u_{1}=\frac{1}{2}\) et \(u_{2}=\frac{1}{3}\).
\end{enumerate}

Montrer que \(\left.u_{3} \in\right] \frac{1}{6}, \frac{1}{3}[\).\\
21. Revenons au cas général. Montrer que pour tout \(\alpha>0\), la série de terme général \(\frac{u_{n}}{n^{\alpha}} (n \geqslant 1)\) est convergente.\\
Cette affirmation reste-t-elle vraie quand \(\alpha=0\) ?\\
III.2) Un test en langage Python pour le problème de Hausdorff

Revenons à la condition (7) ci-dessus. Pour tous \(n \in \mathbb{N}\) et \(j \in \llbracket 0 ; n \rrbracket\) on pose

\[
\Delta_{n, j}=\sum_{k=0}^{j}(-1)^{k}\binom{j}{k} u_{n+k-j}
\]

Soit \(n \in \mathbb{N}\). On dit que la condition (7) est vraie à l'ordre \(n\) si

\[
\forall j \in \llbracket 0 ; n \rrbracket, \quad \Delta_{n, j}>0
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{21}
  \item Exprimer \(\Delta_{n, 0}\) en fonction de \(u_{n}\).
  \item Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et tout \(j \in \llbracket 0 ; n \rrbracket\) on a
\end{enumerate}

\[
\Delta_{n+1, j+1}=\Delta_{n, j}-\Delta_{n+1, j}
\]

\section*{24. Python}
La fonction test\_hausdorff() ci-dessous est écrite en langage Python. Elle est incomplète. Elle a comme paramètre d'entrée un tableau unidimensionnel U (de type array) comportant une suite finie de nombres réels \(u_{0}, \cdots, u_{N}\). Ici \(N\) est calculé à partir de la taille de \(U\) en utilisant la fonction len() qui renvoie la taille du tableau.\\
Compléter les parties soulignées en pointillé afin que la fonction test\_hausdorff()renvoie un couple comportant les deux éléments suivants :

→ un entier info tel que:

\begin{itemize}
  \item info \(=-1\) si la condition \(\left(C H_{n}\right)\) est satisfaite pour tout \(n \in \llbracket 0 ; N \rrbracket\).
  \item info est égal au plus petit entier \(n \in \llbracket 0 ; N \rrbracket\) pour lequel \(C H_{n}\) n'est pas satisfaite sinon.
\end{itemize}

→ un tableau bidimensionnel Delta de taille \((N+1) \times(N+1)\) comportant les coefficients \(\Delta_{n, j}\) pour \(n \in \llbracket 0 ; N \rrbracket\) et \(j \in \llbracket 0 ; N \rrbracket\) (on pose \(\Delta_{n, j}=0\) si \(j>n\) ).

On reproduira sur la copie le programme après l'avoir complété (sans les commentaires).

\begin{verbatim}
import numpy as np
def test_hausdorff(U):
    N = len(U) - 1 # indice du dernier terme de la suite finie U
    Delta = np.zeros((N+1, N+1))
    info = -1
    for k in range(__-_,_-_-___):
        Delta[k, 0] = U[__]
        if ((__-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-__) and (info == -1 )):
                info = k
        for j in range(____-_ , _________):
            Delta[k, j] =
            if ( (__________-___________) and (________________)):
                info =
    return (info, Delta)
\end{verbatim}

\section*{25. Python}
\begin{verbatim}
def test3():
    N = 10
    U = np.zeros(N+1)
    for k in range(0, N+1):
        U[k] = 1.0/(k+1) # correspond a une loi uniforme
    V=test_hausdorff (U)
    \mathrm { U[3] } \mathrm { = } \mathrm { 0.16 }
    W=test_hausdorff (U)
    return V,W
\end{verbatim}

On tape dans la console

\begin{verbatim}
>>> V,W=test3()
\end{verbatim}

Quelles seront les valeurs de \(V[0]\) et \(W[0]\) retournées ?\\
III.3) Unicité de solutions à densité de classe \(C^{1}\).

On suppose dans ce paragraphe que \(X_{1}\) et \(X_{2}\) sont solutions du problème \(\mathscr{M}^{\star}(J)\) avec \(J=[0,1]\). On note \(f_{1}\) et \(f_{2}\) des densités de \(X_{1}\) et \(X_{2}\) respectivement adaptées au problème \(\mathscr{M}^{\star}(J)\). On suppose les restrictions de \(f_{1}\) et \(f_{2}\) sur \([0,1]\) de classe \(C^{1}\) sur \([0,1]\). On pose \(h=f_{2}-f_{1}\) et on considère la suite de fonctions polynomiales \(\left(\widehat{h}_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\), définies par:

\[
\widehat{h}_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} h\left(\frac{k}{n}\right)\binom{n}{k} x^{k}(1-x)^{n-k}, \text { pour tout } x \in \mathbb{R} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{25}
  \item Montrer qu'il existe une constante réelle \(K \in \mathbb{R}_{+}\)telle que
\end{enumerate}

\[
\forall(x, y) \in[0,1]^{2}, \quad|h(x)-h(y)| \leqslant K|x-y| .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{26}
  \item Soient \(x \in[0,1]\) et \(n \in \mathbb{N}^{*}\) fixés tous les deux. Soit \(Y_{n}\) une variable aléatoire discrète à valeurs dans \(\llbracket 0 ; n \rrbracket\). On pose
\end{enumerate}

\[
Z_{n}=\frac{Y_{n}}{n}
\]

(a) Montrer que

\[
\left|h(x)-\mathbb{E}\left(h\left(Z_{n}\right)\right)\right| \leqslant K \mathbb{E}\left(\left|Z_{n}-x\right|\right)
\]

(b) En déduire que

\[
\left|h(x)-\mathbb{E}\left(h\left(Z_{n}\right)\right)\right| \leqslant K \sqrt{\mathbb{E}\left(\left(Z_{n}-x\right)^{2}\right)}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{27}
  \item Montrer que pour tout \(x \in[0,1]\) et tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) on a
\end{enumerate}

\[
\left|h(x)-\widehat{h}_{n}(x)\right| \leqslant K \frac{\sqrt{x(1-x)}}{\sqrt{n}} \leqslant \frac{K}{2 \sqrt{n}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{28}
  \item Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) on a
\end{enumerate}

\[
\int_{0}^{1} \widehat{h}_{n}(x) h(x) \mathrm{d} x=0
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{29}
  \item En déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on a
\end{enumerate}

\[
\int_{0}^{1} h^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{K}{2 \sqrt{n}} \int_{0}^{1}|h(x)| \mathrm{d} x
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{30}
  \item En déduire que \(f_{1}=f_{2}\). Conclure.
\end{enumerate}

\section*{III.4) Problème de Hausdorff tronqué}
Pour tout \(k \in \mathbb{N}\), on définit trois fonctions

\[
\begin{aligned}
& \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \\
& \begin{aligned}
R_{k}: & \mathbb{R}^{2} \\
\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) & \mapsto \int_{0}^{1} t^{k} \exp \left(\alpha_{1} t+\alpha_{2} t^{2}\right) \mathrm{d} t \quad F_{k}: \\
\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) & \mapsto \frac{R_{k}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)}{R_{0}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)}
\end{aligned} \\
& G: \begin{array}{lll}
\mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R} \\
\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) & \mapsto \ln \left(R_{0}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)\right)-u_{1} \alpha_{1}-u_{2} \alpha_{2}
\end{array}
\end{aligned}
\]

On admet que, pour tout \(k \in \mathbb{N}\), la fonction \(R_{k}\) est continue sur \(\mathbb{R}^{2}\).\\
32. Montrer qu'il existe une constante \(C>0\) telle que

\[
\forall x \in[-1,1], 0 \leqslant e^{x}-1-x \leqslant C x^{2}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{32}
  \item Soit \(k \in \mathbb{N}\).\\
(a) Montrer que \(R_{k}\) admet une dérivée partielle par rapport à sa première variable en tout point et que pour tout \(\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}\)
\end{enumerate}

\[
\partial_{1} R_{k}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)=R_{k+1}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)
\]

On admet que \(R_{k}\) admet une dérivée partielle par rapport à sa seconde variable en tout point et que pour tout \(\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}\)

\[
\partial_{2} R_{k}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)=R_{k+2}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)
\]

(b) Pour tout \(i \in\{1,2\}\), en déduire l'identité,

\[
\partial_{i} F_{k}=F_{k+i}-F_{k} F_{i}
\]

(c) Montrer que pour tout \(i \in\{1,2\}\) et pour tout \(\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}\) on a

\[
\partial_{i} F_{k}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)=\frac{1}{R_{0}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)} \int_{0}^{1}\left(t^{i}-F_{i}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)\right)\left(t^{k}-F_{k}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)\right) \exp \left(\alpha_{1} t+\alpha_{2} t^{2}\right) \mathrm{d} t
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{33}
  \item Soit \(\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}\).\\
(a) Exprimer \(\nabla^{2} G\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)\) en fonction des dérivées partielles des \(F_{k}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right), k \geqslant 0\).\\
(b) En déduire que pour tout \(v=\left[\begin{array}{l}v_{1} \\ v_{2}\end{array}\right] \in \mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})\) tel que \(v \neq 0\) on a
\end{enumerate}

\[
{ }^{t} v \nabla^{2} G\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) v>0 .
\]

(c) En déduire que les valeurs propres de la matrice \(\nabla^{2} G\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)\) sont strictement positives.\\
(d) Dans cette question, on suppose qu'il existe une variable aléatoire \(X\) solution de \(\mathscr{M}^{\star}(J)\) et de densité \(f\) adaptée à \(\mathscr{M}^{\star}(J)\) telle que

\[
\begin{aligned}
\mathbb{R} & \rightarrow \\
f: & \mapsto\left\{\begin{array}{c}
\mathbb{R} \\
\frac{1}{R_{0}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)} \exp \left(\alpha_{1} t+\alpha_{2} t^{2}\right) \text { si } t \in[0,1] \\
0 \text { sinon }
\end{array}\right.
\end{aligned}
\]

Montrer que \(G\) admet alors un minimum (local) en ( \(\alpha_{1}, \alpha_{2}\) ).


\end{document}