\documentclass[10pt]{article}
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\title{MATHÉMATIQUES APPROFONDIES }

\author{FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE VOIE GÉNÉRALE}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
Mercredi 24 avril 2024, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{Notations}
Dans tout le texte, on adopte les notations suivantes:

\begin{itemize}
  \item Si \(A\) est un ensemble fini non vide, on note \(\# A\) le nombre d'éléments de \(A\). Si \(A=\emptyset\), on convient que \(\# A=0\).
  \item Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on note \(I_{n}\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).
  \item Pour tout \((n, m) \in \mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*}\) et tout \((i, j) \in \llbracket 1 ; n \rrbracket \times \llbracket 1 ; m \rrbracket\) le coefficient sur la \(i\)-ème ligne et la \(j\)-ème colonne d'une matrice \(A \in \mathcal{M}_{n, m}(\mathbb{R})\) est noté \(A_{i, j}\).
  \item La transposée d'une matrice \(A\) est notée \({ }^{t} A\). Lorsque \(A=[a] \in \mathcal{M}_{1}(\mathbb{R})\), où \(a \in \mathbb{R}\), on identifie \(A\) au réel \(a\). Si \(U \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R}), n \in \mathbb{N}^{*}\), on note \(\|U\|\) sa norme euclidienne associée au produit scalaire canonique, c'est-à-dire
\end{itemize}

\[
\|U\|^{2}={ }^{t} U U
\]

\begin{itemize}
  \item Si \(X\) est une variable aléatoire réelle, on note \(\mathbb{E}(X)\) son espérance et \(\mathbb{V}(X)\) sa variance, si elles existent.
  \item Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on note \(\mathscr{O}_{n}\) l'ensemble des matrices orthogonales de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) (on rappelle qu'une matrice \(Q \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) est orthogonale si \({ }^{t} Q Q=I_{n}\) ).
  \item Pour tout \(n \in \mathbb{N}, \mathbb{R}_{n}[x]\) désigne l'espace des polynômes à coefficients dans \(\mathbb{R}\) de degré inférieur ou égal à \(n\).
  \item Pour tous \(i \in \mathbb{N}\) et \(k \in \mathbb{N}, \delta_{i, k}\) désigne le symbole de Kronecker défini par : \(\delta_{i, k}= \begin{cases}1 & \text { si } i=k, \\ 0 & \text { si } i \neq k .\end{cases}\)
  \item On note dans tout le problème \(\|x\|\) la norme d'un vecteur \(x\), la nature du vecteur entre les doubles barres suffisant à préciser de quelle norme il s'agit.
\end{itemize}

Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on adopte les deux définitions suivantes tout au long de l'énoncé :

\begin{itemize}
  \item On dit qu'une matrice \(P \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) est une matrice de permutation s'il existe une bijection \(\sigma\) de \(\llbracket 1 ; n \rrbracket\) dans \(\llbracket 1 ; n \rrbracket\) telle que \(\forall(i, j) \in \llbracket 1 ; n \rrbracket^{2}, P_{i, j}=\delta_{i, \sigma(j)}\).
  \item On dit qu'une matrice est de Hadamard si elle est carrée, si tous ses coefficients appartiennent à \(\{-1,1\}\) et si ses vecteurs colonnes sont deux à deux orthogonaux.
\end{itemize}

L'énoncé comporte trois parties essentiellement indépendantes.\\
Le mot FIN marque la fin de l'énoncé.

\section*{Partie I : existence des matrices de Hadamard.}
Soit \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(n \geqslant 2\).\\
On suppose dans toute cette partie I qu'il existe une matrice de Hadamard \(H \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). On note \(c_{1}, \cdots, c_{n} \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) ses vecteurs colonnes et \(\ell_{1}, \cdots, \ell_{n} \in \mathcal{M}_{1, n}(\mathbb{R})\) ses vecteurs lignes.

\begin{enumerate}
  \item Soit \(P \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) une matrice de permutation. Montrer que \(P\) est orthogonale et que \({ }^{t} P\) est aussi une matrice de permutation.
  \item Soit \(Q \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). Montrer l'équivalence suivante
\end{enumerate}

\[
Q \text { est une matrice de Hadamard } \Leftrightarrow^{t} Q Q=n I_{n} \text { et } \forall(i, j) \in \llbracket 1 ; n \rrbracket^{2} \quad Q_{i, j}^{2}=1 .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Montrer que \({ }^{t} H\) est une matrice de Hadamard.
  \item Soit \(D \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) une matrice diagonale ne comportant que les valeurs -1 et 1 sur sa diagonale et \(P \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) une matrice de permutation. Montrer que \(P H, D H\), \(H P\) et \(H D\) sont toutes des matrices de Hadamard.
  \item En déduire qu'il existe une matrice de Hadamard de taille \(n \times n\) dont la première ligne est \((1, \cdots, 1)\).
  \item En déduire que \(n\) est pair.
  \item Soit \(S \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) une matrice de Hadamard telle que \(\forall j \in \llbracket 1 ; n \rrbracket, S_{1, j}=1\). Montrer que
\end{enumerate}

\[
\forall(i, m) \in \llbracket 2 ; n \rrbracket^{2} \quad \text { tels que } i \neq m \quad \sum_{k=1}^{n}\left(S_{i, k}+1\right)\left(S_{m, k}+1\right)=n
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{7}
  \item En déduire que soit \(n=2\) soit \(n\) est un multiple de 4 .
  \item Dans le cas où \(n>2\), montrer qu'il existe une matrice de Hadamard de taille \(n \times n\) dont les trois premières lignes sont de la forme
\end{enumerate}

\[
\left(\begin{array}{ccc:ccc:ccc:ccc}
1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 & -1 & \cdots & -1 & -1 & \cdots & -1 \\
1 & \cdots & 1 & -1 & \cdots & -1 & 1 & \cdots & 1 & -1 & \cdots & -1 \\
\vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
\vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots
\end{array}\right)
\]

(on ne demande pas dans cette question de montrer que les quatre blocs verticaux comportent le même nombre de colonnes).\\
Indication : on peut observer que la permutation de certaines colonnes (ou la multiplication par -1 de certaines colonnes) dans une matrice de Hadamard donne encore une matrice de Hadamard, d'après la question 4 ci-dessus.\\
10. Montrer que les quatre blocs de la matrice de Hadamard de la question précédente comportent le même nombre de colonnes et en déduire à nouveau que \(n\) est nécessairement divisible par 4.\\
11. Pour toutes matrices \(A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) et \(B \in \mathcal{M}_{k}(\mathbb{R})\) où \(n \geqslant 1\) et \(k \geqslant 1\), on note \(A \otimes B\) la matrice appartenant à \(\mathcal{M}_{k n}(\mathbb{R})\) définie bloc par bloc comme suit

\[
A \otimes B=\left(\begin{array}{ccc}
A_{1,1} B & \cdots & A_{1, n} B \\
A_{2,1} B & \cdots & A_{2, n} B \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
A_{n, 1} B & \cdots & A_{n, n} B
\end{array}\right),
\]

(ainsi, chacun des blocs \(A_{i, j} B\) est de taille \(k \times k\) ).\\
Montrer que si \(A\) et \(B\) sont des matrices de Hadamard, alors \(A \otimes B\) l'est aussi.\\
12. Montrer que pour tout \(m \in \mathbb{N}^{*}\), il existe une matrice de Hadamard dans \(\mathcal{M}_{2^{m}}(\mathbb{R})\).\\
13. La fonction test\_hadamard() ci-dessous est écrite en PYTHON. Elle est incomplète et a comme paramètre d'entrée une matrice \(M\) de coefficients entiers représentée par un tableau bidimensionnel (de type array)\\
Compléter les parties soulignées en pointillé afin que la fonction test\_hadamard()

\begin{itemize}
  \item renvoie la valeur -2 si la matrice M n'est pas carrée,
  \item renvoie la valeur -1 si la matrice M est carrée mais au moins l'un de ses coefficients n'appartient pas à \(\{-1,1\}\),
  \item renvoie la valeur 0 si la matrice M est carrée et ses coefficients appartiennent tous à \(\{-1,1\}\) mais \(M\) n'est pas une matrice de Hadamard,
  \item renvoie la valeur 1 si M est une matrice de Hadamard.
\end{itemize}

On reproduira sur la copie le programme après l'avoir complété.

\begin{verbatim}
import numpy as np
def test_hadamard(M):
    n, p = np.shape(M)
    if _________-_:
        return -2
    else:
        for i in range(0, ____):
            for j in range(0, ____):
                if _-_------------------------ != 1 :
                    return -1
        for j in range(0, _____):
            for k in range(____-_, n):
                if np.dot(__-_-_-------------------) != 0:
                        return 0
    return 1
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{13}
  \item On voudrait maintenant écrire en PYTHON une fonction rand\_hadam() qui cherche une matrice de Hadamard dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à 1 (ainsi, chacune des autres lignes comporte autant de 1 que de -1 ) et de taille \(4 \mathrm{~m} \times 4 \mathrm{~m}\) où m est un entier donné en paramètre. Cette fonction a aussi un autre paramètre d'entrée Nmax désignant le nombre maximal de matrices à tester. On procède comme suit :\\
(a) On construit aléatoirement une matrice ne contenant que des -1 et 1 comme coefficients de la manière suivante : pour chaque ligne (à partir de la deuxième ligne), on choisit successivement et aléatoirement les coefficients dans l'ensemble \(\{-1,1\}\) jusqu'à ce que le nombre de la valeur 1 ou le nombre de la valeur -1 dans la ligne atteint \(n / 2=2 m\). Si le nombre de coefficients égaux à 1 (respectivement -1 ) dans la ligne atteint \(n / 2\), on attribue à tous les coefficients restants de la ligne la valeur -1 (respectivement +1 ).\\
(b) En utilisant la fonction test\_hadamard() on teste si la matrice ainsi construite est de Hadamard. Si oui, la fonction renvoie cette matrice. Sinon, on refait la construction d'une matrice de la même manière que dans (a) et cela autant de fois que nécessaire jusqu'à l'obtention d'une matrice de Hadamard, sans toutefois dépasser un nombre maximal de matrices testées désigné ici par Nmax. Si ce nombre maximal est atteint sans trouver une matrice de Hadamard, la fonction rand\_hadam() renvoie la matrice nulle de taille \(4 \mathrm{~m} \times 4 \mathrm{~m}\).\\
Compléter les parties soulignées en pointillé de la fonction rand\_hadam() ci-dessous. On reproduira sur la copie le programme après l'avoir complété (sans les commentaires).
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
import numpy.random as rd
def rand_hadam(m, Nmax):
    n = 4*m
    for tst in range(0, Nmax):
        matpm = np.ones((n, n), dtype = int)
        for i in range(______, n):
            nb_un = 0
            j = 0
            while 2*nb_un < n and ___-_-_-_-_-__ n :
                val = rd.randint (0,2)
                nb_un +=
                matpm[i, j] = 2*val - 1
                j =
            if (2*nb_un == n):
                for k in range(j, n):
                    matpm[i, k] =
        if (test_hadamard(matpm) == 1):
            return
    return np.zeros((n, n), dtype = int)
\end{verbatim}

\section*{Partie II : variables aléatoires deux à deux indépendantes sur un espace probabilisé fini.}
Soit ( \(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), \mathbb{P}\) ) un espace probabilisé où \(\Omega\) désigne un univers fini, \(\mathcal{P}(\Omega)\) l'ensemble des parties de \(\Omega\) et \(\mathbb{P}\) une probabilité. On pose \(\Omega=\left\{\omega_{1}, \cdots, \omega_{n}\right\}\) où l'entier \(n, n \geqslant 2\), désigne ici et dans la suite de cette partie le nombre d'éléments de \(\Omega\). On suppose que \(\mathbb{P}(A) \neq 0\) pour tout \(A \subset \Omega\) non vide et on pose

\[
\forall i \in \llbracket 1 ; n \rrbracket \quad p_{i}=\mathbb{P}\left(\left\{\omega_{i}\right\}\right) .
\]

Toutes les variables aléatoires considérées dans la suite de cette partie II sont définies sur cet espace probabilisé. On suppose qu'il existe un entier naturel \(\ell \geqslant 2\) et des variables aléatoires réelles \(Z_{1}, \cdots, Z_{\ell}\) vérifiant les deux propriétés suivantes

\begin{itemize}
  \item \(\forall(i, j) \in \llbracket 1 ; \ell \rrbracket^{2}\) avec \(i \neq j, Z_{i}\) et \(Z_{j}\) sont indépendantes (autrement dit, \(Z_{1}, \cdots, Z_{\ell}\) sont deux à deux indépendantes),\\
\(-\forall i \in \llbracket 1 ; \ell \rrbracket, \# Z_{i}(\Omega) \geqslant 2\).\\
Pour tout \(i \in \llbracket 1 ; \ell \rrbracket\), on pose \(z_{i}=\left(Z_{i}\left(\omega_{1}\right), \cdots, Z_{i}\left(\omega_{n}\right)\right) \in \mathbb{R}^{n}\)\\
Dans toute la suite, pour tous vecteurs \(u=\left(u_{1}, \cdots, u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}\) et \(v=\left(v_{1}, \cdots, v_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}\) on note
\end{itemize}

\[
\langle u ; v\rangle=\sum_{k=1}^{n} p_{k} u_{k} v_{k}
\]

On pose dans la suite \(u_{0}=(1, \cdots, 1) \in \mathbb{R}^{n}\).\\
15. Montrer que l'application \((x, y) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \mapsto\langle x ; y\rangle\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}^{n}\).\\
16. Soit \(i \in \llbracket 1 ; \ell \rrbracket\). Montrer qu'il existe un et un seul couple \(\left(a_{i}, b_{i}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}\) vérifiant

\[
\mathbb{E}\left(a_{i} Z_{i}+b_{i}\right)=0 \text { et } \mathbb{V}\left(a_{i} Z_{i}+b_{i}\right)=1
\]

Dans la suite de cette partie, on pose pour tout \(i \in \llbracket 1 ; \ell \rrbracket: X_{i}=a_{i} Z_{i}+b_{i}\) et \(x_{i}=\left(X_{i}\left(\omega_{1}\right), \cdots, X_{i}\left(\omega_{n}\right)\right) \in \mathbb{R}^{n}\), où le couple ( \(a_{i}, b_{i}\) ) est celui de la question 16.\\
17. Soient \(V\) et \(W\) deux variables aléatoires réelles sur \(\Omega\).

On pose \(v=\left(V\left(\omega_{1}\right), \cdots, V\left(\omega_{n}\right)\right) \in \mathbb{R}^{n}, w=\left(W\left(\omega_{1}\right), \cdots, W\left(\omega_{n}\right)\right) \in \mathbb{R}^{n}\). Montrer que

\[
\mathbb{E}(V)=\left\langle v ; u_{0}\right\rangle \quad \text { et } \quad \mathbb{E}(V W)=\langle v ; w\rangle .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{17}
  \item En déduire les relations pour tout \((i, j) \in \llbracket 1 ; \ell \rrbracket^{2}\) tels que \(i \neq j\)
\end{enumerate}

\[
\left\langle x_{i} ; u_{0}\right\rangle=0 \quad, \quad\left\langle x_{i} ; x_{i}\right\rangle=1 \quad \text { et } \quad\left\langle x_{i} ; x_{j}\right\rangle=0
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{18}
  \item En déduire que
\end{enumerate}

\[
3 \leqslant \ell+1 \leqslant n
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{19}
  \item Soit \(Z\) une variable aléatoire réelle d'espérance nulle. On pose \(z=\left(Z\left(\omega_{1}\right), \cdots, Z\left(\omega_{n}\right)\right) \in \mathbb{R}^{n}\). On suppose que \(Z(\Omega)=\left\{\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}\right\}\) où \(m=\# Z(\Omega)>2\).\\
(a) Montrer qu'il existe des \(m\) réels \(\beta_{1}, \cdots, \beta_{m}\) non tous nuls tels que
\end{enumerate}

\[
\sum_{k=1}^{m} \mathbb{P}\left(Z=\alpha_{k}\right) \beta_{k}=0 \text { et } \sum_{k=1}^{m} \mathbb{P}\left(Z=\alpha_{k}\right) \alpha_{k} \beta_{k}=0
\]

(b) Montrer que l'application \(T: Q \in \mathbb{R}_{m-1}[x] \mapsto\left(Q\left(\alpha_{1}\right), \cdots, Q\left(\alpha_{m}\right)\right) \in \mathbb{R}^{m}\) est un isomorphisme de \(\mathbb{R}_{m-1}[x]\) dans \(\mathbb{R}^{m}\).\\
(c) En déduire qu'il existe un polynôme \(Q\) de degré inférieur ou égal à \(m-1\) tel que

\[
\mathbb{E}(Q(Z))=0, \mathbb{E}(Q(Z) Z)=0, \text { et } Q(Z)(\Omega) \neq\{0\}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{20}
  \item On pose \(r=\#\left\{i \in \llbracket 1, \ell \rrbracket \mid \# X_{i}(\Omega)>2\right\}\).\\
(a) Montrer que
\end{enumerate}

\[
\ell+r \leqslant n-1 .
\]

(b) En déduire que

\[
r \leqslant \frac{n-1}{2} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{21}
  \item On suppose de plus dans cette question que \(\ell=n-1\) (on rappelle que nécessairement \(n \geqslant 3\) ). On considère la matrice carrée réelle \(M\) de taille \(n \times n\) dont les coefficients sont définis par
\end{enumerate}

\[
\forall(i, j) \in \llbracket 1 ; n-1 \rrbracket \times \llbracket 1 ; n \rrbracket \quad M_{i, j}=X_{i}\left(\omega_{j}\right) \text { et } M_{n, j}=1,
\]

On considère aussi la matrice diagonale \(D \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) définie par \(\forall i \in \llbracket 1 ; n \rrbracket D_{i, i}=\sqrt{p_{i}}\).\\
(a) Montrer que : \(\forall i \in \llbracket 1 ; n-1 \rrbracket \quad \# X_{i}(\Omega)=2\).\\
(b) Soit \(i \in \llbracket 1 ; n-1 \rrbracket\).

Soient \(\alpha_{i}\) et \(\beta_{i}\) deux réels tels que \(X_{i}(\Omega)=\left\{\alpha_{i}, \beta_{i}\right\}\) et \(\alpha_{i}>\beta_{i}\) et soit \(\left.\theta_{i} \in\right] 0,1[\) tel que

\[
\mathbb{P}\left(X_{i}=\alpha_{i}\right)=\theta_{i} \text { et } \mathbb{P}\left(X_{i}=\beta_{i}\right)=1-\theta_{i} .
\]

Montrer les deux relations :

\[
\alpha_{i}=\sqrt{\frac{1-\theta_{i}}{\theta_{i}}}, \beta_{i}=-\frac{1}{\alpha_{i}}
\]

(c) Montrer que la matrice \(M D\) est orthogonale.\\
(d) Soit \(Y\) la variable aléatoire définie par \(\forall j \in \llbracket 1 ; n \rrbracket \quad Y\left(\omega_{j}\right)=\frac{1}{p_{j}}\). Montrer que

\[
Y=1+\sum_{k=1}^{n-1} X_{k}^{2}
\]

(e) En déduire que pour tout \(i \in \llbracket 1 ; n-1 \rrbracket\)

\[
\mathbb{E}\left(X_{i}^{3}\right)=\sum_{k=1}^{n} X_{i}\left(\omega_{k}\right)
\]

(f) On reprend les notations de la question 22b et on pose

\[
\forall i \in \llbracket 1 ; n-1 \rrbracket \quad m_{i}=\#\left\{k \in \llbracket 1, n \rrbracket \mid X_{i}\left(\omega_{k}\right)=\alpha_{i}\right\} .
\]

Montrer que les trois affirmations suivantes sont nécessairement vraies:\\
(A1) pour tout \(i \in \llbracket 1 ; n-1 \rrbracket, \alpha_{i}=\sqrt{\frac{n-m_{i}-1}{m_{i}-1}}\) et \(\theta_{i}=\frac{m_{i}-1}{n-2}\).\\
(A2) \(n \geqslant 4\),\\
(A3) \(2 \leqslant m_{i} \leqslant n-2\),\\
(g) On suppose dans cette question que pour tout \(i \in \llbracket 1 ; n \rrbracket \quad p_{i}=\frac{1}{n}\).

Montrer les deux assertions suivantes :\\
(a) \(n\) est nécessairement pair et \(\theta_{i}=1 / 2\).\\
(b) \(M\) est une matrice de Hadamard.

\section*{Partie III : deux propriétés des matrices de Hadamard}
Soit \(n \geqslant 3\) un entier naturel. On considère la fonction

\[
F:\left\{\begin{array}{lll}
\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) & \rightarrow \mathbb{R} \\
A & \mapsto & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left|A_{i, j}\right|
\end{array}\right.
\]

Pour toute matrice \(A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), on note \(\mathbb{S}(A)\) la matrice appartenant à \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) définie par

\[
\forall(i, j) \in \llbracket 1 ; n \rrbracket^{2} \quad \mathbb{S}(A)_{i, j}=\operatorname{sgn}\left(A_{i, j}\right)
\]

où \(\operatorname{sgn}\) est la fonction signe définie par : \(\operatorname{sgn}(x)=1\) si \(x \geqslant 0\) et \(\operatorname{sgn}(x)=-1\) si \(x<0\).\\
On considère le produit scalaire \(\langle. ;\rangle\) défini sur \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) par :

\[
\forall A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}),\langle A ; B\rangle=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{i, j} B_{i, j}
\]

ainsi que la norme associée ||.| définie par

\[
\forall A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}),\|A\|=\sqrt{\langle A ; A\rangle}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{i, j}^{2}}
\]

On note \(\varphi\) l'application définie

\[
\varphi: \begin{cases}\mathbb{R}^{n^{2}} & \rightarrow \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \\ \left(x_{1}, \cdots, x_{n^{2}}\right) & \mapsto\left[x_{(i-1) n+j}\right]_{(i, j) \in \llbracket 1 ; n \rrbracket^{2}}\end{cases}
\]

\(\mathbb{R}^{n^{2}}\) est un espace euclidien muni du produit scalaire canonique.\\
23. Montrer que \(\varphi\) est une application linéaire de \(\mathbb{R}^{n^{2}}\) dans \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) et que

\[
\forall x \in \mathbb{R}^{n^{2}},\|\varphi(x)\|=\|x\| .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{23}
  \item Montrer que pour tout \(A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), on a \(\|A\|^{2}=\operatorname{Tr}\left({ }^{t} A A\right)\).
  \item Montrer que pour tout \(A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), on a
\end{enumerate}

\[
\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n} A_{i, j}^{2}\right)^{1 / 2} \leqslant F(A) \leqslant n\left(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{i, j}^{2}\right)^{1 / 2}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{25}
  \item On pose \(\mathscr{K}_{n}=\left\{x \in \mathbb{R}^{n^{2}} \mid \varphi(x) \in \mathscr{O}_{n}\right\}\). Montrer que \(\mathscr{K}_{n}\) est un fermé borné de \(\mathbb{R}^{n^{2}}\).
  \item Montrer que
\end{enumerate}

\[
\forall x \in \mathbb{R}^{n^{2}}, \forall y \in \mathbb{R}^{n^{2}},|F(\varphi(x))-F(\varphi(y))| \leqslant n\|x-y\| .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{27}
  \item En déduire que \(F\) admet un minimum global et un maximum global (atteints) sur \(\mathscr{O}_{n}\).
\end{enumerate}

Dans toute la suite, on note \(M_{n}^{-}\)(respectivement \(M_{n}^{+}\)) la valeur minimale (respectivement maximale) de \(F\) sur \(\mathscr{O}_{n}\) :

\[
M_{n}^{-}=\min _{Q \in \mathscr{O}_{n}} F(Q), \quad M_{n}^{+}=\max _{Q \in \mathscr{O}_{n}} F(Q)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{28}
  \item Montrer que \(M_{n}^{-}=n\).
  \item Trouver toutes les matrices \(Q \in \mathscr{O}_{n}\) qui vérifient \(F(Q)=n\).
  \item Montrer que pour toute matrice \(Q \in \mathscr{O}_{n}\) on a :
\end{enumerate}

\[
F(Q)=n \sqrt{n}-\frac{\sqrt{n}}{2}\left\|Q-\frac{1}{\sqrt{n}} \mathbb{S}(Q)\right\|^{2} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{31}
  \item En déduire que \(M_{n}^{+} \leqslant n \sqrt{n}\).
\end{enumerate}

Montrer que l'égalité est réalisée si et seulement s'il existe au moins une matrice de Hadamard dans \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).\\
33. En déduire que si \(n\) n'est pas un multiple de 4 alors \(M_{n}^{+}<n \sqrt{n}\).\\
34. On suppose dans cette question que \(n=3\). Pour tous réels \(\alpha\) et \(\beta\) on pose

\[
U(\alpha, \beta)=\left[\begin{array}{ccc}
\alpha & \beta & \beta \\
\beta & \alpha & -\beta \\
-\beta & \beta & -\alpha
\end{array}\right] .
\]

Trouver tous les couples \((\alpha, \beta)\) pour lesquels \(U(\alpha, \beta) \in \mathscr{O}_{3}\) et en déduire un encadrement de \(M_{3}^{+}\) (on note que \(3 \sqrt{3} \approx 5,196152\) ).\\
35. On suppose dans cette question que \(n\) est pair.\\
(a) Soit \(x=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)\) et \(y=\left(y_{1}, \cdots, y_{n}\right)\) deux vecteurs de \(\mathbb{R}^{n}\)\\
tels que \(\forall i \in \llbracket 1 ; n \rrbracket \quad\left|x_{i}\right|=\left|y_{i}\right|=1\) et \(\langle x ; y\rangle \neq 0\). Montrer que \(|\langle x ; y\rangle| \geqslant 2\).\\
(b) Soit \(x, y, u\) et \(v\) quatre vecteurs de \(\mathbb{R}^{n}\). Montrer que

\[
|\langle x ; y\rangle-\langle u ; v\rangle| \leqslant \sqrt{2\left(\|y\|^{2}\|x-u\|^{2}+\|u\|^{2}\|y-v\|^{2}\right)}
\]

(c) Soit \(Q \in \mathscr{O}_{n}\) telle que \(\mathbb{S}(Q)\) n'est pas de Hadamard. Montrer que

\[
\left\|Q-\frac{1}{\sqrt{n}} \mathbb{S}(Q)\right\|^{2} \geqslant \frac{2}{n^{2}}
\]

(d) En déduire que s'il n'existe aucune matrice de Hadamard dans \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), alors

\[
M_{n}^{+} \leqslant n \sqrt{n}-\frac{1}{n \sqrt{n}}
\]

\section*{FIN}

\end{document}