\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\captionsetup{singlelinecheck=false}
\section*{Conception : ESSEC BS - HEC Paris \\
 MATHÉMATIQUES APPROFONDIES \\
 FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE \\
 VOIE GÉNÉRALE}
Jeudi 23 avril 2026 de 14h à 18h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{Notations}
Dans tout le texte, on adopte les notations suivantes :

\begin{itemize}
  \item[-] Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on note \(I_{n}\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).
  \item[-] Pour tout \((n, m) \in \mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*}\) et tout \((i, j) \in \llbracket 1 ; n \rrbracket \times \llbracket 1 ; m \rrbracket\) le coefficient sur la \(i\)-ème ligne et la \(j\)-ème colonne d'une matrice \(A \in \mathcal{M}_{n, m}(\mathbb{R})\) est noté \(A_{i, j}\).
  \item[-] La transposée d'une matrice \(A\) est notée \({ }^{t} A\). Lorsque \(A=[a] \in \mathcal{M}_{1}(\mathbb{R})\), où \(a \in \mathbb{R}\), on identifie \(A\) au réel \(a\).
  \item[-] Pour tous \(i \in \mathbb{N}\) et \(k \in \mathbb{N}, \delta_{i, k}\) désigne le symbole de Kronecker défini par :
\[
\delta_{i, k}= \begin{cases}1 & \text { si } i=k, \\ 0 & \text { si } i \neq k .\end{cases}
\]
  \item[-] Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on note \(\mathscr{O}_{n}=\left\{M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \mid M^{t} M=I_{n}\right\}\) l'ensemble des matrices orthogonales de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).
  \item[-] Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Une permutation de \(\llbracket 1 ; n \rrbracket\) est une bijection de \(\llbracket 1 ; n \rrbracket\) dans \(\llbracket 1 ; n \rrbracket\). On note \(\mathscr{P}_{n}\) l'ensemble de toutes les permutations de \(\llbracket 1 ; n \rrbracket\).\\
Si \(\sigma\) est une permutation de \(\llbracket 1 ; n \rrbracket\), on représente \(\sigma\) par le \(n\)-uplet \((\sigma(1), \cdots, \sigma(n))\). Par exemple, dans le cas \(n=3\), (2, 3, 1) représente la permutation \(\sigma\) de \{1, 2, 3\} définie par : \(\sigma(1)=2, \sigma(2)=3\) et \(\sigma(3)=1\).
  \item[-] Pour tout \(\sigma \in \mathscr{P}_{n}\) et pour tout \(x=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}\), on note \(x_{\sigma}=\left(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(n)}\right)\).
  \item[-] Pour tout \(\sigma \in \mathscr{P}_{n}\), on appelle matrice de permutation associée à \(\sigma\) et on note \(P_{\sigma} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), la matrice définie par :
\[
\forall(i, j) \in\{1, \cdots, n\}^{2},\left(P_{\sigma}\right)_{i, j}=\delta_{i, \sigma(j)} .
\]
  \item[-] On note \(\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^{n}\).
  \item[-] On dit que \(P \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) est une matrice de permutation s'il existe \(\sigma \in \mathscr{P}_{n}\) telle que \(P=P_{\sigma}\). L'ensemble des matrices de permutations de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) est noté \(\mathbb{P}_{n}\).
  \item[-] Pour tous \(U \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) et \(V \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), on note \(\langle U, V\rangle\) le produit scalaire canonique de \(U\) et \(V\) défini par
\[
\langle U, V\rangle={ }^{t} U V={ }^{t} V U .
\]
On note \(\|\).\(\| la norme euclidienne associée à ce produit scalaire définie par :\)
\[
\|U\|=\sqrt{\langle U, U\rangle} \text { pour tout } U \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R}) .
\]
  \item[-] Pour toute matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), on note
  \begin{itemize}
    \item[-] \(\operatorname{diag}(A)=\left(\begin{array}{c}A_{1,1} \\ \vdots \\ A_{n, n}\end{array}\right)\) le vecteur colonne défini à partir de la diagonale de la matrice \(A\).
    \item[-] \(\mathrm{DG}(A)=\left(\begin{array}{ccccc}A_{1,1} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & A_{2,2} & \ddots & & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & A_{n, n}\end{array}\right)\) la matrice diagonale de même diagonale que
    \item[A.] 
  \end{itemize}
\end{itemize}

\begin{itemize}
  \item Pour tout \(X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), on note \(\mathrm{D}(X)=\left(\begin{array}{ccccc}x_{1} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & x_{2} & \ddots & & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & x_{n}\end{array}\right)\) la matrice diagonale de diagonale \(X\).
\end{itemize}

\begin{itemize}
  \item[-] Soit \(E\) un espace vectoriel et \(g\) une application de \(E\) dans \(\mathbb{R}\). On dira que \(g\) est convexe si
\[
\forall x \in E, \forall y \in E, \forall t \in[0,1], g(t x+(1-t) y) \leqslant t g(x)+(1-t) g(y) .
\]
  \item[-] Dans tout le problème si \(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\), et \(X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), on donnera un sens à \(f(X)\) en posant \(f(X)=f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\).
  \item[-] Pour les programmes Python, on dispose d'un petit formulaire à la fin du sujet. On importe aussi les bibliothèques suivantes :
\begin{verbatim}
import numpy as np
import numpy.random as rd
\end{verbatim}

Toute fonction Python écrite en réponse à une question de l'énoncé peut être utilisée dans les programmes ou fonctions Python demandés par la suite.
\end{itemize}

L'énoncé comporte quatre parties I, II, III et IV. Le mot FIN marque la fin de l'énoncé.

\section*{Partie I : préliminaires}
\begin{itemize}
  \item[1.] Soient \(\sigma \in \mathscr{P}_{n}\) et \(\phi_{\sigma}\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{n}\) canoniquement associé à \(P_{\sigma}\). Montrer que \(\forall j \in \llbracket 1 ; n \rrbracket \phi_{\sigma}\left(e_{j}\right)=e_{\sigma(j)}\).
  \item[2.] Soient \(\sigma \in \mathscr{P}_{n}\) et \(\tau \in \mathscr{P}_{n}\). Montrer que \(P_{\sigma} P_{\tau}=P_{\sigma \circ \tau}\) et en déduire que l'inverse d'une matrice de permutation est aussi une matrice de permutation.
  \item[3.] Montrer que toute matrice de permutation \(P \in \mathbb{P}_{n}\) est orthogonale.
  \item[4.] Montrer par récurrence sur \(n \in \mathbb{N}^{*}\) que pour tout \(\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}\) il existe \(\alpha \in \mathscr{P}_{n}\) tel que
\[
x_{\alpha(1)} \geqslant \cdots \geqslant x_{\alpha(n)}
\]
  \item[5.] Soient \(\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}\) et \(\alpha, \beta \in \mathscr{P}_{n}\) tels que \(x_{\alpha(1)} \geqslant \cdots \geqslant x_{\alpha(n)}\) et \(x_{\beta(1)} \geqslant \cdots \geqslant x_{\beta(n)}\). Montrer que
\[
\forall i \in \llbracket 1 ; n \rrbracket, x_{\alpha(i)}=x_{\beta(i)} .
\]
Dans toute la suite, pour tout \(x=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}\), on note \(\hat{x}=\left(\hat{x}_{1}, \cdots, \hat{x}_{n}\right)\) l'élément de \(\mathbb{R}^{n}\) défini par
\[
\forall i \in \llbracket 1 ; n \rrbracket, \hat{x}_{i}=x_{\alpha(i)},
\]
où \(\alpha \in \mathscr{P}_{n}\) est choisi tel que \(x_{\alpha(1)} \geqslant \cdots \geqslant x_{\alpha(n)}\) (autrement dit, \(\hat{x}_{1} \geqslant \cdots \geqslant \hat{x}_{n}\) sont les composantes \(x_{1}, \cdots, x_{n}\) réordonnées dans l'ordre décroissant).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item On écrit une fonction Python ayant comme entrée un tableau monodimensionnel de réels X (représentant un vecteur) et qui renvoie un tableau Y contenant les mêmes valeurs que X ordonnées dans l'ordre décroissant et une permutation \(\alpha\) correspondant à la question 4.
\end{enumerate}

Compléter la fonction Python suivante afin que la fonction permutevecteur() ayant comme entrée un tableau de valeurs X renvoie le couple (Y, alpha) ainsi obtenu.\\
On reproduira cette fonction sur la copie en remplissant les parties pointillées.

\begin{verbatim}
def permutevecteur(X):
    n=len(X)
    alpha=np.arange(0,n,1)
    Y=X.copy() # Y est un nouveau tableau initialisé avec les valeurs de X
    for i in range(n):
        imax=...
        for k in range(i,n):
            if Y[k] >...:
                imax=...
        if imax>i :
            ... , ... = ... , ...
            alpha[i],alpha[imax]=alpha[imax],alpha[i]
    return Y,alpha
\end{verbatim}

\section*{Partie II : matrices bistochastiques \\
 Théorème de Birkhoff-Von Neumann en basses dimensions}
Définitions

\begin{itemize}
  \item[-] On dit qu'une matrice \(S \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) est bistochastique si elle vérifie les trois propriétés suivantes :
  \begin{itemize}
    \item[(a)] \(\forall(i, j) \in \llbracket 1 ; n \rrbracket^{2}, S_{i, j} \geqslant 0\),
    \item[(b)] \(\forall i \in \llbracket 1 ; n \rrbracket, \sum_{j=1}^{n} S_{i, j}=1\),
    \item[(c)] \(\forall j \in \llbracket 1 ; n \rrbracket, \sum_{i=1}^{n} S_{i, j}=1\).
  \end{itemize}
  \item[-] On dit qu'une matrice \(S \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) est orthostochastique s'il existe une matrice orthogonale \(Q \in \mathscr{O}_{n}\) telle que
\[
\forall(i, j) \in \llbracket 1 ; n \rrbracket^{2}, \quad S_{i, j}=\left(Q_{i, j}\right)^{2} .
\]
\end{itemize}

L'un des objectifs de cette partie est de prouver le théorème suivant quand \(n \in\{2,3\}\) :\\
Théorème de Birkhoff-Von Neumann. Soit \(S \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) une matrice bistochastique. Il existe un entier naturel \(k\) non nul, des matrices de permutation \(P_{1}, \cdots, P_{k} \in \mathbb{P}_{n}\) et des réels positifs \(a_{1}, \cdots, a_{k}\) tels que \(a_{1}+\cdots+a_{k}=1\) et \(S=a_{1} P_{1}+\cdots+a_{k} P_{k}\).

\begin{itemize}
  \item[7.] (a) Montrer que toute matrice orthostochastique et toute matrice de permutation dans \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) sont bistochastiques.
\end{itemize}

\begin{itemize}
  \item[]
  \begin{itemize}
    \item[(b)] Montrer qu'une matrice bistochastique n'est pas toujours orthostochastique en donnant un exemple pour \(n=3\).
  \end{itemize}
  \item[8.] On se place dans le cas particulier \(n=2\).
  \begin{itemize}
    \item[(a)] Trouver toutes les matrices de permutation appartenant à \(\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\).
    \item[(b)] En déduire qu'une matrice \(S \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\) est bistochastique si et seulement s'il existe \(\alpha \in[0,1]\) et \(P \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\) une matrice de permutation tels que
\[
S=\alpha I_{2}+(1-\alpha) P .
\]
  \end{itemize}
  \item[9.] On se place dans le cas particulier \(n=3\). Soit \(S \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) une matrice bistochastique.
  \begin{itemize}
    \item[(a)] Quel est le nombre de permutations de \{1, 2, 3\} ?
    \item[(b)] Montrer que les matrices suivantes sont des matrices de permutation et indiquer les bijections \(\sigma\) associées :
\[
\begin{gathered}
P_{1}=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right], P_{2}=\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right], P_{3}=\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right], \\
P_{4}=\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right], P_{5}=\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right] .
\end{gathered}
\]
    \item[(c)] Montrer que \(S\) est de la forme
\[
S=\left[\begin{array}{ccc}
S_{1,1} & S_{1,2} & 1-S_{1,1}-S_{1,2} \\
S_{2,1} & S_{2,2} & 1-S_{2,1}-S_{2,2} \\
1-S_{1,1}-S_{2,1} & 1-S_{1,2}-S_{2,2} & S_{3,3}
\end{array}\right] .
\]
Exprimer \(S_{3,3}\) en fonction des coefficients \(S_{i, j}, 1 \leqslant i, j \leqslant 2\) et donner des conditions nécessaires sur ces coefficients \(S_{i, j}, 1 \leqslant i, j \leqslant 2\).
    \item[(d)] Ces conditions étant satisfaites, on pose \(\beta_{0}=\min _{1 \leqslant i \leqslant 3} S_{i, i}\).\\
Montrer qu'il existe des réels positifs \(\beta_{i}, 1 \leqslant i \leqslant 5\), tels que :
\[
S=\beta_{0} I_{3}+\sum_{i=1}^{5} \beta_{i} P_{i} .
\]
    \item[(e)] Conclure.
  \end{itemize}
  \item[10.] Ecrire une fonction Python bistochastique(n,iter) ayant deux paramètres d'entrée n et iter, représentant des entiers naturels non nuls, et qui renvoie une matrice bistochastique construite de la manière suivante :
  \begin{itemize}
    \item[-] on construit au départ une matrice \(A^{(0)}\) de taille \(\mathrm{n} \times \mathrm{n}\) dont chaque coefficient \(a_{i, j}^{(0)}\) est obtenu en simulant une réalisation de la loi uniforme sur ]0, 1[,
    \item[-] pour \(0 \leqslant k<\) iter :
    \begin{itemize}
      \item[-] on calcule la matrice \(A^{(2 k+1)}\) obtenue à partir de la matrice \(A^{(2 k)}\) en divisant chaque ligne de \(A^{(2 k)}\) par la somme de ses coefficients :
\[
A_{i, j}^{(2 k+1)}=\frac{A_{i, j}^{(2 k)}}{\sum_{\ell=1}^{\mathrm{n}} A_{i, \ell}^{(2 k)}}, \quad \text { pour } 1 \leqslant i, j \leqslant \mathrm{n} .
\]
    \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{itemize}

\begin{itemize}
  \item[]
  \begin{itemize}
    \item[-] on calcule ensuite la matrice \(A^{(2 k+2)}\) obtenue à partir de la matrice \(A^{(2 k+1)}\) en divisant chaque colonne par la somme de ses coefficients :
\[
A_{i, j}^{(2 k+2)}=\frac{A_{i, j}^{(2 k+1)}}{\sum_{\ell=1}^{\mathrm{n}} A_{\ell, j}^{(2 k+1)}}, \quad \text { pour } 1 \leqslant i, j \leqslant \mathrm{n} .
\]
    \item[-] La fonction renvoie la dernière matrice \(A^{(2 k+2)}\) obtenue quand \(k=\) iter -1 . On admet que si iter est assez grand, on peut considérer que cette matrice est bisto-chastique.
  \end{itemize}
\end{itemize}

\section*{Partie III : fonctions symétriques et fonctions \(S\)-convexes}
On revient au cas général où \(n\) est un entier supérieur ou égal à 2.\\
On admet que le théorème de Birkhoff-Von Neumann énoncé dans la partie II est vrai en dimension \(n\).

\begin{itemize}
  \item[-] On pose \(H_{n}=\left\{y=\left(y_{1}, \cdots, y_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mid y_{1} \geqslant y_{2} \geqslant \ldots \geqslant y_{n}\right\}\).
  \item[-] On dit qu'une fonction \(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\) est symétrique si pour tout \(x \in \mathbb{R}^{n}\) et toute permutation \(\sigma \in \mathscr{P}_{n}\) on a \(f(x)=f\left(x_{\sigma}\right)\).
  \item[-] On dit qu'une fonction \(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\) est \(S\)-convexe si pour tout \(X \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) et toute matrice bistochastique \(B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) on a \(f(B X) \leqslant f(X)\).
  \item[11.] Soient \(\sigma \in \mathscr{P}_{n}\) et \(X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\). Déterminer \(P_{\sigma} X\).
  \item[12.] Soit une fonction \(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\).\\
Montrer que \(f\) est symétrique si et seulement si \(\forall X \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R}), \forall P \in \mathbb{P}_{n}, f(P X)=f(X)\)
  \item[13.] Soit \(f\) une fonction de \(\mathbb{R}^{n}\) dans \(\mathbb{R}\). Montrer que \(f\) est symétrique si et seulement s'il existe une fonction \(\hat{f}\) de \(H_{n}\) dans \(\mathbb{R}\) telle que
\[
\forall x \in \mathbb{R}^{n}, f(x)=\hat{f}(\hat{x}) .
\]
  \item[14.] Pour chacune des fonctions suivantes, indiquer si elle est symétrique ou non en le prouvant si la réponse est oui, ou en donnant un contre-exemple si la réponse est non :
\[
\begin{aligned}
f_{1} & :\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mapsto \sum_{k=1}^{n} x_{k}, \\
f_{2} & :\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mapsto x_{1}^{2}+x_{2}+\cdots+x_{n}, \\
f_{3} & :\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mapsto \max _{1 \leqslant i, j \leqslant n}\left|x_{i}-x_{j}\right| .
\end{aligned}
\]
  \item[15.] Soient \(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\) symétrique de classe \(C^{1}\) sur \(\mathbb{R}^{n}, \sigma \in \mathscr{P}_{n}\) et \(x \in \mathbb{R}^{n}\). On définit
\[
\forall i \in \llbracket 1 ; n \rrbracket, \quad g_{i, x}: \begin{array}{lll}
\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\
t & \mapsto & f\left(x+t e_{i}\right)
\end{array} .
\]
Soit \(i \in \llbracket 1 ; n \rrbracket\).
  \begin{itemize}
    \item[(a)] Montrer que \(g_{i}\) est de classe \(C^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) et donner sa dérivée en fonction des dérivées partielles de \(f\).
  \end{itemize}
\end{itemize}

\begin{itemize}
  \item[]
  \begin{itemize}
    \item[(b)] Montrer que \(g_{i, x_{\sigma}}=g_{\sigma(i), x}\).
    \item[(c)] En déduire que tout \(x \in \mathbb{R}^{n}\) on a :
\[
\partial_{i} f\left(x_{\sigma}\right)=\partial_{\sigma(i)} f(x) .
\]
  \end{itemize}
  \item[16.] Montrer que toute fonction \(S\)-convexe de \(\mathbb{R}^{n}\) dans \(\mathbb{R}\) est symétrique.
  \item[17.] Soient \(E\) un espace vectoriel et \(g\) une application de \(E\) dans \(\mathbb{R}\) convexe. Montrer que pour tous \(z_{1}, \cdots, z_{m} \in E, m \in \mathbb{N}^{*}\), et tous réels positifs \(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}\) tels que \(\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{m}=1\) on a l'inégalité
\[
g\left(\sum_{k=1}^{m} \alpha_{k} z_{k}\right) \leqslant \sum_{k=1}^{m} \alpha_{k} g\left(z_{k}\right) .
\]
  \item[18.] En déduire que toute fonction \(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\) symétrique et convexe est \(S\)-convexe .
  \item[19.] On se place dans le cas particulier \(n=2\). Soit \(f\) une fonction \(S\)-convexe de \(\mathbb{R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) de classe \(C^{1}\). Soit \(x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}\). On pose
\[
g(t)=f\left((1-t) x_{1}+t x_{2},(1-t) x_{2}+t x_{1}\right) \text { pour tout } t \in \mathbb{R} .
\]
  \begin{itemize}
    \item[(a)] Montrer que \(g\) est de classe \(C^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) et exprimer, pour tout \(t \in \mathbb{R}, g^{\prime}(t)\) en fonction des dérivées partielles de \(f\), de \(t, x_{1}\) et \(x_{2}\).
    \item[(b)] Montrer que \(g(t) \leqslant g(0)\) pour tout \(t \in[0,1]\). En déduire que \(g^{\prime}(0) \leqslant 0\).
    \item[(c)] En déduire que
\[
\forall x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}, \quad\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(\partial_{1} f(x)-\partial_{2} f(x)\right) \geqslant 0 .
\]
  \end{itemize}
  \item[20.] On revient au cas général où \(n \geqslant 2\) est quelconque mais fixé. Soit \(f\) une fonction \(S\)-convexe de \(\mathbb{R}^{n}\) dans \(\mathbb{R}\) de classe \(C^{1}\). Montrer que pour tous \(i, j \in\{1, \cdots, n\}\) on a
\[
\forall x=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n},\left(x_{i}-x_{j}\right)\left(\partial_{i} f(x)-\partial_{j} f(x)\right) \geqslant 0 .
\]
  \item[21.] Soit \(h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) de classe \(C^{1}\) sur \(\mathbb{R}\). On pose
\[
\begin{array}{ll}
\mathbb{R}^{n} & \rightarrow \mathbb{R} \\
f: & \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)
\end{array} \mapsto \sum_{k=1}^{n} h\left(x_{k}\right) .
\]
Montrer que \(f\) est \(S\)-convexe si et seulement si \(h\) est convexe.
\end{itemize}

\section*{Partie IV : fonctions spectrales. Théorèmes de Davis et de Fan.}
Dans toute cette partie, \(\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})\) désigne l'espace des matrices carrées symétriques appartenant à \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). Si \(A \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})\) on note \(\hat{\lambda}(A)\) le vecteur colonne défini par : \(\hat{\lambda}(A)=\left(\begin{array}{c}\hat{\lambda}_{1}(A) \\ \vdots \\ \hat{\lambda}_{n}(A)\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) où \(\hat{\lambda}_{1}(A) \geqslant \cdots \geqslant \hat{\lambda}_{n}(A)\) désignent les valeurs diagonales, d'une matrice diagonale semblable à \(A\), ordonnées dans un ordre décroissant.\\
On pose \(\Lambda(A)=\mathrm{D}(\hat{\lambda}(A))\).\\
On dit qu'une application \(G\) de \(\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})\) dans \(\mathbb{R}\) est spectrale si elle vérifie :

\[
\forall A \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R}), \forall Q \in \mathscr{O}_{n}, G\left(Q A^{t} Q\right)=G(A) .
\]

Dans toute la suite, \(F\) désigne une application de \(\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})\) dans \(\mathbb{R}\) fixée (pas nécessairement spectrale, sauf indication contraire).\\
22. Soit \(k \in \mathbb{N}^{*}\). Montrer que la fonction \(F_{k}: A \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R}) \mapsto \operatorname{Tr}\left(A^{k}\right)\) est spectrale.\\
23. Soit \(\sigma\) une permutation de \(\{1, \cdots, n\}\). Montrer que

\[
\forall X \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R}), P_{\sigma} \mathrm{D}(X)^{t} P_{\sigma}=\mathrm{D}\left(P_{\sigma} X\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{23}
  \item Soit \(A \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})\). Justifier l'existence d'une matrice orthogonale \(Q\) telle que
\end{enumerate}

\[
A=Q \Lambda(A)^{t} Q .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{24}
  \item On suppose dans cette question que \(F\) est spectrale.\\
On associe à \(F\) la fonction \(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\) définie par :
\end{enumerate}

\[
\forall x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}, f(x)=F\left(\mathrm{D}\left(\left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right)\right)\right)
\]

\begin{itemize}
  \item[(a)] Montrer que
\[
\forall A \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R}), F(A)=F(\Lambda(A)) .
\]
  \item[(b)] Montrer que \(f\) est symétrique.
  \item[(c)] Montrer que si \(F\) est convexe alors \(f\) est convexe aussi.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{25}
  \item On revient au cas général.\\
Montrer que \(F\) est spectrale si et seulement s'il existe une fonction symétrique \(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\) telle que \(\forall A \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R}), F(A)=f(\hat{\lambda}(A))\).\\
Prouver que \(f\) est unique.
  \item On suppose maintenant que \(F\) est spectrale et que \(f\) est convexe (où \(f\) est la fonction associée à \(F\) définie dans la question 26). On voudrait démontrer que \(F\) est convexe (Théorème de Davis).
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item[(a)] Soit \(A \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})\). Montrer qu'il existe \(S \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) bistochastique telle que
\[
\operatorname{diag}(A)=S \hat{\lambda}(A) .
\]
  \item[(b)] Soient deux matrices \(A \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})\) et \(B \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})\). On pose \(C=A+B\). Montrer qu'il existe deux matrices bistochastiques \(S_{1}, S_{2} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) telles que
\[
\hat{\lambda}(C)=S_{1} \hat{\lambda}(A)+S_{2} \hat{\lambda}(B) .
\]
  \item[(c)] En déduire que \(F\) est convexe.
  \item[(d)] Soit \(A \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})\). Montrer que
\[
F(\operatorname{DG}(A)) \leqslant F(A) .
\]
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{27}
  \item Pour toute matrice \(A \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})\) et tout \(m \in \llbracket 1 ; n \rrbracket\), on pose \(\Sigma_{m}(A)=\sum_{k=1}^{m} \hat{\lambda}_{k}(A)\).
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item[(a)] Soient \(A, B \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R}), m \in \llbracket 1 ; n \rrbracket\) et \(V_{1}, \cdots, V_{n}\) une base orthonormée de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) telle que pour tout \(i \in \llbracket 1 ; n \rrbracket, A V_{i}=\hat{\lambda}_{i}(A) V_{i}\).\\
On pose \(C=A+B\) et on note \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) une base orthonormée de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\)\\
telle que pour tout \(i \in \llbracket 1 ; n \rrbracket, C X_{i}=\hat{\lambda}_{i}(C) X_{i}\).\\
Montrer pour tout \(k \in \llbracket 1 ; n \rrbracket\), les deux inégalités :
\[
\begin{aligned}
\left\langle X_{k}, A X_{k}\right\rangle & \leqslant \hat{\lambda}_{m}(A)+\sum_{i=1}^{m-1}\left(\hat{\lambda}_{i}(A)-\hat{\lambda}_{m}(A)\right)\left\langle X_{k}, V_{i}\right\rangle^{2}, \\
\sum_{k=1}^{m}\left\langle X_{k}, A X_{k}\right\rangle & \leqslant \Sigma_{m}(A) .
\end{aligned}
\]
\end{itemize}

\begin{itemize}
  \item[]
  \begin{itemize}
    \item[(b)] En déduire que les fonctions \(\Sigma_{m}\) sont toutes convexes.
  \end{itemize}
  \item[29.] Soit \(H: \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}\) de la forme \(H(A)=\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} \hat{\lambda}_{k}(A)\) où \(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}\) sont des réels donnés tels que \(\alpha_{1} \geqslant \alpha_{2} \geqslant \cdots \geqslant \alpha_{n} \geqslant 0\).\\
Montrer que \(H\) est spectrale et convexe.\\
Indication : on peut exprimer \(H(A)\) en fonction de \(\Sigma_{1}(A), \cdots, \Sigma_{n}(A)\).\\
Pour tout \(X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), on note \(\hat{X}=\left(\begin{array}{c}\hat{x}_{1} \\ \vdots \\ \hat{x}_{n}\end{array}\right)\) l'élément de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) défini par \(\forall i \in \llbracket 1 ; n \rrbracket, \hat{x}_{i}=x_{\alpha(i)}\), où \(\alpha \in \mathscr{P}_{n}\) est choisi tel que \(x_{\alpha(1)} \geqslant \cdots \geqslant x_{\alpha(n)}\) (autrement dit, \(\hat{x}_{1} \geqslant \cdots \geqslant \hat{x}_{n}\) sont les composantes \(X\) réordonnées dans l'ordre décroissant).
  \item[30.] Soient \(A \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})\) et \(B \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})\). On pose \(U=\operatorname{diag}(A)\) et \(V=\operatorname{diag}(B)\).\\
Montrer que \(\langle\hat{U}, \hat{V}\rangle \leqslant\langle\hat{\lambda}(A), \hat{\lambda}(B)\rangle\) (Inégalité de Fan).
\end{itemize}

\begin{table}[h]
\begin{center}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{I. Mathématiques générales}
\begin{tabular}[t]{|l|l|}
\hline
np.linspace(a, b, n) & Crée une matrice ligne de n valeurs uniformément réparties entre a et b (inclus). \\
\hline
np.zeros([n,m]) & Crée la matrice nulle de taille \(n \times m\). \\
\hline
np.zeros(n) & Crée la matrice ligne nulle de taille \(n\). \\
\hline
np.arange(a,b,eps) & Renvoie la liste des flottants de a à b (b non compris) de pas constant eps. \\
\hline
np.shape(M) & Donne la taille de la matrice \(M\) sous forme d'un tuple (couple). \\
\hline
np.transpose(M) & Renvoie la transposée de M. \\
\hline
np.dot(M,P); M.dot(P); M @ P & 3 instructions synonymes, évaluent le produit matriciel MP. \\
\hline
np.sum(M) & Renvoie la somme de tous les éléments de M. \\
\hline
np.sum(M, axis = i) & Renvoie un vecteur ligne des sommes de chaque colonne de M si \(i=0\) et des sommes de chaque ligne de M si \(i=1\). \\
\hline
 &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[h]
\begin{center}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{II. Algèbre linéaire}
\begin{tabular}[t]{|l|l|}
\hline
al.inv(M) & Renvoie l'inverse de la matrice M. \\
\hline
al.matrix\_rank(M) & Renvoie le rang de la matrice M . \\
\hline
al.matrix\_power(M,n) & Renvoie la nième puissance de la matrice M. \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[h]
\begin{center}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{III. Simulations probabilistes}
\begin{tabular}[t]{|l|l|}
\hline
rd.random([q,r]) & Simule une réalisation d'une matrice aléatoire de dimension \((q, r)\) dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi \(\mathcal{U}([0,1])\). \\
\hline
\begin{lstlisting}[mathescape=true]
rd.normal(m,d,[q,r])
rd.normal(m,d,n)
\end{lstlisting}
 & Simule une réalisation d'une matrice (resp d'un vecteur) aléatoire de dimension \((q, r)\) (resp \(n\) ) dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi \(\mathcal{N}\left(m, d^{2}\right)\) \\
\hline
\begin{lstlisting}[mathescape=true]
rd.gamma(m,a,[q,r])
rd.gamma(m,a,n)
\end{lstlisting}
 & Simule une réalisation d'une matrice(resp d'un vecteur) aléatoire de dimension \((q, r)\) (resp \(n\) ) dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi \(\Gamma(m, a)\). \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[h]
\begin{center}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{IV. Graphiques}
\begin{tabular}[t]{|l|l|}
\hline
plt.plot(X,Y,options) & Génère la courbe des points définis par les listes \(X\) et \(Y\) suivant les options graphiques définies par la chaîne de caractère options. \\
\hline
plt.grid() & Affiche le quadrillage \\
\hline
plt.show() & Affiche le graphique. \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

FIN


\end{document}