\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{bbold}

\begin{document}
Concepteur : H.E.C.

OPTION : SCIENTIFIQUE

CODE EPREUVE :\\
280\\
HEC\_M1\_S

\section*{MATHEMATIQUES I}
Mercredi 3 Mai 2006, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Pour tout couple \((p, q)\) d'entiers strictement positifs, on note \(\mathcal{M}_{p, q}(\mathbb{R})\) l'ensemble des matrices à \(p\) lignes et \(q\) colonnes à coefficients réels. Si \(A\) est un élément quelconque de \(\mathcal{M}_{p, q}(\mathbb{R})\), on note \(A^{T}\) la transposée de \(A\).\\
Dans tout le problème, pour \(n\) dans \(\mathbb{N}^{*}\), on identifie \(\mathbb{R}^{n}\) et l'ensemble \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) des matrices colonnes à \(n\) lignes et à coefficients réels. L'espace vectoriel \(\mathbb{R}^{n}\) est muni de sa structure euclidienne canonique, le produit scalaire de deux vecteurs \(X\) et \(Y\) étant noté \(\langle X, Y\rangle\) ou \(Y^{T} X\).\\
Pour tout vecteur \(X=\left(\begin{array}{c}x_{0} \\ x_{1} \\ \vdots \\ x_{n-1}\end{array}\right)\) de \(\mathbb{R}^{n}\), sa norme est donnée par \(\|X\|=\sqrt{X^{T} X}=\left(\sum_{k=0}^{n-1} x_{k}^{2}\right)^{1 / 2}\).\\
Le module et le conjugué d'un nombre complexe \(z\) sont notés respectivement \(|z|\) et \(\bar{z}\). On rappelle que \(|z|^{2}=z \bar{z}\). Le nombre complexe de module 1 et d'argument \(\pi / 2\) est noté \(i\).\\
L'objet du problème est l'étude de quelques propriétés de la matrice \(H_{n}=\left(h_{k, j}^{(n)}\right)_{1 \leqslant k, j \leqslant n}\) (appelée matrice de Hilbert) de \(\mathcal{M}_{n, n}(\mathbb{R})\), de terme générique \(h_{k, j}^{(n)}=\frac{1}{k+j-1}\), les entiers \(k\) et \(j\) décrivant \(\llbracket 1, n \rrbracket\).\\
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1 , la matrice \(H_{n}\) s'écrit donc :

\[
H_{n}=\left(\begin{array}{cccc}
1 & \frac{1}{2} & \cdots & \frac{1}{n} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \cdots & \frac{1}{n+1} \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
\frac{1}{n} & \frac{1}{n+1} & \cdots & \frac{1}{2 n-1}
\end{array}\right)
\]

\section*{Préliminaire}
On rappelle que la restriction de la fonction tangente à l'intervalle \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\) [ admet une fonction réciproque notée arctan. On note ( \(\arctan )^{\prime}\) sa dérivée.

\begin{enumerate}
  \item a) Pour tout réel \(x\), rappeler l'expression de \((\arctan )^{\prime}(x)\) en fonction de \(x\).\\
b) Montrer, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}^{+*}\), l'égalité : \(\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}\).\\
c) Établir, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}^{+}\), l'encadrement : \(0 \leqslant \arctan x \leqslant x\).
  \item a) Montrer que la fonction \(\psi\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(\psi(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^{2}\right)}\) est une densité de probabilité sur \(\mathbb{R}\).\\
b) Soit \(U\) une variable aléatoire réelle de densité \(\psi\). On note \(F\) sa fonction de répartition. Déterminer la loi de la variable aléatoire \(F(U)\).\\
c) On rappelle que la fonction Pascal random rend un nombre aléatoire de l'intervalle \([0,1]\) suivant une loi uniforme sur cet intervalle. Écrire, dans le langage Pascal, une fonction Cauchy simulant la variable aléatoire \(U\).
\end{enumerate}

\section*{Partie I. Dimension du sous-espace propre associé à la plus grande valeur propre de \(H_{n}\)}
\begin{enumerate}
  \item Calculer, pour tout couple \((k, j)\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket^{2}\), l'intégrale \(\int_{0}^{1} t^{k+j-2} d t\).
\end{enumerate}

En déduire, pour tout vecteur \(X=\left(\begin{array}{c}x_{0} \\ x_{1} \\ \vdots \\ x_{n-1}\end{array}\right)\) de \(\mathbb{R}^{n}\), l'égalité : \(X^{T} H_{n} X=\int_{0}^{1}\left(x_{0}+x_{1} t+\cdots+x_{n-1} t^{n-1}\right)^{2} d t\).\\
2. a) Justifier l'existence d'une matrice diagonale \(D\) à coefficients diagonaux strictement positifs, et d'une matrice orthogonale \(P\) telles que : \(H_{n}=P D P^{T}\).\\
b) On désigne par \(\alpha_{n}\) (resp. \(\beta_{n}\) ) la plus petite (resp. la plus grande) valeur propre de \(H_{n}\).

Montrer, pour tout vecteur \(X\) de \(\mathbb{R}^{n}\), l'encadrement suivant :

\[
\alpha_{n}\|X\|^{2} \leqslant X^{T} H_{n} X \leqslant \beta_{n}\|X\|^{2}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item On note \(\mathcal{V}\) le sous-espace propre de \(H_{n}\) associé à la valeur propre \(\beta_{n}\).\\
a) Soit \(Y\) un vecteur de \(\mathcal{V}\). Montrer que \(Y^{T} H_{n} Y=\beta_{n}\|Y\|^{2}\).\\
b) Réciproquement, soit \(Y\) un vecteur non nul de \(\mathbb{R}^{n}\) vérifiant \(Y^{T} H_{n} Y=\beta_{n}\|Y\|^{2}\). Montrer que \(Y\) appartient à \(\mathcal{V}\).
  \item Soit \(X_{0}=\left(\begin{array}{c}x_{0} \\ x_{1} \\ \vdots \\ x_{n-1}\end{array}\right)\) un vecteur non nul de \(\mathcal{V}\). On note \(\left|X_{0}\right|=\left(\begin{array}{c}\left|x_{0}\right| \\ \left|x_{1}\right| \\ \vdots \\ \left|x_{n-1}\right|\end{array}\right)\) le vecteur dont les composantes sont les valeurs absolues des composantes de \(X_{0}\).\\
a) Établir l'inégalité : \(\left|X_{0}\right|^{T} H_{n}\left|X_{0}\right| \geqslant X_{0}^{T} H_{n} X_{0}\).\\
b) En déduire que \(\left|X_{0}\right|\) est un élément de \(\mathcal{V}\).\\
c) Montrer que les composantes du vecteur \(H_{n}\left|X_{0}\right|\) sont toutes strictement positives. En déduire que le vecteur \(X_{0}\) n'a aucune composante nulle.\\
d) En utilisant le fait que \(X_{0}^{T} H_{n} X_{0}=\left|X_{0}\right|^{T} H_{n}\left|X_{0}\right|\), montrer que les composantes de \(X_{0}\) sont toutes de même signe.
  \item a) Montrer qu'il n'existe pas deux vecteurs non nuls de \(\mathcal{V}\) orthogonaux.\\
b) En déduire la dimension du sous-espace propre \(\mathcal{V}\).
\end{enumerate}

\section*{Partie II. Croissance et convergence de la suite \(\left(\beta_{n}\right)_{n \geqslant 1}\)}
On rappelle que \(\beta_{n}\) désigne la plus grande valeur propre de la matrice \(H_{n}\).

\begin{enumerate}
  \item Soit \(X^{\prime}=\left(\begin{array}{c}x_{0}^{\prime} \\ x_{1}^{\prime} \\ \vdots \\ x_{n-1}^{\prime}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{n}\) un vecteur propre de \(H_{n}\) associé à \(\beta_{n}\). Soit \(Z\) le vecteur de \(\mathbb{R}^{n+1}\) défini par \(Z=\left(\begin{array}{c}x_{0}^{\prime} \\ x_{1}^{\prime} \\ \vdots \\ x_{n-1}^{\prime} \\ 0\end{array}\right)\). Montrer que \(Z^{T} H_{n+1} Z=X^{T} H_{n} X^{\prime}\). En déduire que la suite \(\left(\beta_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) est croissante.
  \item Soit \(\varphi_{1}\) et \(\varphi_{2}\) deux fonctions définies et continues sur le segment \([a, b]\) de \(\mathbb{R}\). On définit le nombre complexe \(\int_{a}^{b}\left(\varphi_{1}(\theta)+i \varphi_{2}(\theta)\right) d \theta \operatorname{par}:\)
\end{enumerate}

\[
\int_{a}^{b}\left(\varphi_{1}(\theta)+i \varphi_{2}(\theta)\right) d \theta=\int_{a}^{b} \varphi_{1}(\theta) d \theta+i \int_{a}^{b} \varphi_{2}(\theta) d \theta
\]

et on rappelle que pour tout réel \(x\), on a : \(e^{i x}=\cos x+i \sin x\).\\
a) Calculer, pour tout \(k\) de \(\mathbb{Z}\), les deux nombres complexes : \(\int_{-\pi}^{\pi} e^{i k \theta} d \theta\) et \(\int_{0}^{\pi} e^{i k \theta} d \theta\).\\
b) Montrer, pour tout entier \(p\) de \(\mathbb{N}\), l'égalité : \(\int_{-1}^{1} x^{p} d x=-i \int_{0}^{\pi} e^{i(p+1) \theta} d \theta\).\\
c) En déduire, pour tout polynôme \(P\) à coefficients complexes, l'égalité : \(\int_{-1}^{1} P(x) d x=-i \int_{0}^{\pi} P\left(e^{i \theta}\right) e^{i \theta} d \theta\).\\
d) Dans le cas où \(P\) est un polynôme à coefficients réels, établir l'inégalité suivante :

\[
\left|\int_{-1}^{1} P(x) d x\right| \leqslant \int_{0}^{\pi}\left|P\left(e^{i \theta}\right)\right| d \theta
\]

Dans les questions 3 et 4, on désigne par \(X=\left(\begin{array}{c}x_{0} \\ x_{1} \\ \vdots \\ x_{n-1}\end{array}\right)\) un vecteur quelconque de \(\mathbb{R}^{n}\).\\
3. a) Établir l'encadrement : \(0 \leqslant X^{T} H_{n} X \leqslant \int_{-1}^{1}\left(x_{0}+x_{1} t+\cdots+x_{n-1} t^{n-1}\right)^{2} d t\).\\
b) En déduire que l'on a : \(0 \leqslant X^{T} H_{n} X \leqslant \int_{0}^{\pi}\left|x_{0}+x_{1} e^{i \theta}+\cdots+x_{n-1} e^{i(n-1) \theta}\right|^{2} d \theta\).\\
4. a) Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(\varphi(\theta)=\left|\sum_{k=0}^{n-1} x_{k} e^{i k \theta}\right|^{2}\).

Montrer que \(\varphi\) est \(2 \pi\)-périodique et paire ; en déduire l'égalité : \(\int_{0}^{\pi} \varphi(\theta) d \theta=\frac{1}{2} \int_{-\pi}^{+\pi} \varphi(\theta) d \theta\).\\
b) Établir l'inégalité : \(X^{T} H_{n} X \leqslant \pi\|X\|^{2}\).\\
c) En déduire que la suite \(\left(\beta_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) est majorée, puis qu'elle est convergente.

Partie III. Limite de la suite \(\left(\beta_{n}\right)_{n} \geqslant 1\)\\
Dans cette partie, le vecteur \(W\) de \(\mathbb{R}^{n}\) est défini par \(W=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 / \sqrt{2} \\ \vdots \\ 1 / \sqrt{n}\end{array}\right)\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer les égalités suivantes :
\end{enumerate}

\[
W^{T} H_{n} W=\sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} \sqrt{j}(k+j-1)}=\int_{0}^{1}\left(\sum_{\ell=1}^{n} \frac{t^{\ell-1}}{\sqrt{\ell}}\right)^{2} d t
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item En déduire, pour \(n \geqslant 2\), l'inégalité suivante :
\end{enumerate}

\[
W^{T} H_{n} W \geqslant \sum_{p=2}^{n} \frac{1}{p-1} \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{\sqrt{k} \sqrt{p-k}}
\]

(on pourra utiliser le développement du produit de deux polynômes)\\
Dans les questions suivantes, \(p\) est un entier supérieur ou égal à 2 .\\
3. a) Étudier les variations de la fonction \(g\) définie sur \(] 0, p\left[\operatorname{par}: g(x)=\frac{1}{\sqrt{x(p-x)}}\right.\).\\
b) En déduire, quelle que soit la parité de \(p\), l'inégalité suivante :

\[
\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{\sqrt{k(p-k)}} \geqslant \int_{1}^{p-1} \frac{d x}{\sqrt{x(p-x)}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Justifier la validité du changement de variable \(x=\frac{p}{1+t^{2}}\) dans l'intégrale \(\int_{1}^{p-1} \frac{d x}{\sqrt{x(p-x)}}\), et établir la relation :
\end{enumerate}

\[
\int_{1}^{p-1} \frac{d x}{\sqrt{x(p-x)}}=\pi-4 \arctan \left(\frac{1}{\sqrt{p-1}}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item On pose : \(u_{p}=\frac{1}{p-1} \arctan \left(\frac{1}{\sqrt{p-1}}\right)\). Montrer que la série de terme général \(u_{p}\) est convergente.
  \item a) Montrer que \(\|W\|^{2}\) est équivalent à \(\ln n\), lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).\\
b) En déduire la limite de la suite \(\left(\beta_{n}\right)_{n \geqslant 1}\).
\end{enumerate}

\end{document}