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\begin{document}
\section*{HEC 2003. Math1 option scientifique.}
\section*{NUAGES DE POINTS ET APPROXIMATION D'UN NUAGE}
Dans tout le problème \(n\) et \(p\) désignent des entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 et on pose \(E_{p}=\mathcal{M}_{p, 1}(\mathbb{R})\).\\
L'espace \(E_{p}\) est muni de sa structure euclidienne canonique ; la norme euclidienne d'un vecteur \(x\) de \(E_{p}\) est notée \(\|x\|\); le produit scalaire de deux vecteurs \(x\) et \(y\) de \(E_{p}\) est noté \(\langle x, y\rangle\).\\
Si \(u\) est un vecteur non nul appartenant à \(E_{p}, D_{u}\) désigne la droite vectorielle engendrée par \(u\) et si \(x\) est un vecteur de \(E_{p}, P_{D_{u}}(x)\) est le projeté orthogonal de \(x\) sur la droite \(D_{u}\).\\
Si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E_{p}\), le supplémentaire orthogonal de \(F\) dans \(E_{p}\) est noté \(F^{\perp}\). Pour toute matrice \(A\) appartenant à \(\mathcal{M}_{m, \ell}(\mathbb{R})\) on note \(\Phi_{A}\) l'application linéaire de \(\mathcal{M}_{\ell, 1}(\mathbb{R})\) dans \(\mathcal{M}_{m, 1}(\mathbb{R})\) définie par : \(\forall X \in \mathcal{M}_{\ell, 1}(\mathbb{R}), \Phi_{A}(X)=A X\).\\
Pour tout \(r\) appartenant à \(\mathbb{N}^{*}\) et toute famille \(\left(u_{i}\right)_{1 \leqslant i \leqslant r}\) de vecteurs de \(E_{p}\), \(\operatorname{Vect}\left(u_{1}, \ldots, u_{r}\right)\) est le sous-espace vectoriel de \(E_{p}\) engendré par les vecteurs \(u_{1}, \ldots, u_{r}\).\\
Si \(g\) est une fonction définie sur un sous-espace vectoriel \(F\) de \(E_{p}\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\), on désigne par \(\max _{\substack{x \in F \\\|x\|=1}} g(x)\) ou \(\max \{g(x) ; x \in F \quad\) et \(\quad\|x\|=1\}\) le maximum, lorsqu'il existe, de la fonction \(g\) sur l'ensemble des vecteurs \(x\) de \(F\) dont la norme est égale à 1 .

\section*{Partie I: Étude d'un exemple}
Dans cette partie et uniquement dans celle-ci, on suppose que \(p=2\). On note ( \(u_{1}, u_{2}\) ) la base canonique de \(E_{2}\).

\begin{enumerate}
  \item On considère les vecteurs \(v_{1}, v_{2}\) et \(v_{3}\) appartenant à \(E_{2}\) et dont les coordonnées dans la base ( \(u_{1}, u_{2}\) ) sont respectivement \((1,2),(-3,-1),(2,-1)\).\\
On considère un réel \(m\) et on note, pour tout \(i\) appartenant à \(\{1,2,3\}, v_{i}^{\prime}\) le projeté orthogonal de \(v_{i}\) sur la droite vectorielle engendrée par \(u_{1}+m u_{2}\).\\
a) Calculer en fonction de \(m\) la quantité : \(\left\|v_{1}^{\prime}\right\|^{2}+\left\|v_{2}^{\prime}\right\|^{2}+\left\|v_{3}^{\prime}\right\|^{2}\).\\
b) Déterminer la valeur \(m_{0}\) de \(m\) pour laquelle cette quantité atteint son maximum; ce maximum est noté \(\lambda_{1}\).
  \item Soit \(X\) la matrice \(\left(\begin{array}{rrr}1 & -3 & 2 \\ 2 & -1 & -1\end{array}\right)\).\\
a) Vérifier que \(\lambda_{1}\) est une valeur propre de \(\Phi_{X}{ }^{\mathrm{t}} X ; u_{1}+m_{0} u_{2}\) étant un vecteur propre associé à \(\lambda_{1}\).\\
b) Déterminer l'autre valeur propre de \(\Phi_{X^{\mathrm{t}} X}\) et la comparer à \(\lambda_{1}\).
\end{enumerate}

\section*{Partie II: Les axes principaux d'inertie d'un nuage}
Les notations introduites dans cette partie seront utilisées dans toute la suite du problème.\\
On définit la matrice \(X=\left(x_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant p \\ 1 \leqslant j \leqslant n}}\) appartenant à \(\mathcal{M}_{p, n}(\mathbb{R})\) appelée nuage; ses colonnes \(c_{1}, \ldots, c_{n}\) sont appelées points du nuage; \(X\) est donc un nuage de \(n\) points dans un espace de dimension \(p\).\\
On définit la matrice \(V=X^{\mathrm{t}} X\).\\
On appelle \(F\) le sous-espace vectoriel de \(E_{p}\) engendré par les vecteurs colonnes \(c_{1}, \ldots, c_{n}\) et on suppose que \(\operatorname{dim} F=r\) et \(p>r \geqslant 1\).\\
Pour tout vecteur \(v\) non nul de \(E_{p}\), on pose \(I(v)=\sum_{j=1}^{n}\left\|P_{D_{v}}\left(c_{j}\right)\right\|^{2}\); cette quantité s'appelle l'inertie du nuage \(X\) sur la droite \(D_{v}\).\\
Pour tout couple de vecteurs \((v, w)\) appartenant à \(E_{p}^{2}\), on pose: \(J(v, w)=\sum_{j=1}^{n}\left\langle v, c_{j}\right\rangle\left\langle w, c_{j}\right\rangle\).\\
1)a) Montrer que la matrice \(V\) est diagonalisable et que ses valeurs propres sont des réels positifs ou nuls.

On note \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p}\) les valeurs propres de \(V\) et on suppose que \(\lambda_{1} \geqslant \ldots \geqslant \lambda_{p}\) Justifier l'existence d'une base orthonormale \(\left(e_{1}, \ldots, e_{p}\right)\) de \(E_{p}\) telle que:

\[
\forall i \in \llbracket 1, p \rrbracket, V e_{i}=\lambda_{i} e_{i}
\]

b) - Montrer que le noyau de \(\Phi_{V}\) est égal à celui de \(\Phi_{{ }^{\mathrm{t}} X}\).

\begin{itemize}
  \item En déduire que le rang de \(V\) est égal à \(r\).
  \item Montrer que: \(\lambda_{r+1}=\ldots=\lambda_{p}=0\).
  \item Que peut-on dire de \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r}\) ?
  \item Montrer que \(\left(e_{1}, \ldots, e_{r}\right)\) est une base de \(F\).\\
2)a) Montrer, pour tout vecteur \(v\) de norme 1 appartenant à \(E_{p}\), l'égalité: \(I(v)={ }^{t} v V v\).\\
b) Déterminer, pour tout \(i\) appartenant à \(\llbracket 1, p \rrbracket, I\left(e_{i}\right)\) à l'aide des nombres \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p}\)\\
c) On définit les sous-espaces vectoriels \(F_{1}, \ldots, F_{r}\) de \(E_{p}\) par :
\end{itemize}

\[
F_{1}=F, \quad F_{2}=F_{1} \cap\left(D_{e_{1}}^{\perp}\right), \ldots, F_{r}=F_{r-1} \cap\left(D_{e_{r-1}}^{\perp}\right)
\]

\begin{itemize}
  \item Montrer que : \(\forall i \in \llbracket 1, r \rrbracket, F_{i}=\operatorname{Vect}\left(e_{i}, \ldots, e_{r}\right)\).
  \item Montrer que : \(I\left(e_{1}\right)=\max \left\{I(v) ; v \in E_{p}\right.\) et \(\left.\|v\|=1\right\}=\max \left\{I(v) ; v \in F_{1} \quad\right.\) et \(\left.\quad\|v\|=1\right\}\).
  \item Montrer que : \(\forall i \in \llbracket 1, r \rrbracket, I\left(e_{i}\right)=\max \left\{I(v) ; v \in F_{i} \quad\right.\) et \(\left.\quad\|v\|=1\right\}\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Soit \(w\) un vecteur unitaire de \(E_{p}\) tel que \(I(w)=\max \left\{I(v) ; v \in E_{p} \quad\right.\) et \(\left.\quad\|v\|=1\right\}\). Montrer que \(w\) appartient à \(F\).
  \item On suppose dans cette question que \(\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{r}\) sont \(r\) vecteurs de norme 1 appartenant à \(E_{p}\) et que \(G_{1}, \ldots, G_{r}\) sont \(r\) sous-espaces vectoriels de \(E_{p}\) tels que\\
\((\mathcal{S})\left\{\begin{array}{l}G_{1}=F \\ \varepsilon_{1} \in G_{1} \quad \text { et } \quad I\left(\varepsilon_{1}\right)=\max \left\{I(v) ; v \in G_{1} \quad \text { et }\|v\|=1\right\} \\ \varepsilon_{2} \in G_{2}=G_{1} \cap\left(D_{\varepsilon_{1}}^{\perp}\right), \quad \text { et } I\left(\varepsilon_{2}\right)=\max \left\{I(v) ; v \in G_{2} \quad \text { et }\|v\|=1\right\} \\ \vdots \\ \varepsilon_{r-1} \in G_{r-1}=G_{r-2} \cap\left(D_{\varepsilon_{r-2}}^{\perp}\right), \quad \text { et } I\left(\varepsilon_{r-1}\right)=\max \left\{I(v) ; v \in G_{r-1} \quad \text { et }\|v\|=1\right\} \\ \varepsilon_{r} \in G_{r}=G_{r-1} \cap\left(D_{\varepsilon_{r-1}}^{\perp}\right), \quad \text { et } I\left(\varepsilon_{r}\right)=\max \left\{I(v) ; v \in G_{r} \quad \text { et }\|v\|=1\right\}\end{array}\right.\)\\
Les droites vectorielles \(D_{\varepsilon_{1}}, \ldots, D_{\varepsilon_{r}}\) sont appelées axes principaux d'inertie du nuage.\\
a) Vérifier que \(\left(\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{r}\right)\) est une base orthonormale de \(F\) et que \(\left(\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{r}, e_{r+1}, \ldots, e_{p}\right)\) est une base orthonormale de \(E_{p}\).\\
b) Montrer que pour tout couple de vecteurs ( \(v, w\) ) appartenant à \(E_{p}\) :
\end{enumerate}

\[
J(v, w)={ }^{\mathrm{t}} v V w=\left\langle v, \Phi_{V}(w)\right\rangle
\]

c) On se donne deux vecteurs \(v_{1}\) et \(v_{2}\), unitaires, orthogonaux et appartenant à \(F\).

Pour tout réel \(t\), on pose \(\varphi(t)=I\left(\cos t v_{1}+\sin t v_{2}\right)\).

\begin{itemize}
  \item Exprimer \(\varphi(t)\) à l'aide de \(I\left(v_{1}\right), I\left(v_{2}\right), J\left(v_{1}, v_{2}\right)\) et \(t\).
  \item Montrer que \(\varphi\) est majorée sur \(\mathbb{R}\) et qu'elle admet un maximum.
  \item On suppose que le maximum de \(\varphi\) est atteint en 0 . Montrer que \(J\left(v_{1}, v_{2}\right)=0\).\\
d) - Montrer que pour tout \((i, j)\) appartenant à \(\llbracket 1, r \rrbracket^{2}, J\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right)=0\) dès que \(i \neq j\).
  \item Déterminer la forme de la matrice de \(\Phi_{V}\) dans la base \(\left(\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{r}, e_{r+1}, \ldots, e_{p}\right)\).
  \item En déduire que pour tout \(i \in \llbracket 1, r \rrbracket, \varepsilon_{i}\) est un vecteur propre de \(V\) associé à \(\lambda_{i}\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item Dans le langage des statisticiens les colonnes \(c_{j}\) de \(X\) représentent des individus d'une population statistique où \(p\) variables statistiques \(x_{i},(1 \leqslant i \leqslant p)\) ont respectivement pris les valeurs \(x_{i 1}, x_{i 2}, \ldots, x_{i n}(1 \leqslant i \leqslant p)\), valeurs fixées de telle sorte que leur moyennes sont nulles, c'est à dire : \(\sum_{j=1}^{n} x_{i j}=0,1 \leqslant i \leqslant p\).\\
Calculer la covariance \(\operatorname{Cov}\left(x_{k}, x_{\ell}\right)\) des variables \(x_{k}\) et \(x_{\ell}\) lorsque \(k\) et \(\ell\) appartiennent à \(\llbracket 1, p \rrbracket\) puis comparer la matrice \(V\) et la matrice \(\left(\operatorname{Cov}\left(x_{k}, x_{\ell}\right)\right)_{\substack{1 \leqslant k \leqslant p \\ 1 \leqslant \ell \leqslant p}}\)
\end{enumerate}

\section*{Partie III: Une décomposition de la matrice \(X\)}
Pour tout \(i \in \llbracket 1, p \rrbracket\) on note \(\Pi_{i}\) la matrice dans la base canonique de \(E_{p}\), de la projection orthogonale de \(E_{p}\) sur \(D_{e_{i}}\); les vecteurs \(e_{1}, \ldots, e_{p}\) ont été définis au II.1.a.

\begin{enumerate}
  \item Montrer que : \(\sum_{i=1}^{p} \Pi_{i}=I_{p}\), (où \(I_{p}\) est la matrice appartenant à \(\mathcal{M}_{p}(\mathbb{R})\) dont tous les éléments sont nuls excepté les éléments diagonaux qui valent 1).
  \item Déterminer \(\Pi_{i} \Pi_{j}\) pour tout \((i, j) \in \llbracket 1, p \rrbracket^{2}\) tel que \(i \neq j\).
  \item Calculer pour tout \(i \in \llbracket r+1, p \rrbracket, \Pi_{i} X\) et en déduire que : \(X=\sum_{i=1}^{r} \Pi_{i} X\).
  \item Pour tout \(s \in \llbracket 1, r \rrbracket\), on pose \(X_{s}=\sum_{i=1}^{s} \Pi_{i} X\).\\
a) Montrer que : \(\operatorname{Im} \Phi_{X_{s}} \subset \operatorname{Vect}\left(e_{1}, \ldots, e_{s}\right)\).\\
b) Calculer \(X_{s}{ }^{\mathrm{t}} X e_{j}\) pour tout \(j \in \llbracket 1, p \rrbracket\) et déterminer le rang de \(X_{s}\).
\end{enumerate}

\section*{Partie IV: Une norme euclidienne de matrices carrées}
Pour tout entier naturel q non nul et toute matrice, carrée \(A=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant q \\ 1 \leqslant j \leqslant q}}\) appartenant à \(\mathcal{M}_{q}(\mathbb{R})\), on pose \(\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{q} a_{i i}\).\\
On sait que tr définit une application linéaire de \(\mathcal{M}_{q}(\mathbb{R})\) dans \(\mathbb{R}\) et que si \(A\) et \(B\) appartiennent respectivement à \(\mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{R})\) et \(\mathcal{M}_{p, n}(\mathbb{R})\) alors \(\operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)\). On sait également que si deux matrices \(A\) et \(B\) sont semblables alors \(\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(B)\).\\
Pour tout \(M\) et \(N\) appartenant à \(\mathcal{M}_{p, n}(\mathbb{R})\) on pose : \(\Theta(M, N)=\operatorname{tr}\left(M^{\mathrm{t}} N\right)\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \((M, N) \mapsto \Theta(M, N)\) est un produit scalaire sur \(\mathcal{M}_{p, n}(\mathbb{R})\).
\end{enumerate}

Pour toute matrice \(M\) appartenant à \(\mathcal{M}_{p, n}(\mathbb{R})\), on note \(\|M\|=\sqrt{\operatorname{tr}\left(M^{\mathrm{t}} M\right)}\), appelé ici norme euclidienne de \(M\).\\
2) Calculer pour tout \((i, j) \in \llbracket 1, p \rrbracket^{2}, \Theta\left(\Pi_{i} X, \Pi_{j} X\right)\). On distinguera les cas \(i=j\) et \(i \neq j\), et on exprimera les résultats en fonction des nombres \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p}\).\\
3) Calculer \(\left\|X-X_{s}\right\|^{2}\) en fonction de \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r}\), pour tout \(s\) appartenant à \(\llbracket 1, r \rrbracket\).

\section*{Partie V: La meilleure approximation du nuage}
On rappelle que si \(H_{1}\) et \(H_{2}\) sont deux sous-espaces vectoriels de \(E_{p}\), alors :

\[
\operatorname{dim}\left(H_{1}+H_{2}\right)=\operatorname{dim} H_{1}+\operatorname{dim} H_{2}-\operatorname{dim}\left(H_{1} \cap H_{2}\right)
\]

On considère un entier naturel \(s\) appartenant à \(\llbracket 1, r-1 \rrbracket\) et une matrice \(N\) appartenant à \(\mathcal{M}_{p, n}(\mathbb{R})\) telle que \(\operatorname{rg}(N) \leqslant s\).

\begin{enumerate}
  \item Justifier rapidement l'existence d'une base orthonormale ( \(a_{1}, \ldots, a_{p}\) ) de \(E_{p}\) formée de vecteurs propres de \((X-N)^{\mathrm{t}}(X-N)\). On note \(\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{p}\) les valeurs propres de \((X-N)^{\mathrm{t}}(X- N)\) associées respectivement aux vecteurs \(a_{1}, \ldots, a_{p}\) et on suppose que \(\gamma_{1} \geqslant \ldots \geqslant \gamma_{p}\).
  \item Soit \(i\) un entier appartenant à \(\llbracket 1, r-s \rrbracket\) et \(G\) un sous-espace de \(E_{p}\) de dimension supérieure ou égale à \(i\).\\
a) Montrer que: \(\operatorname{dim}\left(G \cap \operatorname{Vect}\left(a_{i}, \ldots, a_{p}\right)\right) \geqslant 1\).\\
b) En déduire qu'il existe un vecteur unitaire \(u\) appartenant à \(G\) tel que \(\left\|^{\mathrm{t}}(X-N) u\right\|^{2} \leqslant \gamma_{i}\).\\
c) On considère l'espace vectoriel \(H=\left(\operatorname{Ker} \Phi_{\mathrm{t}_{N}}\right) \cap \operatorname{Vect}\left(e_{1}, \ldots, e_{s+i}\right)\).
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item Montrer que : \(\operatorname{dim} H \geqslant i\).
  \item En déduire : \(\lambda_{s+i} \leqslant \gamma_{i}\).\\
3)a) Montrer que : \(\|X-N\|^{2}=\sum_{i=1}^{p} \gamma_{i}\).\\
b) En déduire que : \(\|X-N \mid\|^{2} \geqslant \sum_{i=s+1}^{r} \lambda_{i}\).\\
c) En déduire que \(X_{s}\) réalise la meilleure approximation de \(X\) par des matrices de rang inférieur ou égal à \(s\) au sens de la norme euclidienne définie plus haut sur \(\mathcal{M}_{p, n}(\mathbb{R})\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Soit \(G\) un sous-espace vectoriel de \(E_{p}\). On note \(P_{G}\) la projection orthogonale de \(E_{p}\) sur \(G\), \(\Pi_{G}\) sa matrice dans la base canonique de \(E_{p}\) et \(K(G)=\sum_{j=1}^{n}\left\|P_{G}\left(c_{j}\right)\right\|^{2}\).\\
La quantité \(K(G)\) s'appelle l'inertie du nuage \(X\) sur le sous-espace \(G\), et dans le cas où \(G=E_{p}, K(G)\) est l'inertie totale du nuage \(X\).\\
a) Montrer que : \(K(G)=\left\|\Pi_{G} X\right\| \|^{2}\).\\
b) Montrer que : \(K(G)=\|X\|\left\|^{2}-\right\| X-\Pi_{G} X \|^{2}\).\\
c) On suppose toujours que \(s\) est un entier appartenant à \(\llbracket 1, r-1 \rrbracket\) et \(\operatorname{dim} G \leqslant s\).
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item Montrer que : \(K(G) \leqslant \sum_{i=1}^{s} \lambda_{i}\).
  \item Montrer que \(K\left(\operatorname{Vect}\left(e_{1}, \ldots, e_{s}\right)\right)\) est le maximum des nombres \(K(G)\), lorsque \(G\) parcourt l'ensemble des sous-espaces vectoriels de \(E_{p}\) dont la dimension est inférieure ou égale à \(s\).\\
d) On suppose dans cette question que \(s\) appartient à \(\llbracket 1, p \rrbracket\), on ne suppose donc plus que \(s \leqslant r-1\).\\
Montrer que \(K\left(\operatorname{Vect}\left(e_{1}, \ldots, e_{s}\right)\right)\) est le maximum des nombres \(K(G)\), lorsque \(G\) parcourt l'ensemble des sous-espaces vectoriels de \(E_{p}\) dont la dimension est inférieure ou égale à \(s\).
\end{itemize}

\section*{Partie VI: Non multa, sed multum}
Dans cette partie, on propose une interprétation pratique des résultats théoriques précédents à propos d'une enquête de consommations.\\
On a étudié les « consommations » annuelles de 8 denrées alimentaires (ce sont les 8 variables statistiques \(x_{i}\), ( \(1 \leqslant i \leqslant 8\) ) que l'on suppose centrées), par différentes catégories socioprofessionnelles, à savoir : celles des exploitants agricoles (AGRI) représentées par la colonne \(c_{1}\), des salariés agricoles (SAAG( \(=c_{2}\) )), des professions indépendantes (PRIN \(\left(=c_{3}\right)\) ), les cadres supérieurs \(\left(\operatorname{CSUP}\left(=c_{4}\right)\right)\), des cadres moyens \(\left(\operatorname{CMOY}\left(=c_{5}\right)\right)\), des employés \(\left(\operatorname{EMP}\left(=c_{6}\right)\right)\), des ouvriers ( \(\operatorname{OUV}\left(=c_{7}\right)\) ), des inactifs ( \(\operatorname{INAC}\left(=c_{8}\right)\) ). Dans notre exemple un individu est donc une catégorie socio-professionnelle.\\
On a consigné les résultats de l'enquête dans une matrice \(X=\left(x_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant 8 \\ 1 \leqslant j \leqslant 8}}\). Par exemple \(x_{12}\) représente la consommation moyenne de la denrée 1 par la catégorie SAAG.\\
Les valeurs propres de la matrice \(V=X^{\mathrm{t}} X\) sont approximativement \(70,20,5,3,2,0,0\) et 0 associées respectivement à \(e_{1}, \ldots, e_{8}\).

\begin{enumerate}
  \item Quelle part de l'inertie totale est contenue dans l'inertie du nuage de points sur le sous-espace de base ( \(e_{1}, e_{2}\) ).
\end{enumerate}

On a représenté dans le dessin ci-contre les projetés orthogonaux dans le plan de base \(\left(e_{1}, e_{2}\right)\) des 8 individus \(\left(c_{j}\right)_{1 \leqslant j \leqslant 8}\), c'est-à-dire des 8 colonnes représentant les consommations moyennes de chaque catégorie socio-professionnelle.\\
2) Que représente le nuage de points du\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}]{56ac31e8-97d6-486c-a286-d90e3ca1bc63-4_551_813_2056_1001} dessin pour le nuage \(X\) de l'enquête?


\end{document}