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\title{ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES \\
 CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{OPTION SCIENTIFIQUE}
\section*{MATHEMATIQUES I}
Jeudi 16 Mai 2002, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Le sujet ci-dessous vise à faire comprendre comment deur concurrents aux intérêts antagonistes, ne parvenant pas à fixer conjointement les stratégies de l'un et l'autre. conviennent de les tirer au sort avec des probabilités bien déterminées.

\section*{Notations :}
Dans tout le problème \(n\) et \(p\) désignent des entiers naturels non nuls fixés et on pose \(E_{n}=\mathbb{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), on définit de même \(E_{p}\).\\
On note \(K_{n}\) l'ensemble \(\left\{X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right) \in E_{n} . x_{1} \geqslant 0 \ldots . x_{n} \geqslant 0 . \sum_{i=1}^{n} x_{i}=1\right\}\); on définit de même \(K_{p}\).\\
Les espaces \(E_{n}\) et \(E_{p}\) sont munis de leur structure euclidienne canonique ; la norme euclidienne d'un vecteur \(X\) de \(E_{n}\) est notée \(\|X\|\) : le produit scalaire de deux vecteurs \(X\) et \(Y\) de \(E_{n}\) est noté \(\langle X, Y\rangle\); on adopte la même notation pour les vecteurs de \(E_{p}\).\\
Enfin, si \(k\) est un entier naturel non nul et si \(\left(z_{i}\right)_{1 \leqslant i \leqslant k}\) est une famille finie de réels, on note \(\operatorname{Max}_{1 \leqslant i \leqslant n} \bar{z}_{i}\) ou \(\operatorname{Max}_{i} z_{i}\) (respectivement \(\operatorname{Min}_{1 \leqslant i \leqslant n} z_{i}\) ou \(\operatorname{Min}_{i} z_{i}\) ) son plus grand (respectivement son plus petit) élément.\\
Plus généralement, si \(f\) est une fonction définie sur un ensemble \(\mathbb{A}\), à valeurs dans \(\mathbb{R}\), admettant un maximum (respectivement un minimum) sur \(E\), on note \(\operatorname{Max}_{x \in \mathbb{A}} f(x)\), (respectivement \(\operatorname{Min}_{x \in \mathbb{A}} f(x)\) ), ce maximum, (respectivement ce minimum).

\section*{Partie I. Le plus petit des plus grands et le plus grand des plus petits}
Soit \(A=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant p}}\) une matrice appartenant à \(\mathbb{M}_{n . p}(\mathbb{R})\).\\
On note \(u(A)=\operatorname{Min}_{1 \leqslant i \leqslant n}\left(\operatorname{Max}_{1 \leqslant j \leqslant p} a_{i j}\right)\) et \(v(A)=\operatorname{Max}_{1 \leqslant j \leqslant p}\left(\operatorname{Min}_{1 \leqslant i \leqslant n} a_{i j}\right)\). Pour simplifier les notations, on pourra écrire ces expressions : \(u(A)=\operatorname{Min}_{i} \operatorname{Max}_{j} a_{i j}\) et \(v(A)=\operatorname{Max}_{j} \operatorname{Min}_{i} a_{i j}\).

\begin{enumerate}
  \item Calculer \(u(A)\) et \(v(A)\) dans les deux cas suivants : \(A=\left(\begin{array}{cc}-2 & 3 \\ 1 & -1\end{array}\right) ; A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 6 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & -1\end{array}\right)\).
  \item On revient au cas général où \(A \in \mathbb{M}_{n, p}(\mathbb{R})\). Pour tout \(j_{0} \in\{1, \ldots, p\}\) et tout \(i_{0} \in\{1, \ldots, n\}\), on pose \(s_{j_{0}}=\operatorname{Min}_{i} a_{i j_{0}}\) et \(t_{i_{0}}=\operatorname{Max}_{j} a_{i_{0} j}\).\\
a) Montrer que \(s_{j_{0}} \leqslant t_{i_{0}}\) pour tout \(j_{0} \in\{1, \ldots, p\}\) et tout \(i_{0} \in\{1, \ldots, n\}\).\\
b) En déduire que \(v(A) \leqslant u(A)\).
  \item On suppose que dans le préambule d'un programme écrit en Turbo-Pascal on a défini :
  \item deux constantes entières: n et \(p\),
  \item un type: matrice = array[1..n,1..p] of real;\\
a) Écrire le corps de la fonction function Max\_ligne (A:matrice; i:integer): real; cette fonction doit retourner le plus grand élément de la ligne i de la matrice A, c'est-à-dire la valeur \(\operatorname{Max}_{j} A[i, j]\).\\
b) Écrire le corps de la fonction function MinMax(A:matrice): real; cette fonction doit retourner la valeur \(u(A)\), définie plus haut; on pourra utiliser la fonction Max\_ligne.
\end{enumerate}

\section*{Partie II. Le minimum des maxima et le maximum des minima}
\begin{enumerate}
  \item Dans cette question on étudie un exemple. On considère la matrice \(A=\left(\begin{array}{cc}-2 & 3 \\ 1 & -1\end{array}\right)\), et pour tout \((x, y) \in[0,1]^{2}\). on pose \(X=\binom{x}{1-x}\) et \(Y=\binom{y}{1-y}\) puis \(h(x, y)={ }^{t} X A Y\).\\
a) Calculer \(h(x, y)\) en fonction de \(x\) et \(y\).\\
b) Déterminer suivant les valeurs de \(x \in[0,1]\), le maximum de la fonction \(y \longmapsto h(x, y)\) sur \([0,1]\); ce maximum sera noté \(\lambda(x)\).\\
c) Déterminer la valeur minimum de \(\lambda(x)\) lorsque \(x\) décrit \([0,1]\). Cette valeur sera notée \(\alpha(A)\), elle est donc égale à \(\operatorname{Min}_{X \in K_{2}}\left(\operatorname{Max}_{Y \in K_{2}}^{t} X A Y\right)\), qu'on note plus simplement \(\operatorname{Min}_{X} \operatorname{Max}_{Y}{ }^{t} X A Y\), étant entendu que \(X\) et \(Y\) décrivent \(K_{2}\).\\
d) Par une méthode analogue montrer l'existence de \(\beta(A)=\operatorname{Max}_{Y} \operatorname{Min}_{X}{ }^{t} X A Y\) et donner sa valeur.
\end{enumerate}

Dans la suite de cette partie \(A=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant p}}\) désigne une matrice appartenant à \(\mathbb{M}_{n, p}(\mathbb{R})\).\\
On définit la fonction \(f\) sur \(K_{n} \times K_{p}\) par: \(\forall(X, Y) \in K_{n} \times K_{p}, f(X, Y)={ }^{t} X A Y\).\\
Pour tout \(j \in\{1, \ldots, p\}\) et tout \(X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right) \in K_{n}\), on pose \(\varphi_{j}(X)=\sum_{i=1}^{n} a_{i j} x_{i}\), puis \(\lambda(X)=\operatorname{Max}_{1 \leqslant j \leqslant p} \varphi_{j}(X)\).\\
2) On considère des fonctions \(g_{1}, \ldots g_{p}\) définies et continues sur \(K_{n}\), à valeurs dans \(\mathbb{R}\).\\
a) On pose \(h=\operatorname{Max}\left(g_{1}, g_{2}\right)\). c'est-à-dire la fonction de \(K_{n}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \(h(x)=\operatorname{Max}\left(g_{1}(x), g_{2}(x)\right)\).

Vérifier que \(h=\frac{g_{1}+g_{2}+\left|g_{1}-g_{2}\right|}{2}\) et en déduire que \(h\) est continue sur \(K_{n}\).\\
b) Montrer que la fonction \(g=\operatorname{Max}\left(g_{1}, \ldots g_{p}\right)\) est continue sur \(K_{n}, g\) étant définie sur \(K_{n}\) par: \(\forall x \in K_{n} . g(x)=\operatorname{Max}\left(g_{1}(x) \ldots . g_{p}(x)\right)\).\\
3) Dans cette question on considère un élément \(X\) appartenant à \(K_{n}\).\\
a) Montrer que pour tout \(Y \in K_{p}, f(X, Y) \leqslant \lambda(X)\).\\
b) Montrer qu'il existe \(Y_{X} \in K_{p}\) tel que \(f\left(X, Y_{X}\right)=\lambda(X)\).\\
c) En déduire quon peut poser: \(\lambda(X)=\operatorname{Max}_{Y \in K_{p}} f(X, Y)\).\\
4) a) Montrer que \(K_{n}\) est borné.\\
(On admet pour la suite du problème, que \(K_{n}\) est une partie fermée de \(E_{n}\) )\\
b) Montrer que \(\lambda\) admet un minimum sur \(K_{n}\).

Ce minimum est noté \(\alpha(A)\) et il est donc égal à \(\operatorname{Min}_{X \in K_{n}}\left({\underset{Y \in K_{p}}{\operatorname{Max}}}^{t} X A Y\right)\), qu'on note plus simplement \(\operatorname{Min}_{X} \operatorname{Max}_{Y}{ }^{t} X A Y\).\\
On montrerait de manière analogue que le nombre \(\operatorname{Max}_{Y \in K_{p}}\left(\operatorname{Min}_{X \in K_{n}}{ }^{t} X A Y\right)\) existe. Il est noté \(\beta(A)\) et on l'écrit plus simplement \(\operatorname{Max}_{Y} \operatorname{Min}_{X}{ }^{t} X A Y\).\\
5) a) Soit ( \(X^{\prime}, Y\) ) appartenant à \(K_{n} \times K_{p}\). Montrer que \(\operatorname{Min}_{X \in K_{n}} f(X, Y) \leqslant \lambda\left(X^{\prime}\right)\).\\
b) En déduire: \(\beta(A) \leqslant \alpha(A)\).\\
6) On dit qu une partie non vide \(\mathscr{C}\) de \(E_{p}\) est convexe lorsque: \(\forall(X, Y) \in \mathscr{C}^{2} . \forall m \in[0,1], m Y+(1-m) X \in \mathscr{C}\). On considère dans cette question une partie \(\mathscr{C}\) de \(E_{p}\) convexe, fermée, bornée et non vide.\\
a) Montrer qu'il existe \(W \in \mathscr{C}\), tel que: \(\forall Y \in \mathscr{C},\|W\| \leqslant\|Y\|\).\\
b) Soit \(Y\) appartenant à \(\mathscr{C}\), on pose pour tout \(m \in[0,1]: Y_{m}=(1-m) W+m Y\).

\begin{itemize}
  \item Montrer que: \(\forall m \in] 0,1\left[,\langle W, Y\rangle \geqslant \frac{2-m}{2(1-m)}\|W\|^{2}-\frac{m}{2(1-m)}\|Y\|^{2}\right.\).
\end{itemize}

On rappelle que \(\langle W, Y\rangle\left(={ }^{t} W Y\right)\) désigne le produit scalaire de \(W\) et \(Y\).

\begin{itemize}
  \item En déduire que: \(\langle W, Y\rangle \geqslant\|W\|^{2}\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item Dans cette question et jusqu'à la fin de cette partie on considère l'ensemble:
\end{enumerate}

\[
\mathscr{C}=\left\{m^{t} A X+(1-m) Y, X \in K_{n} . Y \in K_{p}, m \in[0,1]\right\}
\]

a) Montrer que \(K_{n}\) est une partie convexe de \(E_{n}\).\\
b) Montrer que \(\mathscr{C}\) est une partie convexe et bornée de \(E_{p}\).

On admet pour la suite que \(\mathscr{C}\) est une partie fermée de \(E_{p}\).\\
8) On suppose dans cette question que le vecteur nul appartient à \(\mathscr{C}\).\\
a) Montrer qu'il existe \(X_{0} \in K_{n} . Y_{0} \in K_{p}\) et un réel \(\mu \leqslant 0\) tels que: \({ }^{t} A X_{0}=\mu Y_{0}\).\\
b) Déterminer le signe de \({ }^{t} X_{0} A Y\) pour tout \(Y \in K_{p}\).\\
c) Déterminer le signe de \(\alpha(A)\).\\
9) Dans cette question on suppose que le vecteur nul n'appartient pas à \(\mathscr{C}\).\\
a) Montrer qu'il existe un élément \(W \in \mathscr{C}\) tel que:

\[
\forall m \in[0,1] . \forall X \in K_{n}, \forall Y \in K_{p}, m^{t} X A W+(1-m)^{t} Y W>0
\]

b) On note \(w_{1}, \ldots w_{p}\) les coordonnées de \(W\) dans la base canonique de \(E_{p}\).

Montrer que \(w_{i}>0\) pour tout \(i \in\{1, \ldots p p\}\).\\
c) Montrer que: \(\forall X \in K_{n},{ }^{t} X A W>0\).\\
d) Montrer qu'il existe un vecteur \(W^{\prime} \in K_{p}\) tel que: \(\forall X \in K_{n},{ }^{t} X A W^{\prime}>0\).\\
e) Montrer que \(\beta(A)>0\).\\
10) On définit la matrice \(B \in \mathbb{M}_{n, p}(\mathbb{R})\) par \(B=A-\beta(A) J\) où \(J\) est la matrice appartenant à \(\mathbb{M}_{n, p}(\mathbb{R})\) dont tous les éléments sont égaux à 1 .\\
a) Déterminer les valeurs \(\alpha(B)\) et \(\beta(B)\) en fonction de \(\alpha(A)\) et \(\beta(A)\).\\
b) Déduire des questions précédentes que \(\alpha(A)=\beta(A)\).

\section*{Partie III. Point-selle et point critique}
Dans cette partie, \(A\) désigne toujours une matrice de à \(\mathbb{M}_{n . p}(\mathbb{R})\) et on rappelle que pour tout ( \(X, Y\) ) appartenant à \(K_{n} \times K_{p}: f(X . Y)={ }^{t} X A Y\).\\
On dit que le couple \(\left(X_{0}, Y_{0}\right)\) appartenant à \(K_{n} \times K_{p}\) est un poinl-selle pour \(f\), lorsque:

\[
\forall(X, Y) \in K_{n} \times K_{p}, f\left(X_{0}, Y\right) \leqslant f\left(X_{0}, Y_{0}\right) \leqslant f\left(X, Y_{0}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer quil existe un point-selle pour \(f\) et que si ( \(X_{0}, Y_{0}\) ) en est un. alors \(f\left(X_{0}, Y_{0}\right)=\alpha(A)\).
  \item On considère la matrice réelle \(A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\) et on définit la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) par:
\end{enumerate}

\[
\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, g(x, y)=\left(\begin{array}{ll}
x & 1-x
\end{array}\right) A\binom{y}{1-y}
\]

On appelle point critique de \(g\) tout couple \((u, v) \in \mathbb{R}^{2}\) tel que \(\frac{\partial g}{\partial x}(u, v)=\frac{\partial g}{\partial y}(u, v)=0\).\\
a) Montrer que \(g\) admet un unique point critique ( \(x_{0} . y_{0}\) ) si et seulement si \(a+d-b-c \neq 0\). Déterminer dans ce cas \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\).\\
b) On suppose \(a-b\) et \(d-c\) de mêne signe et non tous nuls et on suppose également que \(a-c\) et \(d-b\) sont de même signe et non tous nuls.

\begin{itemize}
  \item Montrer que dans ce cas \(g\) admet un unique point critique \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) et que \(\left(x_{0}, y_{0}\right) \in[0,1]^{2}\).
  \item Montrer que: \(\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, g(x, y)=g\left(x_{0} . y_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)(a+d-b-c)\).
\end{itemize}

On pourra introduire les notations suivantes: \(X=\binom{x}{1-x}, Y=\binom{y}{1-y}, X_{0}=\binom{x_{0}}{1-x_{0}}\). \(Y_{0}=\binom{y_{0}}{1-y_{0}} \cdot U=X-X_{0} \cdot V=Y-Y_{0}\). et on exprimera \(g(x, y)\) à l'aide de \(U, V, A, X_{0}\) et \(Y_{0}\).

\begin{itemize}
  \item En déduire que \(\left(\binom{x_{0}}{1-x_{0}} \cdot\binom{y_{0}}{1-y_{0}}\right)\) est un point-selle pour l'application \(f\) définie sur \(K_{2} \times K_{2}\) par: \(\forall(X, Y) \in K_{2} \times K_{2}, f(X, Y)={ }^{t} X A Y\).
  \item Quelle est la valeur de \(\alpha(A)\) ?
\end{itemize}

\section*{Partie IV. Application à une étude de la concurrence}
Deux entrepreneurs Primus et Secundus se partagent le marché d'un produit sur un territoire commun, de sorte qu'au cours d'un trimestre, si l'un voit sa part de marché varier de \(\Delta\) unités (nombre réel positif ou négatif) l'autre voit la sienne varier de \(-\Delta\) unités. Cette variation dépend à chaque trimestre des stratégies choisies par l'un et l'autre.\\
Primus a le choix entre deux stratégies notées \(P_{1}\) et \(P_{2}\), Secundus a le choix entre deux stratégies \(S_{1}\) et \(S_{2}\). Lorsque Primus et Secundus choisissent chacun l'une de leurs deux stratégies, leurs parts de marché sont modifićes et le tableau suivant donne les variations trimestrielles de la part de marché de Secundus, celles de Primus étant opposées.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline
Variation trimestrielle de la part de marché de Secundus lorsque : & Secundus choisit \(S_{1}\) & Secundus choisit \(S_{2}\) \\
\hline
Primus choisit \(P_{1}\) & -2 & 3 \\
\hline
Primus choisit \(P_{2}\) & 1 & -1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Dans une négociation entre Primus et Secundus, si Secundus propose par exemple \(S_{2}\), Primus propose alors \(P_{2}\). mais dans ce cas Secundus préfêre \(S_{1}\) et Primus souhaite alors \(P_{1}\), ce qui pousse Secundus à choisir de nouveau \(S_{2}\); finalement toute entente semble être impossible.\\
Primus et Secundus décident alors de s'en remettre au hasard de la manière suivante: les deux concurrents choisissent simultanément et aléatoirement l'une des deux stratégies dont chacun dispose: Primus choisit la stratégie \(P_{1}\) avec la probabilité \(x(x \in[0,1])\) et la stratégie \(P_{2}\) avec la probabilité \(1-x\), Secundus, indépendamment du choix de Primus, choisit la stratégie \(S_{1}\) avec la probabilité \(y,(y \in[0,1])\) et la stratégie \(S_{2}\) avec la probabilité \(1-y\). On note dans ces conditions, \(V_{x, y}\) la variable aléatoire égale à la variation trimestrielle de la part de marché de Secundus.

\begin{enumerate}
  \item Déterminer l'espérance de \(V_{x, y}\).
  \item Établir qu'il existe des probabilités \(x_{0}\) et \(y_{0}\) telles que Primus (respectivement Secundus) ne trouve aucun avantage à prendre \(x\) différent de \(x_{0}\) (respectivement \(y\) différent de \(y_{0}\) ), lorsque Secundus (respectivement Primus) s'en tient à \(y_{0}\) (respectivement à \(x_{0}\) ).\\
Déterminer les valeurs de \(x_{0}\) et \(y_{0}\).\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{511bc1eb-fe4a-49a7-9f40-18a227daf74a-4_80_256_1643_875}
\end{enumerate}

\end{document}