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\begin{document}
\section*{BANQUE COMMUNE D'EPREUVES}
CODE SUJET :\\
280\\
HEC\_M1\_S

\section*{Concepteur : H.E.C.}
\section*{OPTION : SCIENTITIQUE}
\section*{MATHEMATIQUES I}
Mercredi 2 Mai 2007, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2 , on note \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre \(n\) à coefficients réels, \(I\) la matrice identité, et \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) l'espace vectoriel des matrices à \(n\) lignes et 1 colonne. On confond \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) et \(\mathbb{R}^{n}\).

\section*{Préliminaire}
Soit \(E\) un espace vectoriel réel. On appelle norme sur \(E\), toute application \(\nu\) de \(E\) dans \(\mathbb{R}^{+}\)vérifiant :\\
i) \(\nu(x)=0\) si et seulement si \(x=0\);\\
ii) pour tout \(\lambda\) réel, pour tout \(x\) de \(E: \nu(\lambda x)=|\lambda| \nu(x)\);\\
iii) pour tout couple \((x, y)\) de \(E^{2}: \nu(x+y) \leqslant \nu(x)+\nu(y)\).

Montrer que l'application \(\left\|\|_{\infty}\right.\) de \(\mathbb{R}^{n}\) à valeurs dans \(\mathbb{R}^{+}\)définie par : pour tout vecteur \(X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)\) de \(\mathbb{R}^{n}\), \(\|X\|_{\infty}=\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left|x_{i}\right|\), est une norme sur \(\mathbb{R}^{n}\).

\section*{Partie I}
A. Une norme sur \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\)

\begin{enumerate}
  \item Montrer que l'application qui, à toute matrice \(A=\left(a_{i, j}\right)\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), associe le réel \(\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left(\sum_{j=1}^{n}\left|a_{i, j}\right|\right)\), définit une norme sur \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). La norme de \(A\) sera notée \(\|A\|\).
  \item a) Établir pour tout \(X\) de \(\mathbb{R}^{n}\), l'inégalité : \(\|A X\|_{\infty} \leqslant\|A\| \times\|X\|_{\infty}\).\\
b) Montrer qu'il existe un vecteur \(X_{0}\) de \(\mathbb{R}^{n}\), non nul, tel que \(\left\|A X_{0}\right\|_{\infty}=\|A\| \times\left\|X_{0}\right\|_{\infty}\).
\end{enumerate}

En déduire que \(\|A\|=\sup _{X \in \mathbb{R}^{n}, X \neq 0} \frac{\|A X\|_{\infty}}{\|X\|_{\infty}}\).\\
c) Établir alors que pour tout couple \((A, B)\) de \(\left(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\right)^{2}\), on a \(\|A B\| \leqslant\|A\| \times\|B\|\).

On dit qu'une suite \(\left(A_{m}\right)_{m \geqslant 0}\) de matrices de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) converge vers une matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), si \(\lim _{m \rightarrow+\infty}\left\|A_{m}-A\right\|=0\). On pose \(A_{m}=\left(a_{i, j}(m)\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\) et \(A=\left(a_{i, j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\).\\
3. a) Montrer que \(\left(A_{m}\right)_{m \geqslant 0}\) converge vers \(A\) si et seulement si pour tout \((i, j)\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket^{2}: \lim _{m \rightarrow+\infty} a_{i, j}(m)=a_{i, j}\).\\
b) Montrer que si \(\left(A_{m}\right)_{m \geqslant 0}\) converge vers \(A\) et \(\left(B_{m}\right)_{m \geqslant 0}\) converge vers \(B\), alors \(\left(A_{m} B_{m}\right)_{m \geqslant 0}\) converge vers \(A B\).\\
4. Soit \(A\) un élément de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) tel que \(\|A\|<1\).\\
a) Déterminer \(\lim _{m \rightarrow+\infty} A^{m}\).\\
b) Montrer que si \(\lambda\) est une valeur propre réelle de \(A\), alors \(|\lambda|<1\). En déduire que les matrices \(I-A\) et \(I+A\) sont inversibles.\\
c) Montrer que la suite \(\left(\sum_{k=0}^{m} A^{k}\right)_{m}\) converge, et exprimer sa limite en fonction de la matrice \(A\).

Soit \(\left(A_{m}\right)_{m \geqslant 0}\) une suite de matrices de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). On dit que la série de terme général \(A_{m}\) (qu'on notera \(\left.\sum_{m \geqslant 0} A_{m}\right)\) converge, si la suite \(\left(\sum_{m=0}^{p} A_{m}\right)_{p}\) converge. Dans ce cas, sa limite est notée \(\sum_{m=0}^{+\infty} A_{m}\).\\
5. On considère dans cette question, une matrice non nulle \(N\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) qui vérifie la propriété suivante : il existe un entier \(p\) supérieur ou égal à 2 tel que \(N^{p}=0\) et \(N^{p-1} \neq 0\).\\
a) Montrer que la série \(\sum_{k \geqslant 0} \frac{1}{k!} N^{k}\) converge. On note \(M=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} N^{k}\).\\
b) Montrer que \(\left\{X \in \mathbb{R}^{n} /(M-I) X=0\right\}=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} / N X=0\right\}\).\\
6. a) Soit \(D\) une matrice diagonale de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). Montrer que la série \(\sum_{k \geqslant 0} \frac{1}{k!} D^{k}\) converge.\\
b) Soit \(A\) une matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) diagonalisable, \(D\) une matrice diagonale et \(P\) une matrice inversible telles que \(A=P D P^{-1}\). Montrer que la série \(\sum_{k \geqslant 0} \frac{1}{k!} A^{k}\) converge, et exprimer sa somme \(\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} A^{k}\) en fonction de \(P\) et \(\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} D^{k}\).\\
On admet jusqu'à la fin du problème que pour toute matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), la série \(\sum_{k \geqslant 0} \frac{1}{k!} A^{k}\) converge, et on note \(: \exp (A)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} A^{k}\).\\
7. Soit \(A\) un élément de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). On pose, pour tout \(m\) de \(\mathbb{N}^{*}: A_{m}=\left(I+\frac{1}{m} A\right)^{m}\).\\
a) Établir l'inégalité :

\[
\left\|\sum_{k=0}^{m} \frac{1}{k!} A^{k}-A_{m}\right\| \leqslant \sum_{k=0}^{m}\left(1-\frac{m(m-1) \cdots(m-k+1)}{m^{k}}\right) \frac{\|A\|^{k}}{k!}
\]

b) En déduire que la suite \(\left(A_{m}\right)_{m}\) converge vers \(\exp (A)\).

\section*{B. Propriétés de l'exponentielle de matrice}
On admet que si \(A\) et \(B\) sont éléments de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) tels que \(A B=B A\), alors, \(\exp (A+B)=\exp (A) \exp (B)\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que pour toute matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), la matrice \(\exp (A)\) est inversible et déterminer son inverse.
  \item a) Soit \(A\) une matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). Montrer qu'il existe une matrice \(S_{A}\) telle que \(\exp (A)-I=A\left(I+S_{A}\right)\).\\
b) Étudier la fonction définie sur \(\mathbb{R}^{+}\)par : \(x \longmapsto e^{x}-1-2 x\).\\
c) En déduire que si \(\|A\|<1\), alors \(\left\|S_{A}\right\|<1\).\\
d) On suppose que \(\|A\|<1\) et que \(\exp (A)=I\). Montrer que \(A\) est la matrice nulle.
  \item On note \(\mathcal{S}_{n}\) l'espace vectoriel des matrices symétriques réelles d'ordre \(n\), et \(\mathcal{S}_{n}^{++}\)l'ensemble des matrices symétriques réelles d'ordre \(n\) dont les valeurs propres sont strictement positives.\\
a) Montrer que si \(A\) est un élément de \(\mathcal{S}_{n}\), alors \(\exp (A)\) est un élément de \(\mathcal{S}_{n}^{++}\).\\
b) Montrer que l'application exp restreinte à \(\mathcal{S}_{n}\) est une surjection de \(\mathcal{S}_{n}\) sur \(\mathcal{S}_{n}^{++}\).
  \item Soit \(A\) et \(B\) deux matrices de \(\mathcal{S}_{n}\) telles que \(\exp (A)=\exp (B)\). On note \(u\) (resp. v) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{n}\) canoniquement associé à \(A\) (resp. \(B\) ), et \(\exp (u)\) (resp. \(\exp (v)\) ) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{n}\) canoniquement associé à \(\exp (A)\) (resp. \(\exp (B)\) ).\\
a) Montrer que \(A\) et \(B\) ont les mêmes valeurs propres.\\
b) Montrer que \(A \times \exp (B)=\exp (B) \times A\).\\
c) Soit \(F\) un sous-espace propre de \(v\).\\
i) Montrer que \(F\) est également un sous-espace propre de \(\exp (v)\).\\
ii) Montrer que la restriction de \(u\) à \(F\) induit un endomorphisme de \(F\) diagonalisable.\\
d) En se plaçant dans une base de diagonalisation de \(v\), montrer alors que \(u\) et \(v\) ont les mêmes vecteurs propres. En déduire que \(A=B\).
\end{enumerate}

\section*{Partie II}
\begin{enumerate}
  \item On considère \(\mathbb{R}^{n}\) muni de sa base canonique \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right)\).
\end{enumerate}

Soit \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{n}\) défini par \(f\left(e_{1}\right)=0\), et pour tout \(i\) de \(\llbracket 2, n \rrbracket\), \(f\left(e_{i}\right)=e_{i-1}\).\\
On note \(N\) la matrice associée à \(f\) relativement à la base \(\mathcal{B}\). Déterminer, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), la matrice \(N^{k}\).\\
2. Soit \(p\) un réel de \(] 0,1\left[\right.\). On définit les matrices \(R_{p}\) et \(Q_{p}\) par : \(R_{p}=(1-p) I+p N=I+Q_{p}\).\\
a) Établir l'égalité : \(\exp \left(Q_{p}\right)=\sum_{j=0}^{n-1} e^{-p} \frac{p^{j}}{j!} N^{j}\).\\
b) Calculer \(\left\|R_{p}\right\|\) et \(\left\|Q_{p}\right\|\). Montrer que \(\left\|\exp \left(Q_{p}\right)\right\| \leqslant 1\).\\
3. a) Soit \(m\) un entier supérieur ou égal à 1 , et \(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{m}\) des réels de l'intervalle \(] 0,1[\). On pose pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, m \rrbracket, R_{i}=R_{p_{i}}\) et \(Q_{i}=Q_{p_{i}}\). Montrer les égalités suivantes :

\[
\prod_{k=1}^{m} \exp \left(Q_{k}\right)=\exp \left(\sum_{k=1}^{m} Q_{k}\right)=\exp \left(\left[-\sum_{k=1}^{m} p_{k}\right](I-N)\right)
\]

b) Établir la relation suivante :\\
\(\prod_{k=1}^{m} R_{k}-\prod_{k=1}^{m} \exp \left(Q_{k}\right)=\left[R_{1}-\exp \left(Q_{1}\right)\right]\left(R_{2} \times \cdots \times R_{m}\right)-\exp \left(Q_{1}\right)\left[\exp \left(Q_{2}\right) \times \cdots \times \exp \left(Q_{m}\right)-R_{2} \times \cdots \times R_{m}\right]\)\\
c) En déduire la majoration suivante : \(\left\|\prod_{k=1}^{m} R_{k}-\prod_{k=1}^{m} \exp \left(Q_{k}\right)\right\| \leqslant \sum_{k=1}^{m}\left\|R_{k}-\exp \left(Q_{k}\right)\right\|\).\\
4. a) Montrer l'égalité : \(\left\|\exp \left(Q_{1}\right)-R_{1}\right\|=\left|e^{-p_{1}}-1+p_{1}\right|+p_{1}\left|e^{-p_{1}}-1\right|+e^{-p_{1}} \sum_{k=2}^{n-1} \frac{p_{1}^{k}}{k!}\).\\
b) En déduire successivement les deux inégalités :

\[
\left\|\exp \left(Q_{1}\right)-R_{1}\right\| \| \leqslant 2 p_{1}^{2} \text { et }\left\|\prod_{k=1}^{m} R_{k}-\prod_{k=1}^{m} \exp \left(Q_{k}\right)\right\| \leqslant 2 \sum_{k=1}^{m} p_{k}^{2}
\]

\section*{Partie III.}
Les notations sont celles de la partie II.\\
On considère \(m\) pièces de monnaie \((1 \leqslant m<n)\), telles que pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, m \rrbracket\), la \(i\)-ième pièce donne Pile avec la probabilité \(p_{i}\), et Face avec la probabilité \(1-p_{i}\). On pose \(\lambda=\sum_{i=1}^{m} p_{i}\).\\
Un joueur lance successivement la première pièce, la deuxième pièce, etc. jusqu'à la \(m\)-ième pièce, cette expérience étant modélisée par un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, P)\). Pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, m \rrbracket\), on note \(S_{k}\) la variable aléatoire égale au nombre de Pile obtenus à l'issue des \(k\) premiers lancers.

\begin{enumerate}
  \item a) Montrer que pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, m \rrbracket\), les \(k+1\) premiers éléments de la première ligne du produit matriciel \(R_{1} \times R_{2} \times \cdots \times R_{k}\) représentent la loi de \(S_{k}\).\\
b) Montrer la relation suivante : \(\left\|\prod_{i=1}^{m} R_{i}-\prod_{i=1}^{m} \exp \left(Q_{i}\right)\right\|=\sum_{k=0}^{n-1}\left|P\left(\left[S_{m}=k\right]\right)-e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k!}\right|\).\\
c) En déduire l'inégalité suivante : \(\sum_{k=0}^{+\infty}\left|P\left(\left[S_{m}=k\right]\right)-e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k!}\right| \leqslant 2 \sum_{i=1}^{m} p_{i}^{2}\).
  \item Dans un programme Pascal sont faites les déclarations suivantes :
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
const m =...;
Type tab = array[1..m] of real;
Var prob : tab;
\end{verbatim}

On suppose que prob contient les probabilités \(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{m}\) (ainsi prob[1] contient \(p_{1}\) etc.)\\
Écrire une fonction Pascal dont l'en-tête est Sm(prob : tab) : integer qui simule la variable aléatoire \(S_{m}\).


\end{document}