\documentclass[10pt]{article} \usepackage[french]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage[version=4]{mhchem} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{bbold} \usepackage{graphicx} \usepackage[export]{adjustbox} \graphicspath{ {./images/} } \usepackage{mathrsfs} \title{ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES } \author{} \date{} \begin{document} \maketitle \section*{CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES} \section*{OPTION SCIENTIFIQUE} \section*{MATHEMATIQUES I} Mardi 8 Mai 2001, de 8h. à 12h. La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\ Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\ Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\ Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. Le but de ce problème est l'étude du modèle démographique «Proies et prédateurs» de Vito Volterra.\\ Dans tout le problème, In désigne la fonction logarithme népérien, \(\alpha, \beta, a, b\) désignent des réels strictement positifs, fixés une fois pour toutes, et on définit les fonctions \(f\) et \(g\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) par: \[ \begin{aligned} & \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, f(x)=-\alpha \ln x+\beta x \\ & \forall y \in \mathbb{R}_{+}^{*}, g(y)=-a \ln y+b y \end{aligned} \] Enfin, on appelle \(F\) la fonction définie sur \(\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{2}\) par: \[ \forall(x, y) \in\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{2}, F(x, y)=f(x)+g(y) \] \section*{Partie I. Étude de la fonction \(F\)} \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction \(f\) et vérifier qu'elle admet un minimum que l'on note \(m_{f}\); on définit \(m_{g}\), mutato nomine, celui de la fonction \(g\). \item On note \(f_{1}\) et \(f_{2}\) les restrictions respectives de \(f\) à \(\left.] 0, \alpha / \beta\right]\) et à \([\alpha / \beta,+\infty[\). \end{enumerate} On note \(g_{1}\) et \(g_{2}\) les restrictions respectives de \(g\) à \(\left.] 0, a / b\right]\) et à \([a / b,+\infty[\).\\ Montrer que \(f_{1}\) définit une bijection de \(\left.] 0, \alpha / \beta\right]\) dans un ensemble que l'on précisera. Énoncer des résultats analogues pour \(f_{2}, g_{1}\) et \(g_{2}\).\\ 3) Montrer que \(F\) possède un minimum et préciser l'ensemble des points en lesquels celui-ci est atteint. On notera \(m_{F}\) le minimum de \(F\). \section*{Partie II. Étude des lignes de niveau de \(F\)} On définit pour tout réel \(c\), l'ensemble \(\Gamma_{c}=\left\{(x, y) \in\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{2}, F(x, y)=c\right\}\). On se propose détudier, dans cette partie, la forme de la représentation graphique de \(\Gamma_{c}\) dans le plan muni d'un repère orthonormé. \begin{enumerate} \item Préciser \(\Gamma_{c}\) lorsque \(cm_{F}\).\\ a) Montrer qu'il existe deux réels strictement positifs \(u_{c}\) et \(v_{c}\) tels que : \end{enumerate} \[ u_{c}<\frac{\alpha}{\beta}m_{F}\).\\ 2) Soit \(\theta\) un réel positif. On suppose que \(S^{\prime}\) ne s'annule pas sur \([\theta,+\infty[\).\\ a) - Montrer que \(S\) admet une limite finie en \(+\infty\). \begin{itemize} \item Montrer que cette limite est strictement positive.\\ b) Montrer qu'il existe un réel \(\lambda\) tel que \(R^{\prime}\) ne s'annule pas sur \([\lambda,+\infty[\). Que peut-on en déduire pour \(R\) ?\\ c) - Montrer que \(S^{\prime}\) admet une limite en \(+\infty\). \item Montrer que cette limite est nulle en considérant la nature de l'intégrale \(\int_{\theta}^{+\infty} S^{\prime}(t) \mathrm{d} t\).\\ d) Montrer également que : \(\lim _{t \rightarrow+\infty} R^{\prime}(t)=0\).\\ e) En considérant les limites de \(S\) et \(R\) en \(+\infty\), montrer qu'on arrive à une contradiction. En déduire que \(S^{\prime}\) s'annule en une infinité de points. \end{itemize} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item On considère dans cette question deux réels positifs \(\tau_{1}\) et \(\tau_{2}\) distincts tels que \(S^{\prime}\left(\tau_{1}\right)=S^{\prime}\left(\tau_{2}\right)=0\), et on suppose: \(\tau_{1}<\tau_{2}\).\\ a) Montrer qu'il existe \(\theta\) appartenant à \(] \tau_{1}, \tau_{2}\left[\right.\) tel que \(R^{\prime}(\theta)=0\).\\ b) En considérant les valeurs de \(S\) en \(\theta\) et \(\tau_{1}\), montrer qu'il existe un réel \(\mu\) strictement positif et indépendant de \(\tau_{1}\) et \(\tau_{2}\) tel que \(\left|S(\theta)-S\left(\tau_{1}\right)\right| \geqslant \mu\).\\ c) Montrer que \(S^{\prime}\) est bornée sur \(\mathbb{R}_{+}\).\\ d) Montrer qu'il existe un réel \(\eta\) strictement positif et indépendant de \(\tau_{1}\) et \(\tau_{2}\) tel que \(\left|\tau_{2}-\tau_{1}\right|>\eta\). \item a) Montrer qu'on peut trouver trois réels positifs \(\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}\) tels que: \end{enumerate} \[ \theta_{1}<\theta_{2}<\theta_{3} \text { et } S^{\prime}\left(\theta_{1}\right)=S^{\prime}\left(\theta_{2}\right)=S^{\prime}\left(\theta_{3}\right)=0 \] b) Montrer que \(S^{\prime}\) ne s'annule qu'un nombre fini de fois sur \(\left[0, \theta_{3}\right]\).\\ c) En déduire qu'il existe trois réels positifs \(t_{1}, t_{2}, t_{3}\) tels que \(t_{1}